超导磁悬浮磁滞现象的动态理论研究

郑州大学毕业设计（论文）

题目：超导磁悬浮磁滞现象的动态理论研究

指导教师：李平林职称：教授

学生姓名：胡素磊学号： [1**********]

专业：物理学

院（系）：物理工程学院

完成时间：

2011年 6 月 1 日

超导磁悬浮磁滞现象的动态理论研究

摘要

本文从磁通量子在变化外磁场中成核、穿透、钉扎并排出的角度，研究了二类超导体磁悬浮系统的磁滞现象，认为超导悬浮力来源于表面迈斯纳抗磁电流，和单个磁通量子涡旋分别与外场相互作用，并证明了涡旋密度梯度等效电流和外场的相互作用，本质上，就是所有磁通量子涡旋和外场相互作用的总和，而磁通涡旋从表面穿透和排出过程的不对称，和由于超导体不同几何形状所导致的几何势垒引起的的不可逆性，以及磁通涡旋在超导体内部运动耗散的能量，导致了二类超导体在变化外磁场中的磁滞现象，其中后者占据的比重远大于前者，进而精确计算了在永磁体产生的高度不均匀的变化外磁场中的悬浮力，得到了与实验相符的结果，为理解二类超导磁滞现象，更好地应用高温超导体提供了新的视角和基础。

关键词：二类超导，悬浮，涡旋，磁滞

Dynamic Theoretical Modeling on Type-II Superconductor

Levitation Hysteresis Phonomenon

Abstract

From the perspective of flux quantum nucleation, penetration, pinning, and discharged in a changing external magnetic field, we simulated the dynamic response of Type II superconductors, specifically, type-II Superconductor magnetic levitation system hysteresis phenomenon, in the process of a permanent magnet close to and away from Superconductor. We showed that the origin of superconducting levitation force is that, the surface Meissner current, magnetic flux quantum vortex interaction between external magnetic field, respectively. And we proved that macroscopic current due to the vortex density gradient interacting with the external magnetic field, essentially, is equivalent to all the flux quantum vortex interacting with the external magnetic field. The asymmetry due to the Bean-Livingston surface barrier, the irreversibility due to the geometric barrier as a results of superconductor different geometric shapes, in the process of the flux vortex penetration and emission from the surface, and the energy dissipation due to flux vortex movement within the superconductor, results in the Type II superconductors levitation hysteresis in the changing external magnetic field, among which, the significance of the last one is much greater than the former two. And then we calculated accurately the superconductor levitation hysteresis curve subjected to the highly inhomogeneous external magnetic field due to the cylindrical permanent magnet, which is consistent with the experimental results. Our results provides a new perspective and foundation for understanding the type-II Superconductor levitation hysteresis phonomenon and better application of superconductor.

Key words: type-II Superconductor, levitation, vortex, hysteresis

摘要 ........................................................................................................................................... 2

目录 ........................................................................................................................................... 3

I.引言 ........................................................................................................................................ 4

II. 理论推导 ............................................................................................................................. 5

1. 永磁体产生的磁场 .......................................................................................................... 5

2. 迈斯纳表面电流.............................................................................................................. 6

3. 理想二类超导涡旋的分布................................................................................................ 7

4. 非理想二类超导涡旋的分布 ............................................................................................ 8

5. 等效电流 .......................................................................................................................10

6. 穿透场的前锋 ................................................................................................................12

7. 场冷悬挂与侧向稳定性 ..................................................................................................15

III. 结果与讨论 .......................................................................................................................16

IV.参考文献 ..............................................................................................................................21

V. 致谢 .....................................................................................................................................24

I.引言

只要存在一个平衡物体重力的作用力，便可以实现物体的漂浮或自由悬浮，漂浮可以由不同的方法获得(通过空气束，声压，电磁力)[1]，然而自由悬浮现象却更加奇特，对于这些悬浮技术，稳定性都是关键问题，而二类超导体-永磁体系统却可同时实现这两个功能[2]，尤其是铜氧高温超导体具有远高于常规超导体的临界转变温度，临界磁场，这些现象不论在学术上而且在技术应用上都是十分重要的，从实用的角度来看，超导体在磁体上方的漂浮对于高温超导材料的商业化是十分核心的问题[3][4]，如广泛用于磁轴承[5]，能量储存系统[6][7]，电力发动机[8]，磁悬浮列车[9]等等场合，而这些应用都有赖于人们对二类超导体在变化外磁场的响应有深入准确的理解和定量具体的描述，因此研究二类超导体在变化外磁场中的性质已经成为世界各国的超导科技工作者一个十分重要的研究领域，而超导磁滞现象更是其中的核心关键问题。

从1957年二类超导体在理论上确定以来，经过五十年的发展，无论上实验探索，还是理论研究，都取得了丰硕的研究成果，在实验上, Moon[10]，Horoki[11]，Masato[12]和Boegler[13]等人详细研究了高温超导磁悬浮力的滞回特征，测量了悬浮超导体的竖直方向的悬浮力，并且展示出悬浮系统的几个主要的特性，这些测量结果被几个小组进一步研究，最后确定了悬浮力和垂直距离关系，发现准静态下运动速度对悬浮力的影响较小[14]，悬浮力随临界电流密度增大及随温度降低而增大[15]；在变化磁场中呈现磁滞现象[16]，以及受样品形状和大小[17,][18]，材料[19],[20], 晶粒取向[21],[22] 的影响。

从理论的角度来说，在二类超导体中，由于外场以磁通量子的形式穿透超导体，有可能超导体内部的磁感应强度不为零，在真实的二类超导体中，当电流密度小于临界值的时候，这些穿透到超导体内的磁量子会被材料中的不均匀缺陷钉扎住，在这些条件下，当外磁场增大或减小的时候，这些磁能量向超导体的内部或外部移动直到磁通分布达到临界梯度，此时，电流密度达到最大值Jc[23]。惟象上讲，这种行为已经被Bean的临界态模型[24]和他的后来者[25]很好地描述，如Brandt[26]定性地证明如何由磁通线的钉扎解释二类超导体的磁悬浮，之后又提出了多个模型，如类比永磁体磁化的磁滞模型[27]，将二类超导简化为一类超导体的抗磁性模型[28]，不变场梯度近似模型[29]，Bean模型[30]，磁偶极子模型[31]，磁通线能量模型[32]，基于求解三维波松方程的电流演化模型[33]。

但这些研究结果大多假设下临界磁场为零，不考虑迈斯纳抗磁电流对超导悬浮力的贡献，且假定超导样品相对于永磁体足够小，以至于沿竖直方向的磁场梯度为常数，

同时，也没有考虑超导体的有限尺寸所导致的退磁效应，且大多数理论中可调参数众多，使得理论计算的可信度大大降低，这便使得发展新的更加全面精确地模型研究超导悬浮磁滞问题成为必要。本文第二部分给出理论模型的主要思想以及详细的理论推导，第三部分给出数值模拟结果，第五部分对结果进行讨论。

II. 理论推导

1. 永磁体产生的磁场

高温超导磁悬浮系统由两部分构成：永磁铁提供外磁场，置于永磁铁上方的高温超导体。当超导体由一上而下逐渐靠近永磁体时，永磁体的磁场逐渐开始作用于超体内部的电子，一方面由伦敦方程可知，超导体内部配对电子会在瞬时静磁场作用下产生涡旋电流，涡旋电流产生磁场与外磁场方面相反，产生抵抗超导体进一步接近永磁体的悬浮力，另一方面随着超导体逐渐接近永磁体，超导体感受到的外磁场强度逐渐增强，超导体内电子又会由于电磁感应而产生感应电流，而感应电流也阻止超导体进一步靠近永磁体，两者相互迭加，共同决定超导磁悬浮力。为能精确地分析并计算磁悬浮力，必须首先精确地计算永磁体的磁场分布，以及超导体内由于外磁场作用而产生的涡旋电流的磁场分布，并将两者在空间矢量迭加。

我们将研究一个由半径为RPM厚度为tPM，沿轴向均匀磁化，磁化强度为M的圆柱状永磁体(PM)，和一个置于永磁体上方可变距离z，相同对称轴，半径为a，长度为2b的圆柱状二类超导体组成的悬浮系统，以永磁体上表面中心为坐标原点，建立柱坐

标系(ρ, θ, z)，矢径r(,z)处的磁矢势A与电流密度同为φ方向，可通过积分半径为

RPM 长度为tPM的通电螺线管产生的矢势得到

Brem

20A(,z)RPMcoslnd （1）

其中Brem是永磁体的剩余磁感应强度，则磁场的径向分量BA/z为

B(,z)1

0(1)kii[(112 ki)K(ki)E(ki)] （2）2

其中K和E分别为k的第一类和第二类完全椭圆积分

K

k

20，E

k （3）

其中模数 ki24RPM2zitPM2,i0,1, 12错误！未找到引用

源。，为中RPM与在水平面上的夹角。磁感应强度的轴向分量Bz(1/)(A)

为

Bz(,z)Brem2

0RRPMcosRPMcos

22212

PM2RPMcos0iA （4）

图1 永磁系统位形示意图图2 圆柱形永磁体的磁场分布

错误！未找到引用源。即可得到永磁体磁场的空间分布。

2. 迈斯纳表面电流

对于第一类超导体，由于超导态与正常态的界面能是正值，所以随着外磁场由零逐渐增大，只要外磁场强度不大于临界磁场，超导体表面的迈斯纳抗磁电流一直增大，将超导体内部的磁场全部排出超导体内（除表面穿透层外），使体系的总能量最小，而二类超导体的表面能为负值，从能量上似乎要求界面越长越好，但当外磁场较小时（小于下临界磁场，即第一个涡旋产生所对应的外磁场），只能够产生迈斯纳抗磁表面电流，因为迈斯纳电流和成核的涡旋由于超导体表面镜像与涡旋的相互作用，对涡旋由表面电流进入到超导体内部会产生一个排斥力，形成一个势垒（并且这个势垒对于涡旋进入和排出的过程是不对称的），阻碍涡旋的进入，因而此时，超导体的抗磁性以及与外场的相互作用所造成的悬浮力完全由迈斯纳表面抗磁电流承担，并且由于迈斯纳抗磁电流的可逆性，其与外场相互作产生悬浮力是可逆的，即如果再逆向减小外磁场，其磁化曲线重合，如果磁场的变化是由永磁体的靠近与远离产生的，则相互作用力与距离的关系是可逆的。

对于第二类超导体，当外磁场小于下临界场时，迈斯纳抗磁电流随着外磁场的增

大而磁大，但当外磁场等于下临界场时，迈斯纳电流变得不稳定，最终在微小扰动的诱导下促使磁通量子涡旋成核并在超导体内扩散，而迈斯纳表面抗磁电流也达到饱和，不会再随着外磁场的变化而变化。

3. 理想二类超导涡旋的分布

对于二类超导体，当外磁场大于下临界场时，迈斯纳表面电流不再变化，由于界面能为负，超导正常态界面长度的增加在能量上是有利的，并且，由于量子力学的磁通量子化，此后，超导体内不断增大的磁通量便以单个磁通量子的形式，由迈斯纳表面电流内部成核，并克服表面势垒，进入超导体内部，并在瞬间形成六角形的规则排布，不会造成平均磁感应强度的非均匀分布，此时，根据麦克斯韦方程，均匀分布的涡旋磁通量子只有在涡旋分布的边缘产生顺磁电流，从而此时磁通量子涡旋与外磁场的相互作用是吸引力，这与从单个磁通涡旋电流与外场相互作用产生的吸引力是一致的，而表面迈斯纳抗磁电流与外场的相互作用是排斥力，随着超导体内部磁通涡旋的数上目逐渐增多，需要表面抗磁电流抵消的外磁场逐渐减小，迈斯纳抗磁电流随之减小，排斥力减小，而吸此力增大，当外磁场处于某个临界值时，恰好是两者的转折点，随后，整体上，超导体与产生外磁场的永磁体之间便会相互吸引，直至单个涡旋的正常态芯相互接触，直至外磁场完全穿透整个超导体，表面抗磁电流随之消失，吸引力也随之消失。

图3 单个磁通量子涡旋的结构图4 理想二类超导体涡旋均匀分布示意图磁通线在二类超导体中的穿透在磁通涡旋的内部产生正常态的芯（如图1所示），随着外磁场的增加，涡旋与涡旋之间的排斥力，使得磁通量子涡旋逐渐向超导体内部移动，而涡旋中心正常态芯的运动会引起能量的耗散，由此看出，涡旋的运动是造成

磁滞能量损失的根本来源，与二类超导体内部有没有缺陷没有关系，而且即使是对于没有任何缺陷的理想二类超导体，在变化的外磁场中也会产生磁滞能量损失，（接下来我们将会看到材料中的缺陷如果对超导体的磁化曲线和力-距离曲线产生影响），同样，如果将这个过程反过来，即外磁场随后再逆向减小到零，其磁化曲线便由三部分构成，其一是表面抗磁电流的可逆部分，其二是涡旋运动所造成的不可逆部分，第三部分便是由于表面势垒对于涡旋进入和排出过程的不对称性造成的不可逆性。

图5 理想二类超导体中涡旋分布随外磁场逐渐增大的过程中的变化

4. 非理想二类超导涡旋的分布

上面我们简要叙述了理想二类超导体的磁化行为，而实际的超导体都不会是完全理想的超导体，其内部存在各种各样的缺陷和杂质，如：杂质(impurities)，空位(vacancies)，位错(dislocations)，双晶(twins)，堆垛(stacking faults)，局部缺陷(local defects)，超导母体中添加的非超导相(added nonsuperconducting phases in the superconducting matrix) ，高能离子辐照而产生柱状缺陷(columnar defects created by irradiation with high-energy ions) [34],[35]。在这些缺陷存在的地方，超导电性会受到抑制，因此，当涡旋的正常态芯处于缺陷的位置时，就像一个粒子进入到一个势阱中一样，总能量降低，并且要想使涡旋从这个缺陷所造成的势阱中出来，便需要更靠近样品边缘的涡旋提供

更大的推力，使涡旋可以克服势垒，才能使得涡旋的数目进一步增多，进一步降低系统的总能量，这样，当外磁场逐渐增大的时候，涡旋间距从内到外越来越小，涡旋密度越来越大，这样便形成了宏观上的涡旋密度梯度，这种分布主要由电磁驱动力，材料钉扎力和磁通跳跃之间的平衡决定，当外磁场在上下临界磁场Hc1和Hc2之间变化时，涡旋通过超导体边界进入或离开，每当驱动涡旋克服钉扎力时，涡旋系统自身排列另一个亚稳状态从而与外磁场达到平衡。因此，外磁场或温度的改变驱动未钉扎涡旋讯速移动到另一个平衡态或离开超导体使得系统达到一个新的准静态能量平衡态。

由于单个磁通量子涡旋本身包含两个方面的内容，一个是磁场，一个涡旋电流，因此在处理的时候，也可以分别从这两个角度出发，如果从磁场的角度出发，则可以将每个磁通涡旋的磁场平均化，即可以得到宏观的磁场分布，再根据安培定理(错误！未找到引用源。B=μ0j)便可以得到宏观的抗磁等效电流，这个等效抗磁电流与表面迈斯纳抗磁电流一样与外磁场相互排斥；如果按照涡旋电流的角度，则如下图所示，从直觉上看，单个磁通涡旋电流与外磁场的相互作用是吸引力，那为什么会等效出一个宏观的抗磁电流呢？事实上，当超导体内的涡旋在没有钉扎力作用的情况下会形成均匀涡旋分布，此时处在内部的涡旋电流从整体上抵消，只有边缘处等效出一个顺磁表面电流，这便是理想二类超导体的情形，而对于非均匀分布，从中心开始，靠内一层的涡旋电流在这一层的外边缘形成一个等效的宏观顺磁电流，靠外一层涡旋电流在这一层的内边缘形成一个等效的抗磁宏观电流，由于靠外一层涡旋电流密度比靠内一层的涡旋电流密度大，因此，这两者的综合效果是产生一个抗磁电流，而且如果我们将每个磁通涡旋分别与外场相互作用后对所有的磁通涡旋进行求和，其结果与通过等效电流计算的结果相同。

从上面的分析我们可以看到，对于实际的二类超导体，由于缺陷的存在，在外磁场中，磁通量子涡旋在超导体内部不是均匀分布，从而产生等效的体抗磁电流密度，这个电流与表面麦克斯纳抗磁电流一起决定了超导体内部和外部的磁场分布，也使得非理想的二类超导体的悬浮力远大于理想二类超导体，从根本上讲，随着外场的增加，能量上负界面能要求产生尽可能多的涡旋，从而产生了涡旋成核并向超导体内部扩散的动力，而钉扎力却阻止涡旋的运动，正是缺陷对涡旋产生的钉扎力与外磁场的相互作用产生了悬浮力。

由于缺陷对涡旋的钉扎作用，只有当涡旋密度达到一定值时，其涡旋间排斥力才足以使涡旋克服钉扎势垒，使涡旋运运，而这个临界值所对应的等效电流密度便是

临界电流密度，这个值一般可以通过测量二类超导体的输运性质得到。由此也使得当减小外磁场时，只有使外磁场减小的大小足以使得其涡旋密度梯度反向时，才能改变等效电流密度，所以在这个外磁场的范围内，外磁场与临界电流密度不变，使得非理想二类超导体的稳定悬浮位置和空间取向可以在某一个范围内连续变化。

图6 非理想二类超导体中涡旋分布在外磁场增大然后减小的过程中的变化

5. 等效电流

我们根据E. H. Brandt[41],[42],[43]所采用的方法计算出柱状超导体在永磁体产生的磁

场中的临界电流分布，而其中关键的问题是得到超导体内部电流密度J(r,t)随外场变化

的变化情况，根据麦克斯韦方程

 JH （5）

其中位移电流只在高频磁场时才会有贡献，所以此处忽略位移电流的贡献，并由



B0H



AJ 0 （6）



Ba0

可以得到



B(BaBJ)BJ



（7）

AJ(AJ)2AJ （8）电流密度演化方程

2

0JBAJAJ （9）

其中AJAA



是超导体内部的等效电流产生的矢势，A

是外磁场的矢势，根据微观

超导涡旋钉扎理论，涡旋由钉扎势中被电流激发所需要的能量(activation energy)与外加电流之间的关系为

logcJ( U(J)U0

J/ )

（10）

再由阿雷尼厄斯(Arrhenius)定律

evxp(UB/k T) （11） EBvB 0

可以得到经验规律

 E(J)



E(J/cJ ) （12）c

其中(n1)为磁通跳跃指数，在外磁场强度大于下临界磁场时对于描写二类超导的临界态行为是一个很好的近似，由此我们也可以得到参量EcBv0,nU0/kBT，以及涡旋有效运动速度

exp(UB/kT vv ) （13） 0



由于超导悬浮系统的轴对称性，电流密度J，电场强度E，矢势A（由AB定义）

只有沿着方位角ˆ的分量，因此



ˆ JJ(,z)

ˆEE(,z)

（14）

（15）

ˆ （16） AA(,z)

这个波松方程在柱坐标系中的解为

0 A(,z)



d'dzQ'rr(J,r')A( ' ) （17）

bb



其中r(,z),r'(',z')，积分核

Q(r,r')其中



f(,'z,

z （18）

f(,'z,z')

d2[z(z(1

'cos')

'2

'cos

1/2

]

其中k2

4'

(')(zz')

kK)

k()Ek( ) ] （19）

，K和E分别是第一和第二类完全椭圆积分。

可得EAA，由电磁感应定律EB磁悬浮系统的位形可以保证，矢势A

的规范对称性（即任对A加上一个无旋矢量场，其磁感应强度不变），在材料定律



nE(J)，可得到 E(J)Ec(J/Jc)确定后，使可以得到A

]0 E[J(r,t)



',dr'Q(r,r')J(rt)A ( 'z , ' ) （20） 



这个电流密度J(r,t)的精确方程中包含它的时间导数J

，由于高度非线性的E(J)关系，

这个方程必须数值求解，而且这个时间的导数项需要从积分中去除才能使用数值方法，这个倒置的过程可以通过在2D得到其逆矩阵Q

1



的网格ri,rj离散化积分核Q(r,r')，并且对矩阵Qij

求逆



(r,r')的方法实现，此时电流密度方位角分量J(,z,t)写表达为

ab

11(',z')] （21） J(r',t)0d'dz'Q(r,r')[E(J)A 

b

其中Q

1



(r,r')是逆积分核，它由下式给出



d'

bb



1

dz'Q(r,r')Q(r,r')(rr') （22）

1

上述方程很容易对时间求积分，假定t=0时刻，J(,z,t)0，当ttt时，

(,z,t)dtJ(,z,ttdt)J(,z,t)J

，不断地迭代下去，即可得到稳定平衡时的等效

电流分布，进而可以得到等效电流产生的矢势和磁场。

6. 穿透场的前锋

在外磁场中，磁通以磁通晶格的形式存在，单个的磁通量子会被材料中的微结构不均匀钉扎，以至于只有在由局部高的电流引起的足够强的洛仑兹力的作用下才会脱钉扎并在材料中流动，引起磁通量子脱钉扎的局部电流密度便是微观的临界电流密度，并且它直接正比于钉扎力强度，临界态惟象理论描述准静态材料中钉扎的磁线分

布，假定钉扎引起的临界电流密度为jc，即磁感应强度对半径的导数对应于临界电流密度，即

，以及对磁通分布的任何改变都是由样品表面引入，在一个比实验时

间短的时间尺度内，从操作上讲，无论何时外场增加，磁线都会从表面进入超导体内部，并且穿透形成一个磁通前逢边界，这个边界的位置由样品表面的外场大小决定，临界态中，电流密度要么是正比于局部磁感应强度的临界值，要么是零，因此二类超导体的电磁响应由临界态区域的范围决定，具有方位角对称性(azimuthal symmetry)非均匀外场中的前锋轮廓(flux front profile)可以由一种积分函数方法(integral equation technique)得到。根据Bean临界态模型，诱导电流由材料边界产生紧接着外磁场，并进一步延伸到超导体内部

（23）

错误！未找到引用源。是磁感应强度矢量，错误！未找到引用源。是真空磁导率，这引起总磁通密度从材料表面向内部逐渐减小直至达到磁通锋边界时为零，这个边界内部的区域没有磁场，被诱导的屏蔽电流完全屏蔽，这个磁通前锋边界可由总磁感应强度为零的面来定义，这对应于一个定义这个边界的矢量方程，由于错误！未找到引用源。，则同样可以由磁矢势错误！未找到引用源。来定义边界，使用矢势的概念可以极大地简化计算，因为只有一个分量需要确定对于方位角对称问题，对于具有这种对称性的问题，材料内部诱电流可以通过形成回路来模拟，每一个回路者携带常数电流Jc，单个电流回路的矢势已知，并且可以要么使用完全椭圆积分(complete elliptical integrals)，要么通过正交函数(orthogonal functions)来表示，因此，由于所有的诱导电流而产生的矢势是这个单电流回路的已知的矢势的体积积分，在这个积分中的未知量是磁通前锋边界Ψ，这个边界构成积分限的一部分，和电流密度Jc，另外，Ψ既同时是空间和外另磁场的函数，为了简化计算，外加磁场用Jc和一个特征长度归一化，采用这种归一化方案之后，总的矢势 Atot就变为一个无量纲隐函数Ψ=Ψ(R, β)，R为广义空间变量，β是归一化外加磁场，总的矢势由下式给出

Atot =Aβ— AJc （24） Aβ和 AJc 分别是外场β的矢势和诱导电流Jc的矢势，方程中的负号源自屏蔽效应，对于给定的外场β，磁通前锋的位置可由寻找矢势为零的空间点来确定，通常情况下这是一个很困难的工作，但是可以将此方程化为一个简单的积分方程来简化，一般情况下，β是时间的函数，这种方法只能处理临界态的准静态，外场变化的时间尺度远大于磁通线运动所需要的时间尺度，因此，这个模型总是假定随着外场的增大磁通轮廓经历一

系列由外场的历史和当前值惟一确定的准静态，外加磁场的变化导致磁通线轮廓位置相应的变化，但是在整个变化过程中这个轮廓中总的矢势一直为零，因此，确定磁通穿透轮廓的一个要求是

Atot (Ψ(R, β+β), R)= Atot (Ψ(R, β), R)=0 （25）这意味着

（26）

上面的方程往往是Ψ的一阶非线性积分方程，然而，如果Ψ给定，但是它的导数项未知，上述方程可被视为一个导数项的线性一阶积分方程，正如临界态模型所建议的那样，当外场β最初加到超导体上时，磁通量子从表面进入超导体内，因此，初始Ψ(R, β) =0的轮廓是材料的表面轮廓，将这个已知函数代入到上述方程，它就变成一个未知导数的一阶线性积分方程，有几种方法可以用来求解这个方程，这些算法的大多数使用迭代法，并且这个迭代的收敛要么由严格的数学参数，要么在实际应用中被认为是如此，因为严格的数学证明极其困难，Gold提出一个简单的收敛迭代方案以从上述方程求解Ψ的导数，随着外磁场由β增加到β+β，新的磁通前锋轮廓可由下式近似

（27）

图7 二类超导体磁场随外磁场增加过程中的分布图

只要增量错误！未找到引用源。足够小，这个近似便是成立的，用这个近似，可以确定错误！未找到引用源。时的磁通轮廓，但它的导数却还没有确定，这与起初当错误！未找到引用源。=0时的情况相同，上面的方案重复进行，从根

本上讲，这个方法涉及到外场β的渐进增量数值方案(progressively incremental numerical scheme)，和求解上个方程的迭代方法，一旦磁轮廓对外场的依赖关系在零场冷(ZFC)过程中被确定，然后，超导样品对一个外场完整周期变化过程中的响应便可很容易计算出来。

图8 二类超导体磁场随外磁场减小过程中的分布图

7. 场冷悬挂与侧向稳定性

以上所描述的都是超导体处于超导态之后再加外磁场，即所谓的零场冷情形，如果改变两者的顺序，先使正常态的超导体磁化之后再降温使超导体处于超导态（场冷），假如正常态超导体的磁化率为零，则超导体内部的磁场分布与外磁场相同，此时，再降温，超导体内磁场以磁通量子的形式存在，并且由于超导体内的缺陷对涡旋的钉扎作用，超导体内会残留部分磁通线，此时的磁通密度梯度等效电流与外磁场相互吸引，使得超导体与永磁体之间具有吸引力，这种吸引力甚至可以使超导体悬挂在超导体的下面。

一类超导体如铅，锡，汞像抗磁体一样，将所有磁通线从其体内排出，从而产生最大的排斥力，二类超导体，如Nb3Sn或高温超导体却允许磁通线以磁通量子的形式进入超导体的内部，直觉上，好像此时排斥力应该小于第一类超导体，然而，由于材料缺陷对磁通涡旋的钉扎作用，使得二类超导体的排斥力大大强于一类超导体，但是这种悬浮力却在真实的条件下并不稳定，主要是由于热力学效应造成的涨落效应，磁通线热激发的概念，以及钉扎的概念本身第一次都是由P. W. Anderson于1962

年提

出的[36]，基本的观点是任何促使非平衡涡旋分布的过程都会导致超导体磁矩的改变[37]，这样的改变可以被认为是涡旋由钉扎中心自发蠕动的结果，这样的运动则通常起源于热激发[36]，但是它也会起源量子遂穿[38](在非常低的温度下T

当永磁体接近超导体上表面时冷却超导体使其处于超导态，此时，由于磁通钉扎，由于未冷却时磁体产生的磁场被捕获在超导体内，电流密度

（28）

直到磁体运动，不会发生变化，随后如果向上移动永磁体，则会产生电场

（29）

并且根据E(J)关系，便会出现临界电流的分布，磁体最初从超导体上表面移走，由于法拉第-楞次定律(Faraday-Lenz’s law)，出现电流分布，其倾向于保持原来被冻结的磁通线不变，而原来的磁通线与永磁体之间的作用力是吸引力，然而，如果磁体的运动方向反向，便又会诱导出与原来结构相反的电流，现在，样品努力将磁场排出体外，结果，相互作用力变成斥力，这样，就可以看到稳定的悬浮，这种悬浮具有非常强的稳定性，当侧向移动磁体时，电流密度分布会发生变化尽可能保持原来的磁通线结构不变，结果，一个静磁能函数Um中出现一个非常深的势阱，使得任何偏离平衡位置的小位移都会受到一个回复力。

III. 结果与讨论

图6所示为零场条件下制冷实验超导情况下测量超导磁悬力随距离变化的曲线，从图中可以清楚的看出z方向上超导体与磁铁之间的磁排斥力随距离的增大呈指数形式下降。图7为场冷条件下分别测量的超导体与磁铁在z轴方向磁悬浮力与距离的变化曲线。图8和图9为可以做为标准的相对更好的磁悬力测量结果。通过比较，我们发现主要存在两个问题，一个是为能系统而精细地测试超导磁悬力距离的变化关系，深入了解高温超导磁滞的根源，除了分别进行零场和场冷两种条件下的磁悬浮力测试外，还需要分别对起始测量是上行还是下行做出区分，而我们只是做了其中一部分工作，这为我们进一步进行磁悬浮力的测试工作提供了很多价值的参考经验。另一个问

题是测试精度的问题，很显然图7中磁悬浮力的变化曲线虽然大体上反映出磁滞的特征，但是上行数据明显比标准曲线过小，而这很可能是实验操作熟练程度不够造成的。

图9 零场冷磁悬力随距离变化曲线图10 场冷时上行和下行磁浮力随距离变化

从图中可看出二个信息，第一个是场冷条件下下行曲线与零场冷条件下测得的曲线变化趋势极为吻合，从中可以说明超导态与磁化过程无关，这是第一类超导体的明显特征，由于钇钡铜氧高温超导体属于第二类超导体，故而并不像第一类超导体一样超导态与磁化过程无关，因此便可得到第二个信息，即磁悬浮力随时间的变化，这便是所谓的第二类超导体磁滞现象。具体表现在上行和下行曲线不吻合而具有一定的差别。按照bean磁滞模型，下行时由于电磁感应，在超导体边缘位置感应出超导电流，超导电流产生的磁场与磁铁相互作用使得超导体表现出排斥力，由于超导体内部的杂质，缺陷，位错等等影响超导体晶格周期性因素的影响，在超导体这些缺陷中心位置将会形成磁通钉扎中心，使得在超导电流产生的磁场不会随着外磁场的退去立即退去，而是呈现一定的滞后性，当下行到最低位置上行时，这些没有来得及退去的磁场与新感应出的电流产生的磁场相互作用便表现出超导体上行下行磁悬力不吻合的情况。当然，由于实验经验不足、测试样品的部分失超以及测试系统灵敏度不高而原因，本次实验所得结果并不是十分理想，与标准实验结果(图8、图9)相比还是有一定的差距。图8和图9两图分别展现了起始测量阶段为超导体与永磁体相对靠近和离开两种情况。为了验证理论模拟的正确性，我们与两组实验结果做了比较，分别为Raphael B. Kasal等人[44]-[47]和杨万民[48]等人的实验为参考，超导体为圆柱形YBCO，直径分别为2Rsc=28mm和2Rsc=18mm，厚度都是2d=10mm，永磁体为Nd-Fe-B，直径分别为

2Rpm=22mm和2Rpm=19mm，厚度分别为2b=10mm和2b=25mm，通过实验可以得到如下图所示的竖直方向的悬浮力Fz随悬浮距离的变化。如下图所示。

Levitation Force Fz/N

Levitation Force Fz (N)

Distance between HTS and PM Z/mm

Distance between HTS and PM Z (mm)

图11 悬浮力实验值[41]随悬浮距离的变

图12 悬浮力实验值[45]随悬浮距离

根据理论模型计算得到的电流密度分布，我们可以得到Fz的计算式：

Fz



dFz

e

2Rscbh2d

8m



nsBzdzd （30）

bh





式中ns为超导电子密度，e为单位电荷，m为电子的质量， 为单位面积内的涡旋数。首先，为了计算的简便，我们将ns看作常数，则上式可写为：

Fz

ens

8m

Rscbh2d



Bzdzd （31）

bh





又因为Bz

1



A，代入上式得到：

ens

8m

Rscbh2d

Fz



bh

2Bz

z

Bzdzd



dzd



ens

4m

Rscbh2d



bh

AA

1AAzz

（32）

则k的第一类椭圆积分可表示为：

D

'2zz'2

2 （33）22

'2'cos2zz'

同理可得：

E

'2'cos2zz'

'2zz'2

（34）

则等效螺线管的磁矢势可表示为：

0j

4

Rpm

b2

A



b0

'cos2

'2'cos2zz'

d'dz'd （35）

在计算过程中，参数完全按照实验给出的数值，Rsc=14mm，d=5mm，Rpm=11mm，b=5mm，e为单位电荷量，m为电子的质量。计算结果见图13。

图13 悬浮力理论计算与实验[44]的Fz—Z曲线

我们得到悬浮力随悬浮距离变化的曲线Fz—Z，。从图中Fz—

Z曲线可以看出，理论计算的悬浮力值与实验测量的悬浮力曲线整体变化趋势基本相同，除此之外，我们还研究了磁悬浮力曲线随涡旋密度梯度等效电流和永磁体剩余磁场强度（图14）之间的关系，以及磁悬浮力曲线与超导样品厚度和纵横比的关系（图15）

图14 磁悬浮力曲线随不同等效电流和永磁体不同的剩余磁场的变化

图15 磁悬浮力曲线与超导样品厚度和纵横比的关系

IV.参考文献

[1] F. Hellman, E. M. Gyorgy, D. W. Johnson, Jr.,H. M. O’Bryan, and R. C. Sherwood, ”Levitation of a magnet over a ﬂat type-II superconductor”, J. Appl. Phys 63,

447-450(1988).

[2]W. G. Harter, A. M. Hermann, and Z. Z. Sheng, ”Levitation eﬀects involving high Tc thallium based superconductors”, Appl. Phys. Lett. 53, 1119-1121(1988).

[3] F. Hellman, E. M. Gyorgy, D. W. Johnson, Jr.,H. M. O’Bryan, and R. C. Sherwood, ”Levitation of a magnet over a ﬂat type-II superconductor”, J. Appl. Phys 63, 447-450(1988).

[4] A. R. Conn, N. I. M. Gould, Ph. L. Toint, LANCELOT: A Fortran Package for Large-Scale Nonlinear Optimization, Springer Series in Computational Mathematics(Springer Verlag, Berlin 1992).

[5] J. R. Hull 2000 Supercond. Sci. Techno. 13 R1; N. Koshizuka, F. Ishikawa, H. Nasu, M. Murakami, et al., Phys. C 386 (2002) 444.

[6] J. R. Hull et al 2005 Supercond. Sci. Technol. 18 S1; N. Koshizuka, F. Ishikawa, H. Nasu, M. Murakami, et al., Phys. C 378 (2001) 11.

[7] Wang J J, He C Y, Meng L F, et.al. 2003 Supercond.Sci.Technol. 16 527 -533

[8] J. R. Hull, E. F. Hilton, T. M. Mulcahy, Z. J. Yang, and A. Lockwood, “Low friction in mixed-mu superconducting bearings,’’ J. Appl. Phys. 78(11), 6833–6838 (1995).

[9] J. R. Wang, P. X. Zhang, L. Zhou, M. Z. Wu, W. Gawalek, P. Gornert, H. Weh, in: 15th Inter. Conf. on Magnet Technol., Beijing, October 20 24, 1997.

[10] F. C. Moon, M. M. Yanoviak, R. Ware. Hysteretic levitation forces in superconducting ceramics [J]. Appl. Phys. Lett., 1988, 52 (18): 1534-1536.

[11] K. Hiroaki, O. Assushi. Measurement and analysis of lateral forces between magnets and high-Tc superconductors [J]. J. Appl. Phys., 1995, 77 (2): 770-778].

[12] M. Masato, O. Terutugu, F. Hiroyuki, et al. Large levitation force due to flux pinning in YBaCuO superconductors fabricated by melt-powder-melt-growth process [J]. Japanese Journal of Applied Physics, Part 2, vol. 29, Nov. 1990, p. L1991-1994.

[13] P. Boegler, C. Urban, H. Rietschel, et al. Standardized mesurements of interaction forces in autostable superconducting magnetic bearings[J] . Appl Supercon, 1994, 2 (5): 315-325.

[14] E. Postrekhin, K. B. Ma, W. K. Chu, IEEE Appl. Supercond. 11 (2001) 1984.

[15] Wang X R, Song H H, Ren Z Y, et.al. 2003 Phys. C 386 536 -539.

[16] N. D. Valle et. al. 2008 Appl. Phys. Lett. 92 042505; Appl. Phys. Lett. 91 112507 ; Appl. Phys. Lett. 90 042503.

[17] D. L. Shi, D. Qu. Sagar, and K. Lahir 1997Appl. Phys. Lett. 70 3606.

[18] Y. S. Cha, J. R. Hull, T. M. Mulcahy, and T. D. Rossing, J. Appl. Phys. 70, 6504 (1991).

[19] B. Lehndorff, H. -G. Kürschner, B. Lücke, and H. Piel, Physica C 247, 280 (1995).

[20] P. -Z. Chang, F. C. Moon, J. R. Hull, and T. M. Mulcahy, J. Appl. Phys. 67, 4358 (1990).

[21] B. A. Tent et al, 1998 Phys. Rev. B 58, 11761;

[22] Del-Valle N., Sanchez A., Navau C. et.al. Supercond. Sci. Technol. 21 125008(2008)

[23]E. H. Brandt, Rep. Prog. Phys. 58, 1465 (1995).

[24] C. P. Bean, Rev. Mod. Phys. 36, 31 (1964); Phys. Rev. Lett. 8, 250 (1962).

[25] For example, K. V. Bhagwat and P. Chaddah, Pramana 33, 521 (1989); D.-X. Chen, A. Sanchez, J. Nogués, and J. S. Muñoz, Phys. Rev. B 41, 9510 (1990); P. N. Mikheenko and Y. E. Kuzovlev, Physica C 204, 229 (1993); J. McDonald and J. R. Clem, Phys. Rev. B 53, 8643 (1996); E. H. Brandt, ibid. 54, 4246 (1996).

[26] E. H. Brandt, Am. J. Phys. 58, 43 (1990).

[27] M. J. Qin, G. Li, H. K. Liu, S. X. Dou, E. H. Brant, Phys. Rew. B 66 024516(2002).

[28] Hellman F., Gyorgy E M, Johnson D W, et.al. 1988 Appl. Phys. 63 447; L. C. Davis, E. M. Logothetis, R. E. Soltis, J. Appl. Phys. 64 (1988) 4212.

[29] Navau C, Sanchez A 1998 Phys. Rev. B 58 963.

[30] E. H. Brandt, Appl. Phys. Lett. 53 1554 (1988).

[31] M. W. Coffey Phys. Rev. B 65 214524 (2002); M. W. Coffey Phys. Rev. B 52 R9851(1995); Q. G. Lin Phys. Rev. B 74(2) 024510(2006).

[32] F. Hellman, E. M. Gyorgy, D. W. Johnson, Jr., H. M. OBryan, R. C. Sherwood, J. Appl. Phys. 63 447 (1988).

[33] L. C. Davis, E. M. Logothetis, R. E. Soltis, J. Appl. Phys. 64 4212 (1988).

[34] K. Salama and D. F. Lee, ‘‘Progress in melt texturing of YBa2Cu3Ox superconductor,’’ Supercond. Sci. Technol. 7, 177–193 (1994).

[35] L. Civale, ‘‘Vortex pinning and creep in high-temperature superconductors with columnar defects,’’ Supercond. Sci. Technol. 10, A11–A28 (1997).

[36] P. W. Anderson, ‘‘Theory of flux creep in hard superconductors,’’ Phys. Rev. Lett. 9, 309–311 (1962).

[37] Y. Yeshurun, A. P. Malozemoff, and A. Shaulov, ‘‘Magnetic relaxation in high-temperature superconductors,’’ Rev. Mod. Phys. 68 (3),911–949 (1996).

[38] G. Blatter, V. B. Geshkenbein, and V. M. Vinokur, ‘‘Quantum collective creep,’’ Phys. Rev. Lett. 66, 3297–3300 (1991).

[39] E. H. Brandt, P. Esquinazi, H. Neckel, and G. Weiss, ‘‘Drastic increase of frequency and damping of a superconducting vibrating reed in a longitudinal magnetic field,’’ Phys. Rev. Lett. 56, 89–92 (1986); E. Rodrĺguez, J. Luzuriaga, C. D’Ovidio, and C. Esparza, ‘‘Softening of the flux-line structure in La2-xSrxCuO4 measured by a vibrating reed,’’ Phys. Rev. B 42, 10796–10800 (1990).

[40] Y. B. Kim, C. F. Hempstead and A. R. Strand, ‘‘Critical persistent currents in hard superconductors,’’ Phys. Rev. Lett. 9, 306–309 (1962).

[41]. Brandt E H, 1996 Phys. Rev. B 54 (6) 4246.

[42]. Brandt E H, 1998 Phys. Rev. B 58 (10) 6506.

[43]. Qin M J, Li G, Liu H K, and Dou S X, Brandt E H, 2002 Phys. Rev B 66 (10) 024516.

[44] Raphael B. Kasal, Rubens de Andrade Simulation of Dynamic Levitation Force Taking Flux Creep Into Account VOL.17,NO.2, JUNE 2007，2158-2161

[45] P.F. Herrmann, C. Cottevielle,G. Duperray, A.Leriche, T. Verhaege,C. Albrecht, andJ.Bock,“Cryogenic load calculation on high current lead,” Cryogenics, vol. 33, pp. 555–562, 1993.

[46] T. Rettelbach and G. J. Schimitz, “3D simulation of temperature, electric field and current density evolution in superconducting compo-nents,” Superconductor Science and Technology,vol.16,pp.645–653,2003.

[47] J. Grundmann, M. Lindmayer, R. Rockelein, and W. Schmidt, “Simulation of HTS switching with the finite element analysis program ANSYS,” Superconductor Science and Technology, vol. 16, pp.562–565, 2003.

[48] 杨万民，周廉，冯勇等，Effect of grain-alignment on the levitation force of melt-processed YBCO bulk superconductors.Chin.Phys.Soc Vol 8 No 7 1999 533-538.

V. 致谢

首先感谢我的导师李平林教授，李老师渊博的学识、严谨的学风、认真的工作态

度和开阔的事业令我敬佩。本论文从选题到完稿均得到李老师的悉心指导，李老师对科研独特的视角和启发式的指导，令我感悟很深，仔细领会更觉受益匪浅。李老师将总结的研究方法和积累的科研经验都毫无保留地向我传授，所有这一切将使我终生受益。

回想在论文研究的过程中，我得到了许多无私的帮助和真诚的鼓励，感激之情难以用语言表达，要感谢的人很多，包括郑州大学材料物理实验室的老师们和同学们。感谢贾瑜教授、孙强教授、胡行教授、曹义刚教授等，他们给我提供了一个良好的科研环境，在学习和科研中给予了巨大的关心和支持。在此一并向他们表示感谢。

其实，我从大一下学期就结识了李老师，在以后的学习和生活中，李老师给了我很多帮助和关怀。除了专业课学习上的指导，李老师还向我推荐了许多优秀的科学著作，以培养我对科学的爱好和思辨能力。李老师经常鼓励我勤于思考，敢于质疑，勇于创新。2009年5月，在李老师指导下，我跟同学积极参与了大学生科技创新活动。2009年下学期，李老师每周都抽出二个小时间给我我讲解他在超导理论方面的科学探索，李老师知识渊博，思维敏捷，思路开阔，考虑问题细致而周全，从他身上我了解了开展科研工作的方法和步骤，知道了从事科研所必备的素质和精神。与此同时，李老师又帮助我们申请了“大学生创新实验项目”，在新区为我们开设了实验室，并提供了良好的科研环境。

在平时的学习和生活当中，我得到了许多同学的帮助和真诚的鼓励，在此表示衷心的感谢。很荣幸能与刘晓浩、鲍伟成同学分在一组，刘晓浩的编程能力和对问题的敏锐洞察力、鲍伟成同学的认真细致、一丝不苟的精神给我留下了深刻的印象。毕业设计期间，与他们共同合作，相互学习，一起谈论，使我受益匪浅。在此，对他们表示感谢。

这段珍贵的学习经历使我受益匪浅，无论是学术上还是人生阅历上，对我以后的发展有很大的帮助。最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢。

超导磁悬浮磁滞现象的动态理论研究

相关内容

热门内容