浅析单位根与协整的原理与检验
■何川
厦门大学财政系
［摘要］单位根的随机性趋势与协整关系对实证分析中时间序列的影响是不容小觑的。检验的目的在于更好的分辨数据特性、甄选模型，以达到或能预测或能证实因果关系或否定以上两者的结果。本文将以二者的计量统计检验为对象，按“是什么、“为什么”和“怎么办”的思路分析检验的由来、如何通过检验对实证模型进行修正以解决不平稳带来的估计不一致问题。［关键词］单位根协整检验ＤＦＥＣＭ
一、什么是单位根与协整
开篇即给出数理的定义稍显突兀，因此引入对此问题的一个经典比喻来形象化说明问题。“醉汉和他的狗”行进的路径被视为两个序列（ＭｉｃｈａｅｌＰ．Ｍｕｒｒａｙ，２００６），其中醉汉走路的每一步都视为随机游动（ｒａｎｄｏｍｗａｌｋ），狗也是同样，两个序列都存在随机性趋势。从酒吧门口算起，上次见到他们的位置也许是预测现在位置的最佳猜测，因为根本无法估计东倒西歪的行进规律。但特别的是，狗是属于醉汉的，这里的主从关系使两个变量之间存在了某种联系。所以一旦知道其中之一的位置，另一个应该也在不远处。醉汉和狗各自的行径就是随机性趋势即单位根存在的一种体现，而两者之间存在关系因而会对距离进行调整就是一种协整关系的模拟。
确切的来说，单位根即特征方程解出的模为１的特征根。滞后算子可以直接进行运算，而由此可以推导出方程的自回归多项式。通过求解令多项式为零的特征方程，对其在复数范围内进行彻底的因式分解，得到所称的特征根。
在二元条件下，假设ｘ１ｔ和ｘ２ｔ是一阶单整的Ｉ（１）（即水平值方程存在单位根，进行一阶差分后平稳）。如果对于某些系数β２，ｘ１ｔβ２ｘ２ｔ是零阶单整的Ｉ（０）（即平稳的），那么就说ｘ１ｔ和ｘ２ｔ是协整的。β２被称为协整系数，向量β’＝（１，β２）即协整向量。扩展到多元也是同样道理，不过维度会扩展为多维，且ｎ个变量只可能存在（ｎ－１）个协整关系。
二、为什么需要关注单位根与协整
分析“为什么”，从问题入手引出必要性或许是个可行的思路。从前文了解到，单位根意味着带来ｎｏｎ－ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ问题的随机性趋势（ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃｔｒｅｎｄ）。直觉上，随机性趋势会对建立在此基础上的回归方程带来不利影响，可能会降低回归的功效（ｐｏｗｅｒ），使ＯＬＳ估计量即使在大样本也不服从正态分布。首先，不妨从ＪｏｈｎＥｌｄｅｒａｎｄＰｅｔｅｒＥ．Ｋｅｎｎｅｄｙ（２００１）的直观例子入手。
一阶单整的。此时将残差项作为修正后因子引入方程，此时各项均呈平稳态势，即通过对误差项的修正排除了随机性趋势。值得注意的是，静态回归ｘ１ｔ＝μ＋β２ｘ２ｔ＋ｕｔ在不同样本容量下β２的分布不收敛，而其ｔ值分布则随着样本增大而分散。因此不能单纯依靠此模型来分析协整关系。判断是否存在合适的β２即协整关系是首要工作。
三、怎样具体进行单位根与协整检验单位根的检验，对于修正随机性趋势的过程而言，只是第一步。此处笔者把它单独提出来，因为而后的协整检验与其建模技巧类似。
ＡＲ（１）：
其中Ｈｏ：π＝０，ＨＡ：－２＜π＜０
这里零假设即是存在单位根（不难推导π＝θ－１＝－θ（１））。值得注意的是，这里对π的检验可以采取ｔ－ｒａｔｉｏ的方式，即估计值与其ＳＥ的比值；但这个统计量并不服从ｔ分布，而是全新的ＤＦ分布，其临界值与是否含有ｔｒｅｎｄ和ｃｏｎｓｔａｎｔｔｅｒｍ有关。
Ａｒ（ｐ）：
（取ｐ＝３，此处直接写成变换后
的等价形式）这里也称为ＡＤＦ检验：
同理有Ｈｏ：π＝０，ＨＡ：－２＜π＜０，此处π服从ＤＦ分布，但ｃ１、ｃ２服从标准正态分布（一阶单整差分后是平稳的）。
这里需要注意，ＡＤＦ检验中为了对直观看图无法区分的ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ和ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｓｔｉｃｔｒｅｎｄ有所识别，进行联合假设：Ｈｏ＊：π＝δ＝０（π＝０即存在随机性趋势，δ＝０即差分方程不存在确定性趋势，也即关于ｔ２的时间趋势）并采用对数似然估计。
ＡＤＦ检验为检验单位根提供了方便的方法，但其检验功效低已成为一个很致命的缺陷。这也是很多时候学者选择ｔ检验而不是Ｆ检验的原因（Ｆ检验的ｐｏｗｅｒ相较较低）。因此引入第二代检验：ＤＦ－ＧＬＳ（ＥＲＳ）检验。
ＧＬＳ的原理是为了解决Ｕｔ序列自相关问题，通过两阶段最小二乘，对Ｕｔ自回归并分离出序列无关的Ｖｔ部分，在对变换后的准差分式子回归，从而符合ＨＡＣ要求。这相较ＡＤＦ对Ｕｔｉｉｄ的假设来说更符合现实也更稳健。它改进了模型区分单位根零假设和因变量平稳的备择假设的能力，提高了检验功效，降低了纳伪的犯错误概率。
前面提到，单位根检验是协整检验过程的一部分。就整个协整检验的思路来看，先通过单位根检验确定“可疑”变量的随机性趋势；若均不平稳，则寻找变量间的相关关系即协整向量β’：Ｚｔ＝Ｘ１ｔ－β２Ｘ２ｔ，其中β＝（１－β２）’；若Ｚｔ零阶单整，即由于协整
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在模型Ａ中，ＧＤＰ（ｙ）从ｙ０起每年以１００θ％的复合速率增长，εｔ为每年的ｅｒｒｏｒ；模型Ｂ中，ＧＤＰ在上一年的基础上以１００θ％的速率增长。乍看二者没有很大差别，因此选择模型时很容易凭主观臆断，造成与实际不符的严重结果。通过变形，可以更清楚地看出二者的差别：
比较变换后的模型，Ａ中的误差项只对当期产生影响，而不涉及随后的时期，因而一个冲击（ｓｈｏｃｋ）会在当期发生后很快的消失（ｄｉｅｏｕｔ）；而Ｂ中的误差项不仅对当期、还对随后时期产生影响，从而冲击对ＧＤＰ的影响会随着时间持续（ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｔ）。这会对评价冲击、选取宏观经济政策产生深远影响：到底一项政策的出台，或是一个大冲击的出现，会迅速平复（ｔｒａｎｓｉｔｏｒｙ）还是带来长久影响呢？此为其一。
其二，在Ｂ’’中，由于ｌｎｙ０的系数为１，因此每一期的误差项对当期的影响，都被完整地保留到下一期，即对下期ＧＤＰ的冲击εｔ具有累积效应。随着时间的延伸，累积项会带来发散的趋势，ｌｎｙ的方差将无限增大无法收敛，这会给传统的统计检验带来严重问题。正如前文所定义的，Ｂ’’这个ＡＲ（１）中存在单位根并由此产生了漂移项（ｄｒｉｆｔ，θｔ），统计量不再服从ｔ分布或标准正态分布，置信区间失效，即使在大样本下也是如此。带有随机性趋势的系数分布带有很长的左尾，系数偏向于零。
其三，当存在随机性趋势的时候，很容易产生两个不相关的时间序列看起来相关的问题，即所称的“伪回归”。这种情况下，无论是ｔ统计量还是Ｒ平方都很大，但杜宾沃森（ＤＷ）统计量低，所谓“显著”的因果效应是虚假的。
单位根的存在对传统的统计检验提出了挑战。实证分析有必要弄清楚回归基于的数据是否存在单位根，更重要的是有必要解决单位根带来的问题。前者使单位根的检验有了意义，后者，可以解释引入协整的必要性。
回顾第一部分所述，协整即存在共同的随机性趋势。承接前文，伪回归的一种特殊情况即是两个时间序列的趋势成分相同，此时可能利用这种共同趋势修正回归使之可靠。正是由于协整传递出了一种长期均衡关系，若是能在看来具有单独随机性趋势的几个变量之间找到一种可靠联系，那么通过引入这种醉汉与狗之间距离的“相对平稳”对模型进行调整，可以排除单位根带来的随机性趋势，即所称的误差修正模型（ＶＥＣＭ）。
从静态模型出发，ｘ１ｔ和ｘ２ｔ均为一阶单整的变量：Ｕｔ＝Ｘ１ｔ－μ－β２Ｘ２ｔ。直观地说，如果二者协整（即存在一个β２），则ｕｔ平稳且均值为零；如果不存在协整，则ｕｔ序列是
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是科研成果转化的活水源头，高校内部激励机制的健全，不仅有利于科研成果的产生，而且能够加快成果的迅速转化，因此健全高校内部的激励机制尤为重要。
（一）转变观念，把科研成果转化融入教学科研与人才培养的全过程
高校科研成果转化过程不仅本身是科技经济活动，也是教学科研和培养人才的过程。这种创造性活动要求高校及其科研人员转变观念，树立科技没有转化、应用等于没有研究出来；科研活动既要注重学术价值和经济效益、社会效益，又要注重培养创新型人才的创新思想。高校在对科研人员评定职称或晋升时，不仅要将科研成果的水平、论文专著的发表数等作为硬指标而加以考核，对科研成果的开发应用及其所取得的经济效益也要给予同样的地位，甚至更高的地位。只有把研究与成果转化联为一体，以成果转化后的效益水平作为考核的重点，才能提高成果的应用转化率，才能使科研人员在科研立项时，充分考虑技术的可行性与成果的可转化性。
（二）推行新型分配制度，有效激励科研人员
利益分配问题是调动科研人员积极性的核心问题，保障科研人员的合法利益能充分调动其从事研究、开发、应用、转化等工作的积极性。高校可以按照国家和当地政府的政策，结合本校实际情况，制定各种开放、优惠政策，建立劳动、知识、资本、技术等生产要素按贡献参与分配的机制，拥有科研成果或具有从事科研咨询资格的科研人员和教师可以在一定年限内带薪离岗创办与科研成果转化相关的学科性公司、科技咨询公司等，但应当吸纳学生到公司学习、研究和锻炼；有能力的科研人员和教师可以在完成本职工作任务的同时去科研成果转化的单位兼职，把科研成果的转化效益科研人员及科技管理人员的工资、奖金、福利等挂钩，科研人员和教师的课题结余经费可以作为他们创办科技型企业、投资其他科研成果转化公司的资金等，扩大自主支配权限。
在科技奖励政策方面，应当提倡奖励科研团队的方式。《中国高校科学技术奖励暂行办法实施细则》总则第五条中明确规定“中国高校科学技术奖是授予科技工作者和单位的荣誉，授奖不决定科学技术成果的权属综合以上以团队的名义来进行奖励较为适宜”。这种奖励制度没有影响到课题负责人或单位的切身利益，因为奖励不影响成果归属问题。其次，这种奖励制度能激发更多的人从事科研工作。他们的积极性和钻研精神对国家将来学术发展的影响是长远的。
（三）改革并不断完善体制
人才是科研成果转化的第一资源，为充分调动科研人员从事科学研究和科研成果转化的积极性，高校应当坚持以人为本，创造新的用人制度，树立科学的人才观，创造公开、公正、竞争、合理的用人环境，形成人员能进能出、职务能上能下、待遇能高能低的用人新机制，推行“按需设岗、按岗聘任、择优上岗、动态更新”的岗位聘任制度，实行人事代理制度，建立人才流动机制，实现人才资源的优化配置，以引进复合型、推广应用型的创新人才；把对高校科研成果转化贡献突出的科研人员或横向课题多、与企业紧密联系的教师提拔到重要管理岗位，让有突出贡献的科研人员经济上有实惠、政治上有荣誉、社会上有地位，鼓励人人都为科研成果转化作贡献，人人都成为开拓创新型科技人才。另外，科技成果评估的结果与利益分配紧密相关，直接影响科技成果转化参与者的积极性，因此必须建立公正合理的评估机制，完善科技成果评估体系。
高校应针对基础研究、应用研究、开发研究建立不同的评估体系，基础研究应以学术界和社会的反响程度、论文水平、社会效益等作为主要评价标准，应用研究、开发研究则应以成果转化和产业化程度、经济效益等作为主要的评价依据和衡量标准；评估科技成果既要注重纵向课题，又要注重横向课题，注重科技成果的实用价值，这样可提高科研人员主持或参与横向课题的积极性，加快高校科技成果转化。
参考文献
［１］王瑞丹，优化科技成果转化的政策性机制研究，中国行政管理［Ｊ］，２００４（６），２９－３２页
［２］迟旭，国外高校科技成果转化机制及借鉴，科技与管理［Ｊ］，２００５（１），１１８－１２２页
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［４］谢克昌，提高高校科技创新和成果转化能力的思考与建议［Ｊ］，中国科技产业，２００５（５）
［５］刘庆贤，陈善忠，高校科技成果转化的难点及对策研究［Ｊ］，上海理工大学学报：社会科学学报，２００３（２）
［６］杨云川，影响高校科技成果转化的因素及对策［Ｊ］，云南大学学报，２００５（２）
［７］杨京京、刘明军，高校科技成果转化机制研究，科技管理研究［Ｊ］，２００５（８），１２４－１２５页
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向量的修正，误差项排除了随机性趋势，则将此项引入方程修正模型（ＥＣＭ），
（其中各变量均
为二元向量）使各项均平稳。在此思路框架上，较粗略的浏览Ｅｎｇｌｅ－Ｇｒａｎｇｅｒ两步协整检验和ＥＣＭ检验。
（一）β２已知ＥＧ两步模型（以二元为例）
１．已知ｘ１ｔａｎｄｘ２ｔ通过单位根检验，均为一阶单整。
２．若β２已知，则有Ｚｔ＝Ｘ１ｔ－β２Ｘ２ｔ。对Ｚｔ进行ＡＤＦ检验，若能拒绝零假设（π＝０）则协整关系成立，Ｚｔ不存在单位根而是平稳的，此为对协整关系的检验；
３．若存在协整，则由超一致性，对残差项进行单位根ＤＦ检验，同理若拒绝π＝０的零假设则残差项平稳，此时β２的估计值为合理的协整向量。（值得注意的是，系数的分布临界值与是否含常数项、确定性趋势回归包含的因子数等均有关。）
４．若残查项平稳，则将其作为修正项ｅｃｍｔ－１引入动态误差修正模型：
同理可以修正误差使ＥＣＭ各项平稳。
此时各项均是平稳的，服从标准分布。协整修正起到了作用。
（二）β２未知ＡＤＬ与ＥＣＭ模型：原理同上，但由于很多情况下β２未知或估计有偏，所以必须修正模型。
１．从ＡＤＬ模型入手并导出等价的误差修正模型：
其中γ１和γ２为长期累积效应。可以通参考文献
［１］ＨｅｉｎｏＢｏｈｎＮｉｅｌｓｅｎ（２００６），Ｎｏｎ－Ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ过此模型对β２进行估计：
即所称的ｌｏｎｇ－ｒｕｎ
ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ。
２．采用非协整的ＰｃＧｉｖｅＴｅｓｔ对零假设Ｈ０：γ１＝０（即不存在协整关系）进行检验，同样要注意服从的分布临界值受因子数量、是否存在缺点性趋势有关。
３．若拒绝零假设即存在协整关系，则将此ｌｏｎｇ－ｒｕｎｓｏｌｕｔｉｏｎ：引入方程，
ＴｉｍｅＳｅｒｉｅｓ，Ｃｏｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ，ａｎｄＳｐｕｒｉｏｕｓ
Ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ
［２］ＪｏｈｎＥｌｄｅｒａｎｄＰｅｔｅｒＥ．Ｋｅｎｎｅｄｙ（２００１），ＴｅｓｔｉｎｇｆｏｒＵｎｉｔＲｏｏｔｓ：ＷｈａｔＳｈｏｕｌｄＳｔｕｄｅｎｔｓＢｅＴａｕｇｈｔ？，ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＥＣＯＮＯＭＩＣＥＤＵＣＡＴＩＯＮ［３］ＨｅｉｎｏＢｏｈｎＮｉｅｌｓｅｎ（２００６），ＣＯＩＮＴＥＧＲＡＴＩＯＮＡＮＤＣＯＭＭＯＮＴＲＥＮＤＳ
［４］ＭｉｃｈａｅｌＰ．Ｍｕｒｒａｙ（１９９４），ＡＤｒｕｎｋａｎｄＨｅｒＤｏｇ：ＡｎＩｌｌｕｓｔｒａｔｉｏｎｏｆＣｏｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎａｎｄＥｒｒｏｒＣｏｒｒｅｃｔｉｏｎ，ＴｈｅＡｍｅｒｉｃａｎＳｔａｔｉｓｔｉｃｉａｎ
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