第四章光辐射在介质光波导中的传播

光通信系统的组成：

光发射系统：将输入电信号转化为与输入电信号完全一致的输出光功率

光传输系统：光波导、光纤都可作为光的传输介质。光接收系统：将输入光信号转变成电信号输出。

平板波导的射线理论

光束在介质中传输时，由于介质的吸收和散射而引起损耗，由于绕射而引起发散，这些情况都会导致光束中心部分的强度不断地衰减。因此，有必要设计制作某种器件，它能够引导光束的传播，从而使光束的能量在横的方向上受到限制，并使损耗和噪声降到最小，这种器件通常称为光波导，简称波导。结构最简单的波导是由三层均匀介质组成的，中间的介质层称为波导层或芯层，芯两侧的介质层称为包层。芯层的介电常数比芯两侧包层的介电常数稍高，使得光束能够集中在芯层中传输，因而起到导波的作用。这种波导的介电常数分布是陡变的，也称为阶梯变化的，常称这种波导为平板波导。

对光波导特性的分析，应用两种理论，即射线光学理论和波动光学理论。射线光学理论的优点是对平板波导的分析过程简单直观，对某些物理概念能给出直观的物理意义，容易理解。缺点是对于结构复杂的多层波导射线光学理论不便于应用，或只能得出粗糙的结果。一般而言，若想全面、正确地分析各种结构的光波导的模式特性，还必须采用波动理论。

光射线，简称射线或光线，可以这样理解：一条很细很细的光束，它的轴线就是光射线。它的方向沿着光能流的方向。光线与光束是不同的，光线是无限细的，光束则有一定的尺寸。光线在均匀介质中的传输轨迹是一条直线，在非均匀介质中的传输轨迹是一条曲直线。用射线去代表光能量传输路线的方法称为射线光学。射线光学是忽略光波长的光学，亦即射线理论是光波长趋于零的波动理论。

本章将应用射线光学的基本理论对三层平板波导加以分析，目的是对波导的导波原理和与之相关的某些物理概念为读者给出直观的物理意义和清晰的理解，并为以后运用波动光学理论分析各种结构光波导的模式特性打好基础。

§4.1 模式类型

我们把波导中所能传输的电磁场型称为波导的模式，在平板波导中存在两种基本模式，一种称为TE 模，另一种称为TM 模。两种模式用光的电场和磁场的偏振方向来定义比较直观。选择电场只沿平行于波导界面的方向偏振，此时电场垂直于光的传播方向，是横向的，因而把这种模式称为横电模，英文为

Transverse Electric Mode，取其字头称为TE 模。选择磁场只沿平行于波导界面的方向偏振，此时磁场垂直于光的传播方向，是横向的，因而把这种模式称为横磁模，英文为Transverse Magnetic Mode，取其字头称为TM 模。根据模式的导波性或辐射性，可进一步把模式分为导引模式和辐射模式，前者简称导模，而后者简称辐射模。

现来研究三层平板波导，其横截面和相对介电常数分布如图4-1所示，光沿垂直纸面的z 方向传输，图中b 为波导芯厚度，ε1、ε2、ε3分别为芯层、下包层和上包层的相对介电常数，相应的折射率分别为n 1、n 2、n 3，它们与相对介电常

数的关系为ε1=n 12、ε2=n 2、ε3=n 3。为了分析方便，常令ε1>ε2≥ε3，或

n 1>n 2≥n 3。当上下包层为同一种介质时，ε2=ε3，此时为对称三层波导，当上

下包层为两种不同的介质时，ε2≠ε3，此时为非对称三层波导。令光沿z 方向传输，光在y 方向不受限制。下面我们对非对称三层波导进行分析，即ε1>ε2>ε3、

n 1>n 2>n 3。对于对称三层波导，只要在分析结果中令n 2=n 3即可。

图4-1 三层平板波导的横截面图及相对介电常数分布，ε1 > ε2 ≥ ε3，当ε2 = ε3时为对称三层平板波导，当ε2 ≠ ε3时为非对称三层平板波导。

4.1.1 折射定律和全反射

光在波导中传输时，从射线的角度来看，要不断地在波导的两个界面上发生反射和折射，如图1-2所示。反射光的轨迹在芯层中是一个锯齿波。令入射角为θ1，在下界面的折射角为θ2，在上界面的折射角为θ3。当入射角θ1较小时光在上下两个界面上都不发生全反射，此时光在上下两个界面上的折射满足折射定律

n 1sin θ1=n 2sin θ2

ε1 = n 1

ε(x )

n 1sin θ1=n 3sin θ3

(4.1-1) 即有

n 1sin θ1=n 2sin θ2=n 3sin θ3

(4.1-2)

由式(4.1-1)可得

sin θ1=

n 2

sin θ2n 1

sin θ1=

n 3

sin θ3 n 1

(4.1-3)

因为n 1>n 2>n 3，由式(4.1-2)可判断出θ1

θ2 和θ3也随之增大。当θ3增大到90°时，光在上界面上发生全反射。如果入射角θ1继续增大，使得θ2也增大到90°时，光在下界面上也要发生全反射。光发生全

反射时的入射角称为临界角。由式(4.1-3)可得到光在下、上两个界面上发生全反射时的临界角θ12、θ13分别为

θ12=arcsin

n 2n 1

θ13=arcsin

n 3

n 1

(4.1-4)

因为n 2>n 3，所以θ12>θ13。

4.1.2 空间辐射模

当入射角较小时，使得光在上下两个界面上都不发生全反射，如图4-2所示。在这种情况下，光在传输过程中不断地有折射光进入上下包层，即光能量不断地从上下包层中辐射出去，这种模式称为空间辐射模。因此若产生空间辐射模，入射角θ1必须满足下述条件

θ1

n 3

n 1

(4.1-5)

由上式还可得到

n 1sin θ1

(4.1-6)

我们定义N =n 1sin θ1为模式的有效折射率。引入有效折射率的概念后，产生空间辐射模的条件又可写为

(4.1-7)

令k 0=2πλ0，称k 0为为真空中波数，λ0真空中光波长，并定义β=k 0N 为模式的传播常数，它是波矢k 的z 分量，即k z =β。引入传播常数的概念后，上式两端同乘以k 0，因此产生空间辐射模的条件又可写为

β=k 0N

(4.1-8)

我们把产生空间辐射模的条件合写如下

θ1

n 3n 1

N =n 1sin θ1

β=k 0N

(4.1-9)

传播常数β的单位通常采用cm -1或mm -1。

图4-2 空间辐射模

4.1.3 衬底辐射模

如果入射角θ1增大到使光在上界面发生全反射但在下界面还没发生全反射，如图4-3所示。此时光在传输过程中不断地有折射光进入下包层，即光能量不断地从下包层(有时也为衬底) 中辐射出去，这种模式称为衬底辐射模。因此若产生衬底辐射模，入射角θ1必须满足下述条件

arcsin

n 3n

=θ13

(4.1-10)

由上式还可把产生衬底辐射模的条件写为

n 3

(4.1-11)

上式两端同乘以真空中波数k 0，产生空间辐射模的条件又可写为

k 0n 3

(4.1-12)

图4-3 衬底辐射模

4.1.4 导模

如果入射角θ1增大到使光在上下两个界面上都发生全反射时，此时上下包层中不再有折射光，如图4-4所示。在这种情况下，光能量不再向包层中辐射，光被限制在波导芯中以锯齿波的形式沿z 方向传输，这种模式称为导模。因此若产生导模，入射角θ1必须满足下述条件

arcsin

n 2

=θ12

(4.1-13)

由上式还可把产生导模的条件写为

n 2

(4.1-14)

图4-4 导模

上式两端同乘以真空中波数k 0，产生空间辐射模的条件又可写为

k 0n 2

(4.1-15)

4.1.5 禁区

如果入射角θ1增大到90°，则光将沿z 方向前进，此时导模的有效折射率N = n 1，传播常数β=k 0n 1，这是导模最大可能的传播常数。对于组成波导的各层介

质都是线性的情况，N > n 1或β>k 0n 1的区域为禁区，代表不存在模式的区域。

4.1.6 表面模

对于某些特殊结构的波导，如金属包层波导和非线性波导，会出现其有效折射率大于n 1、传播常数大于 k 0n 1的情况。这种N > n 1或β>k 0n 1的模式称为表面模。

§4.2 全反射相移

光在波导界面上发生全反射时，入射角大于临界角。以下界面为例，有

arcsin

n 2

=θ12

或

2n 2−n 12sin 2θ1

(4.2-1)

下面我们分别讨论TE 和TM 模由全反射而引起的相移。

4.2.1 TE模的全反射相移 TE 模的反射系数公式为

r =

E ' n 1cos θ1−n 2cos θ2

= E n 1cos θ1+n 2cos θ2

(4.2-2) 式中E 、E ' 分别为入射场强和反射场强。光在下界面发生全反射时，利用式(4.1-1)和(4.2-1)可得

cos θ2=1−sin 2θ2

()

⎛⎞n 122⎟=⎜−1sin θ1⎟2⎜n 2⎝⎠

n 2−n 12sin 2θ1n 2

()

j 22

n 1sin 2θ1−n 2n 2

()

(4.2-3)

上式说明发生全反射时折射角θ2变为虚数。上式代入式(4.2-2)得到

E ' n 1cos θ1−j n 12sin 2θ1−n 2r ==

E n cos θ+j n 2sin 2θ−n 2

11112

(

⎡(n =exp ⎢−j 2arctan

⎢⎣

sin 2θ1−n 2n 1cos θ1

))

⎤⎥ ⎥⎦

=exp (−j 2φ12)

(4.2-4)

上式表明，光在下界面发生全反射时，反射光和入射光之间产生一个相移−2φ12，其中

2φ12

=2arctan

sin 2θ1−n 2n 1cos θ1

)

(4.2-5) 令

T 2=

γ2γ1

T 3=

γ3

γ1

(4.2-6a)

γ1=k 0n 12−N 2

()

γ2=k 0N 2−n 2

()

γ3=k 0N 2−n 3

()

(4.2-6b) 则有

γ1=k 0n 12−N 2

()

=k 0n 12−n 12sin 2θ1

()

=k 0n 1cos θ1

(4.2-7a)

γ2=k 0N 2−n 2

())

=k 0n 12sin 2θ1−n 2

())

(4.2-7b)

γ3=k 0N 2−n 3

(

=k 0n 12sin 2θ1−n 3

(

(4.2-7c)

代入式(4.2-5)则有

2φ12

=2arctan

sin 2θ1−n 2n 1cos θ1

)

=2arctan

γ2

=2arctan T 2 γ1

(4.2-8)

同理，光在上界面发生全反射时的也要产生一个相移−2φ13，其中

2φ13

=2arctan

sin 2θ1−n 3n 1cos θ1

)

=2arctan

γ3

=2arctan T 3 γ1

(4.2-9)

4.2.2 TM模的全反射相移 TM 模的反射系数公式为

r =

E ' n 1cos θ2−n 2cos θ1

= E n 1cos θ2+n 2cos θ1

(4.2-10)

光在下界面发生全反射时，上式(4.2-3)代入式(4.2-10)得到

n 1222

n 1sin 2θ1−n 2n 2E '

r ==

n 12E 2

n 2cos θ1+j n 1sin 2θ1−n 2

n 2

−n 2cos θ1+j

()

2⎡n 12n 12sin 2θ1−n 2

=exp ⎢−j 2arctan 2

n 1cos θ1n 2⎢⎣

()

⎤

⎥⎦

=exp (−j 2φ12)

(4.2-11)

其中−2φ12为光在下界面发生全反射时，反射光和入射光之间产生的相移

n 12n 12sin 2θ1−n 2

2φ12=2arctan 2

n 1cos θ1n 2

()

(4.2-12)

此时令

T 2=

n 12γ2

2n 21

T 3=

n 12γ3

n 31

(4.2-13a)

γ1=k 0n 12−N 2

()

γ2=k 0N 2−n 2

()

γ3=k 0N 2−n 3

()

(4.2-13b) 仍有

γ1=k 0n 12−N 2

()

=k 0n 12−n 12sin 2θ1

()

=k 0n 1cos θ1

(4.2-14a)

γ2=k 0N 2−n 2

())

=k 0n 12sin 2θ1−n 2

())

(4.2-14b)

γ3=k 0N 2−n 3

(

=k 0n 12sin 2θ1−n 3

(

(4.2-14c)

代入式(4.2-12)则有

2φ12

n 12n 12sin 2θ1−n 2

=2arctan 2

n 1cos θ1n 2

()

=2arctan

n 12γ2

n 21

=2arctan T 2 (4.2-15)

同理，光在上界面发生全反射时，反射光和入射光之间也要产生一个相移−2φ13，

其中

n 12n 12sin 2θ1−n 3

2φ13=2arctan 2

n 1cos θ1n 3

()

=2arctan

n 12γ3

γ1n 3

=2arctan T 3

(4.2-16)

对于TE 和TM 模，T 2、T 3的定义是不同的，参见式(4.2-6a)、(4.2-13a)，因而它们

&nchen 相移。的全反射相移也是不同的。这些全反射相移称为Goos −H &a

§4.3 穿透深度和有效波导厚度

在我们以前的讨论中，当光在波导界面上发生全反射时，认为光就在入射点上发生反射，入射和反射在同一点上发生，也就是说认为反射点和入射点是同一个点。这时光在波导中的轨迹是一个锯齿波，但实际上却不然。Goos 和&nchen 二人曾于1947年在试验上发现，光的反射并不发生在入射点上，光的H &a

反射点和入射点并不是同一点，反射点离入射点有一段距离或位移，如图4-5所示。这是因为任何相移都要与一定的光程或位移相联系，光在界面上产生的全反射相移也不例外。这样看来，光在波导上下界面处发生全反射时，入射光似乎并不是在实际界面上反射，而好像是深入到较低折射率的上下包层中的某两点，然后再反射回来。设这两点A 、B 距上下界面的距离分别为x 3和x 2，并令在上下界面处因全反射相移而引起的位移分别为2z 3和2z 2，于是有

x 3=

z 3tan θ1

x 2=

z 2

tan θ1

(4.3-1)

x 3、x 2称为导模在上下界面处的穿透深度。光因相移φ而引起的位移z 由下述公式确定

d φ

z =d β

(4.3-2)

下面我们分别讨论TE 和TM 模的穿透深度和有效波导厚度。

图4-5 穿透深度和有效波导厚度。

4.3.1 TE模的穿透深度和有效波导厚度

式(4.2-8)代入式(4.3-2)，并利用式(4.2-6)和(4.2-7)可得

z 2=

⎛γ2⎞d φ12d

⎟(arctan T 2)=12dT 2=12d ⎜=⎟ d βd βγ1+T 2d β1+T 2d β⎜⎝1⎠

d γ1⎞⎛d γ21

⎟⎜γγ− 222⎜1

d β⎟1+T 2γ1⎝d β⎠

1+T 22γ12⎡d 22

β2−k 0n 2⎢γ1d β⎣

()

−γ2

d 22

k 0n 1−β2d β

()

2⎤

⎥ ⎦

⎛γ1γ2⎞β⎜⎟+=⎟2

1+T 22γ12⎜γ2⎝γ2γ1⎠⎛⎜1+

⎜γ2

1⎝

⎞2⎟γ1⎟⎠

⎛γ1γ2⎞⎜⎜γ+γ⎟⎟

1⎠⎝2

即有

z 2=

k n sin θ1tan θ1β

=01= γ1γ2γ2k 0n 1cos θ1γ2

(4.3-3)

同理有

z 3=

tan θ1

γ3

(4.3-4) 式(4.3-3)、(4.3-4)代入式(4.3-1)则可得到TE 模在上下两个界面处的的穿透深度分别为

x 3=

γ3

x 2=

γ2

(4.3-5)

穿透深度的存在相当于增大了波导芯的实际厚度，因此TE 模的有效波导厚度为

b eff =b +x 2+x 3=b +

γ2

γ3

(4.3-6)

4.3.2 TM模的穿透深度和有效波导厚度

式(4.2-15)代入式(4.3-2)并利用式(4.2-13)和(4.2-14)可得

d φ12n 12γ2⎞1dT 21d d ⎛⎜⎟ (arctan T 2)===z 2=222⎜⎟d βd βββγd d 1+T 21+T 2⎝n 21⎠

n 12

2n 2

d γ1⎞⎛d γ21

⎟⎜γγ−12⎟ d βd β1+T 22γ12⎜⎠⎝

n 12

n 2

11+T 22γ12

⎡d 22

β2−k 0n 2⎢γ1

⎣d β

()

−γ2

d 22

k 0n 1−β2d β

()

2⎤

⎥ ⎦

n 12

2n 2

⎛γ1γ2⎞n 12β⎜⎟+=2⎟2

1+T 22γ12⎜n 14γ2⎝γ2γ1⎠n 2⎛⎜1+

42⎜γ1n 2⎝

⎞2

⎟γ1⎟⎠

⎛γ1γ2⎞⎜⎜γ+γ⎟⎟

1⎠⎝2

n 12n 2γ12+γ2

422γ2n 2γ1+n 14γ2

()

k 0n 1sin θ1n 12n 2γ12+γ2β

= 4242

k n cos θγ1γ2n 2γ1+n 1γ2011

()

即有

z 2=

22γ12+γ2n 12n 2

422

γ2n 2γ1+n 14γ2

()

ε12+ε2T 2

tan θ1=tan θ1 2

γ2ε1ε21+T 2

(4.3-7) 同理有

z 3=

22γ12+γ3n 12n 3

422

γ3n 3γ1+n 14γ3

()

ε12+ε3T 3

tan θ1=tan θ1 2

γ3ε1ε31+T 3

(4.3-8)

式(4.3-7)、(4.3-8)代入式(4.3-1)则可得到TM 模在上下两个界面处的的穿透深度分别为

x 3=

22n 12n 3γ12+γ3422γ3n 3γ1+n 14γ3

())

ε12+ε3T 3= γ3ε1ε31+T 32

(4.3-9a)

x 2=

22n 12n 2γ12+γ2422γ2n 2γ1+n 14γ2

(

ε12+ε2T 2= 2γ2ε1ε21+T 2

(4.3-9b)

因而TM 模的有效波导厚度则为

b eff =b +x 2+x 3=b +

22n 12n 2γ12+γ2

422n 21

()

γ+

n 14

22n 12n 3γ12+γ3

423n 31

()

γ+

2n 143

(4.3-10a)

或

b eff

2222

ε12+ε3T 3ε12+ε2T 2

=b +x 2+x 3=b ++

γ2ε1ε21+T 22γ3ε1ε31+T 32

(4.3-10b)

§4.4 特征方程

导模的传播常数β 满足条件

k 0n 2

(4.4-1)

但并非满足上式的所有β 的值都能形成导模。在波导中传输的光并非是一条孤立的光线，而是一束平行光线。这些平行光线在波导的两个界面之间多次全反射，只有在一个完整的锯齿波过程中相位相差2π的整数倍的那些光线才能产生干涉而形成导模。如图4-6所示，这一平行光束中的一条光线在上下界面处发生两次全反射时的光程，与另一条光线在这期间是不同的。令光线1在上下界面的A 、B 两点发生全反射，通过A 、B 两点的等相面为AC 和BD 。在D 点发生全反射的入射光线为光线2，则光线1和光线2在两个等相面AC 和BD 间的几何光程差为AB −ED ，相应的相位差为

图4-6 光程差的确定

2πAB −ED

=2πn 1

AB −ED

λ0

=k 0n 1(AB −ED )

(4.4-2)

式中λ=λ0n 1为波导芯介质中的光波长，λ0为真空中光波长。另外光在上下两个界面处发生全反射的相移为−2φ13和−2φ12，因此总相移应等于2π的整数倍，即有

k 0n 1(AB −ED )−2φ12−2φ13=2m π

(m = 0, 1, 2, …)

(4.4-3)

由图中的几何关系可得

AB =

cos θ1

(4.4-4)

ED =AD sin θ1=(FB −GB )sin θ1=(b tan θ1−b cot θ1)sin θ1

=b (tan θ1sin θ1−cos θ1)

(4.4-5) 由此得到

AB −ED =2b cos θ1

(4.4-6)

上式代入式(4.4-3)有

2bk 0n 1cos θ1=2m π+2φ12+2φ13

(4.4-7)

又因k 0n 1cos θ1=γ1，所以有

2γ1b =2m π+2φ12+2φ13

(4.4-8)

式中2γ1b 是一条光线在两个界面之间往返一次因光程而引起的x 方向的横向相移。把2φ12和2φ13的表达式(4.2-8)、(4.2-9)或(4.2-15)、(4.2-16)代入上式中则可得到TE 和TM 导模的特征方程为

γ1b =m π+arctan T 2+arctan T 3 (m = 0, 1, 2, …)

(4.4-9)

式中m 称为模式阶数，T 2、T 3定义为

T 2=n 12n 2

()(γ

T 3=n 12n 3

()(γ

(4.4-10)

γ1=k 0n 1−β2

()

γ2=β2−k 0n 2

()

γ3=β2−k 0n 3

()

(4.4-11)

式中，对于TE 导模s = 0，对于TM 导模s = 1。

导模特征方程(4.4-9)是传播常数β的超越方程，由它不可能得到β的解析解，只能得到β的数值解。又因为这一方程中含的整数m ，取值不连续，因而β的取值也不连续，取分立值，即导模的传播常数组成分立谱。

§4.5 导模的传输与截止

导模的有效折射率N 的变化范围为n 2

)，不复存在，称为导模截止。此时把N = n 2代入式(4.4-11)中得到γ1=k 0(n 12−n 2

−n 3γ2=0，γ3=k 0n 2

()

，进而由式(4.4-10)得到T 2 = 0。下面分别讨论对称三层

波导和非对称三层波导中导模的传输与截止情况。

4.5.1 对称三层波导

令n 2 = n 3代入式(4.4-9)中即可得到对称三层波导TE 和TM 导模的特征方程为

γ1b =m π+2arctan T 2

(m = 0, 1, 2, …)

(4.5-1)

应用特征方程(4.5-1)进行数值计算，图4-7显示了GaAs/Al0.07Ga 0.93As 对称三层波导TE 和TM 导模的传输和截止情况，图中给出了波导芯厚度b 与模有效折射率N 的关系曲线。取真空中光波长λ0 = 1.15 μm ，GaAs 波导芯的折射率n 1 = 3.45，Al 0.07Ga 0.93As 上下包层的折射率n 2 = 3.43。此时由于芯层与上下包层之间的相对折射率差较小，即Δn =

n 1−n 23. 45−3. 43

=≈0. 6%，因此TE 和TM 的各阶导模的有n 13. 45

效折射率之值相差很小，相应的曲线相互重合，TE 和TM 模发生简并。所谓简并，

是指同一个有效折射率的值对应两个或两个以上的模式。

3.450

有效折射率 N

m = 0

3.445

3.435

3.430

3.440

波导芯厚度 b /μm

图4-7 对称三层波导TE 和TM 导模的传输曲线。取λ0 = 1.15 μm ，n 1 = 3.45，n 2 =

n 3 = 3.43，特征方程(4.5-1)的数值结果。

当给定波导芯厚度b 时，我们可以判断出波导中能够传输的导模的数量。当第m 阶导模截止时，把T 2 = 0代入特征方程(4.5-1)可得

γ1b k 0n 12−n 2m ==

ππ

()

2n 12−n 2

()

λ0

(4.5-2)

从上式可以看出，波导中所能传输的导模数量与芯厚度或折射率差成正比，芯厚度或折射率差越大，则波导中所能传输的导模数量越多。当m 不为整数时，波导中所能传输的最高导模阶数为m max = int(m ) ，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = m max +1 = Int(m )+1。当m 恰为整数时， m max = m −1，因此波导中所能传输的导模数量为M = m max +1 = m 。

把T 2 = 0代入特征方程(4.5-1)，得到第m 阶导模截止时的波导芯厚度为

(m )b cut =

m π

γ1

m πk 0n 12

−

n 2

m λ0−

n 12

22n 2

(4.5-3)

因此第m 阶导模的截止条件为

(m )b ≤b cut =

m πk 0n 12

−

2n 2

m λ0−

n 12

22n 2

(4.5-4)

上式说明当芯厚度b 等于或小于第m 阶导模的截止芯厚度时，第m 阶导模截止。由上式可得到相邻两个导模截止点的间距为

(m +1)(m )b cut −b cut =

k 0n 12

−

n 2

λ0

−

n 12

22n 2

(4.5-5)

即各阶导模的截止点等间距排列。对于0阶导模，称为基模，m = 0，由式(4.5-2)

(0)

=0，这意味着对于任何芯厚度的对称波导，TE 和TM 基知其截止芯厚度为b cut

模总能在其中传输，永不截止。在波导器件的实际应用中，常要求在其中使高阶

导模截止，只传输TE 或TM 基模，这种波导称为单模波导。因此在设计和制作单模波导时，其芯厚度不能大于1阶导模的截止芯厚度，即

(1)b ≤b cut =

k 0n 12

−

n 2

λ0

−

n 12

2n 2

(4.5-6)

从上式可以看出，为了保证波导中进行单模传输，波导芯与其两侧包层之间的折射率差越大，波导芯的厚度就应越小。因此为了保证波导中进行单模传输，就应适当减小波导芯厚度或折射率差，使芯厚度小于1阶模的截止芯厚度。上面讨论的各阶导模的截止情况与图4-7显示的情况完全相符。

4.5.2 非对称三层波导

非对称三层波导TE 和TM 导模的特征方程为

γ1b =m π+arctan T 2+arctan T 3 (m

= 0, 1, 2, …)

(4.5-7)

应用特征方程(4.5-7)进行数值计算，图4-8显示了GaAs/Al0.07Ga 0.93As 非对称三层波导TE 和TM 导模的传输和截止情况，图中给出了波导芯厚度b 与模有效折射率N 的关系曲线。取真空中光波长λ0 = 1.15 μm ，GaAs 波导芯的折射率n 1 = 3.45，Al 0.07Ga 0.93As 下包层的折射率n 2 = 3.43，上包层为空气，其有效折射率为n 3 = 1。此时由于芯层与上包层空气之间的相对折射率差较大，即

Δn =

n 1−n 33. 45−1

=≈71%，从图中可以看出TE 和TM 各阶模式有效折射率之值n 13. 45

有了差别，相应的曲线也已经分开，TE 和TM 模的简并被消除。

3.450

有效折射率 N

m = 0

3.445

3.440

3.435

3.430

波导芯厚度 b /μm

图4-8 非对称三层波导TE(实线) 和TM 导模(虚线) 的传输曲线。取λ0 = 1.15 μm ，

n 1 = 3.45，n 2 = 3.43，n 3 = 1，特征方程(4.5-7)的数值结果。

当给定波导芯厚度b 时，我们可以判断出波导中能够传输的导模的数量。当第m 阶导模截止时，把T 2 = 0代入特征方程(4.5-7)

γ1b −arctan T 3k 0n 12−n 2b −arctan T 3

m ==

ππ

()

(4.5-8)

把T 2 = 0代入特征方程(4.5-7)中得到第m 阶导模的截止波导芯厚度为

(m )b cut =

m π+arctan T 3

γ1

m π+arctan T 3k 0n 12

−

n 2

(4.5-9) 式中

⎛ε1

T 3=⎜⎜ε

⎝3

⎞γ3⎛ε1⎞⎟⎟⎟γ=⎜⎜ε⎟⎠1⎝3⎠

(n n

222−n 3

−

22n 2

(4.5-10)

对于TE 导模s = 0，对于TM 导模s = 1。因此第m 阶导模的截止条件为

(m )b ≤b cut =

m π+arctan T 3

γ1

m π+arctan T 3k 0n 12

−

2n 2

(4.5-11)

由上式可得到相邻两个导模截止点的间距为

(m +1)(m )b cut −b cut =

k 0n 12

−

n 2

λ0

−

n 12

22n 2

(4.5-12)

即各阶导模的截止点也是等间距排列。对于0阶导模即基模，m = 0，由式(4.5-11)知其截止芯厚度为

(0)b cut =

k 0n 12

arctan T 3

−

2n 2

≠0

(4.5-13)

这一点与对称波导不同。对于对称波导，其0阶导模的截止芯厚度为零，这意味着对于任何芯厚度的对称波导，TE 0和TM 0基模总能在其中传输，永不截止。而对于非对称波导，其0阶导模的截止芯厚度不为零。因此在波导器件的设计和制作中，波导芯厚度应大于0阶导模的截止芯厚度，否则波导将不能导波。当我们设计单模波导时，其芯厚度要大于0阶导模的截止芯厚度同时要小于等于1阶导模的截止芯厚度，即

k 0n 12

arctan T 3

−

22n 2

(0)(1)=b cut

π+arctan T 3

k 0n 12

−

n 2

(4.5-14)

对于许多实际应用的波导如半导体波导，其芯层与下包层的折射率相差很小，而其芯层与上包层的折射率相差较大。对于这种n 1≈n 2>>n 3的情况，由式(4.5-10)可知T 3很大，因此可近似认为arctan T 3≈的公式(4.5-8)简化为

γ1b 1k 0n 12−n 2

−=m =ππ2

，此时，确定波导中模式数量

()

12n 12−n 2−=

λ02

()

−

(4.5-15)

确定导模的截止芯厚度的公式(4.5-9) 简化为

(m )

=b cut

(2m +1)π

2γ1

(2m +1)π

2k 0n 12

−

n 2

(2m +1)λ0

n 12

−

22n 2

(4.5-16)

单模传输的条件式(4.5-14)简化为

2k 0n 12

−

2n 2

(0)(1)=b cut

3π2k 0n 12

−

n 2

(4.5-16)

上面讨论的各阶导模的截止情况也与图4-8显示的情况完全相符。

§4.6 远截止近似法

波导模式的特征方程是超越方程，不可能从中得到传播常数的解析表达式。如果当波导芯厚度较大时，可用远截止近似法求出导模传播常数的近似表达式。下面以非对称三层平板波导为例加以说明。

非对称三层平板波导TE 和TM 模的特征方程为

γ1b =m π+arctan T 2+arctan T 3

(m = 0, 1, 2, …)

(4.6-1)

为了运算方便，可把T 2和T 3的表达式改写为

T j =γ

(c γ)

j 1

⎧1⎪

c j =⎨22

n n ⎪⎩j 1

(TE )

(TM )

(4.6-2) 式中

γ1=k 0n 12−N 2

()

γj =k 0N 2−n 2j

()

(j = 2, 3)

(4.6-3)

假设导模处于远离截止状态，引入量

(n P =

2121

−N 2−

22n 2

=k 0n 1

(

22−n 2b

)

Q =

2121

2−n 2

−

2n 3

)

此时导模有效折射率N 趋于n 1，由上式定义的P 可以看成是小量，而P 2为二阶小量可略去。利用式(4.6-3)和(4.6-4)做下述变换

γ1b =k 0n 12−N 2

()

b =PV

(4.6-5)

N 2−n 2γ2

T 2==

c 2γ1c n 2−N 2

(1−P )=

c 2P

()

−n 12−N 2⎤1⎡n 12−n 2

=⎢⎥c 2⎣n 12−N 2⎦

()()

≈

c 2P

(4.6-6)

N 2−n 3γ3

T 3==

c 3γ1c n 2−N 2

(

)

−n 12−N 2⎤1⎡n 12−n 3

=⎢22c 3⎣n −N ⎢⎥1⎦

()()

(1−Q

(4.6-7)

P 2c 3QP

)

≈

c 3QP

利用公式arctan α=π2−arctan ()，特征方程(4.6-1)变为

γ1b =(m +1)π−arctan

11−arctan T 2T 3

(m = 0, 1, 2, …)

(4.6-8)

式(4.6-5)、(4.6-6)、(4.6-7)代入上式得到

PV =(m +1)π−arctan (c 2P )−arctan (c 3QP )

(4.6-9)

因为c 2, c 3, Q ≤1，所以c 2P , c 3QP

PV =(m +1)π−c 2P −c 3QP

(4.6-10) 由此得到

P =

(m +1)π

V +c 2+c 3Q

(4.6-11)

上式与式(4.6-4)中的第一式联立求解则可得到TE 和TM 导模的有效折射率N 和传播常数β满足的近似表达式分别为

N =

n 12

(m +1)2π2(n 12−n 22) −2

V +c 2+c 3Q

β=

2k 0N 2

k 0n 1

−

(m +1)π2n 12−n 22k 0

(

(V +c 2+c 3Q )2

)

(4.6-13)

式中c 2、c 3、V 、Q 由式(4.6-2)和(4.6-4)规定。利用式(4.6-4)中的第二、三式还可把上式写成下述形式

(m +1)π222

N =n 1−2

⎡k b +c n 2−n 2

212⎢⎣0

()

−2

+c 3n 12−n 3

()

−⎤⎥⎦

(4.6-14)

β=

k 0N 2

k 0n 1

−

(m +1)π2k 0

⎡k b +c n 2−

21⎢⎣0

(

2−n 2

)

+c 3n 12−

(

2−⎤n 3

⎥

)

(4.6-15)

⎦

对于对称三层波导，在式(4.6-14)、(4.6-15)中令n 2=n 3、c 2=c 3即可。

当给定波导芯厚度b 和介电常数分布时，可直接由上式计算出三层平板波导TE 和TM 导模的有效折射率N 和传播常数β的值。图4-9 显示了应用远截止近似法与特征方程对TE 导模计算结果的对比，选择GaAs/Al0.07Ga 0.93As 对称三层平板波导，取真空中光波长λ0 = 1.15 μm ，GaAs 波导芯的折射率n 1 = 3.45，Al 0.07Ga 0.93As 上下包层的折射率n 2 = n 3 = 3.43。图中可以看出，由式(4.6-13)得到的有效折射率N 的近似解，在模临近截止的区域内与特征方程(4.6-1)的数值解之间存在较大的误差。但当芯厚度b 增大时，此误差将迅速地减小，使得在导模远离截止的广大区域内，能够用此方法得到导模有效折射率N 和传播常数β比较精确的计算结果。

3.450

有效折射率 N

m = 0

3.445

3.435

3.430

3.440

波导芯厚度 b /μm

图4-9 对称三层平板波导的TE 导模有效折射率N 计算结果的对比，取λ0 = 1.15 μm ，n 1 = 3.45，n 2 = n 3 =3.43。实线：远截止近似法式(4.6-13)的结果；虚线：特征方程(4.6-1)的数值结果。

§4.7 近截止近似法

当导模临近截止时，应用远截止近似法求出导模传播常数的值与特征方程的数值解之间存在较大的误差。这时我们可以应用下面给出的近截止近似法求出在邻近截止的区域内导模传播常数的近似值。下面以对称三层平板波导为例加以说明。

对称三层平板波导TE 和TM 模的特征方程为

γ1b =m π+2arctan T 2

(m = 0, 1, 2, …)

(4.7-1)

为了运算方便，可把T 2的表达式改写为

T 2=c 2γ21

⎧1⎪c 2=⎨

22n n ⎪12⎩

(TE )

(TM )

(4.7-2) 式中

γ1=k 0n 12−N 2

()

γ2=k 0N 2−n 2

()

(4.7-3)

假设导模处于临近截止状态，引入量

(N P =

2−n 2

−

22n 2

V =k 0n 12−n 2

()

(4.7-4)

此时导模有效折射率N 趋于n 2，由上式定义的P 可以看成是小量。利用式(4.7-3)和(4.7-4)做下述变换

γ1b =k 0n 12−N

=1−P 2

(

)

⎡n 12−n 2⎤−N 2−n 2

b =k 0⎢⎥22

n n −12⎣⎦

()(

)(n

12−n 2

)

()

(4.7-5)

N 2−n 2γ2

T 2=c 2=c 2

γ1n 12−N 2

(

⎡⎤N 2−n 2=c 2⎢2

222n −n −N −n 22⎦⎣1

1−P c 2P

(4.7-6)

把式(4.7-5)和(4.7-6)代入式(4.7-1)得到

(1−P )

V =m π+2arctan

1−P c 2P

(4.7-7)

因为P

(1−P )

V =m π+

1−P 2c 2P

(4.7-8)

即有

(1−P )V =m π(1−P )222+2c 2P ⎛P 2⎞⎟≈m π⎜⎜1−2⎟+2c 2P ⎝⎠

(4.7-9)

由此得到P 满足的方程

(2V −m π)P 2+4c 2P −2(V −m π)=0

(4.7-10)

解之得到

2−2c 2+4c 2+2(2V −m π)(V −m π)P =2V −m π[]2

(4.7-11)

上式与式(4.7-4)中的第一式联立求解则可得到TE 和TM 导模的有效折射率N 和传播常数β满足的近似表达式为

22⎫⎧⎪2222⎪−2c 2+4c 2+2(2V −m π)(V −m π)N =n 2+n 1−n 2⎨⎬ 2V m π−⎪⎪⎭⎩()[]2

(4.7-12)

22⎫⎧()()2c 4c 22V m πV m π−++−−⎪⎪2222222222β=k 0N =k 0n 2+k 0n 1−n 2⎨⎬ 2V m π−⎪⎪⎭⎩()[]2

(

4.7-13)

式中c 2、V 分别由式(4.7-2)和(4.7-4)规定。

当给定波导芯厚度b 和介电常数分布时，可直接由上面公式计算出对称三层平板波导TE 和TM 导模的有效折射率N 和传播常数β的值。图4-10 显示了应用近截止近似法与特征方程对TE 导模计算结果的对比，选择GaAs/Al0.07Ga 0.93As 对称三层平板波导，取真空中光波长λ0 = 1.15 μm ，GaAs 波导芯的折射率n 1 = 3.45，Al 0.07Ga 0.93As 上下包层的折射率n 2 = 3.43。图中可以看出，由式(4.7-12)得到的有效折射率N 的近似解，在模临近截止的区域内与特征方程(4.6-1)的数值解之间吻合得很好。但当导模远离截止时，二者之间的误差变大。

3.440

有效折射率 N 3.438m = 03.436123.4343

02468103.4323.430

b /μm 波导芯厚度

图4-10 对称三层平板波导的TE 导模有效折射率N 计算结果的对比，取λ0 = 1.15 μm ，n 1 = 3.45，n 2 = 3.43。实线：近截止近似法式(4.7-12)的结果；虚线：特征方程(4.7-1)的数值结果。

第四章光辐射在介质光波导中的传播

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