第一部分：基本知识点和典型例题
一、 随机事件的概率
1、必然事件、不可能事件和随机事件 2、频率与概率 （1）．概率：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量．
（2）．概率与频率联系：对于给定的随机事件A ，事件A 发生的频率f n (A ) 随着试验次数的增加稳定于概率P (A ) ，因此可以用频率f n (A ) 来估计概率P (A ).
例1、指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件． (1)某体操运动员将在运动会上获得全能冠军； (2)一个三角形的大边所对的角小，小边所对的角大； (3)如果a >b ，那么b
【解】 (1)(4)(5)是随机事件，(2)是不可能事件，(3)是必然事件. 例2、下面的表中列出10次抛掷硬币的试验结果，n 为抛掷硬币的次数，m 为硬币正面向上的次数．计算每次试验中“正面向上”这一事件的频率，并考察它的概率.
【自主解答】 由f n (A ) ＝，可分别得出这10次试验中“正面向上”这一
n A
n
事件出现的频率依次为0.502，0.498，
0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516,0.524，0.494. 这些数在0.5附近摆动，由概率的统计定义可得，“正面向上”的概率为0.5.
二、概率的意义与应用
1、对概率的正确理解
2、游戏的公平性
3、天气预报的概率解释 4、决策中的概率思想
例3、某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?
例4、为了估计水库中鱼的尾数，使用以下的方法：先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出500尾，查看其中有记号的鱼，有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．
三、 概率的基本性质
1．一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A (或称事件A 包含于事件B ) ．
表示法：B ⊇A (或A ⊆B ) ．
2．如果事件发生当且仅当事件A 或事件B 发生，则称此事件为事件A 与B 的并事件(或和事件) ，记为A ∪B (或A ＋B ) ．
3．如果某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件
A 与B 的交事件(或积事件) ，记为A ∩B (或AB ) ．
4．如果A ∩B 为不可能事件(A ∩B ＝∅) ，则称事件A 与事件B 互斥，即事件
A 与事件B 在任何一次试验中不会同时发生．
5．如果A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，则称事件A 与事件B 互为对立事件，即事件A 与事件B 在一次试验中有且仅有一个发生. 6、概率的性质
（1）. 概率的取值范围为[0,1]．
（2）．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
（3）．概率加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B ) ＝P (A ) ＋P (B ) ．
特例：若A 与B 为对立事件，则P (A ) ＝1－P (B ) ，
例5、从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10) 中任取一张．判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌的点数为5的倍数”与“抽出的牌的点数大于9”． 例6、掷一枚骰子，下列事件：
A ＝{出现奇数点}，B ＝{出现偶数点}，C ＝{点数小于3}，D ＝{点数大于2}，E ＝{点数是3的倍数}．
求：(1)A ∩B ，BC ； (2)A ∪B ，B ＋C ；
(3)记H 是事件H 的对立事件，求D ，A C ，B ∪C ，D ＋E . 【解】 (1)A ∩B ＝∅，BC ＝{出现2点}．
(2)A ∪B ＝{出现1,2,3,4,5或6点}，B ＋C ＝{出现1,2,4或6点}． (3)D ＝{点数小于或等于2}＝{出现1或2点}，
A C ＝BC ＝{出现2点}，
B ∪C ＝A ∪C ＝{出现1,2,3或5点}， D ＋E ＝{出现1,2,4或5点}.
例7、某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或7环的概率； (2)不够7环的概率．
【自主解答】 (1)设“射中10环”为事件A ，“射中7环”为事件B ， P (A ∪B ) ＝P (A ) ＋P (B ) ＝0.21＋0.28＝0.49.
∴射中10环或7环的概率为0.49. (2)
设“不够7环”为事件E ，则事件E 为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等彼此是互斥事件，
∴P (E ) ＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97， 从而P (E ) ＝1－P (E ) ＝1－0.97＝0.03. ∴不够7环的概率是0.03.
课后作业
一、选择题
1．A 、B 为对立事件，且P (A ) ＝0.2，则P (B ) 等于( ) A ．0.2 B ．0.4 C ．0.8 D ．0.6
2．从一批产品中取出三件产品，设A ＝{三件产品全不是次品}，B ＝{三件产品全是次品}，C ＝{三件产品至少有一件是次品}，则下列结论正确的是( )
A ．A 与C 互斥 C ．B 与C 互斥
3．(2013·枣庄高一检测) 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( )
A ．60%
4．下列说法中正确的是( )
A ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大
B ．事件A 、B 同时发生的概率一定比事件A 、B 恰有一个发生的概率小 C ．互斥事件一定是对立事件，但对立事件不一定是互斥事件 D ．互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件
5．同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3,4，„，11,12中的一个，记事件A 为“点数之和是2,4,7,12”，事件B 为“点数之和是
B ．30% C ．10%D ．50%
B ．任何两个均互斥 D ．任何两个均不互斥
2,4,6,8,10,12”，事件C 为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为( )
A ．A ∩B C ．A ∩B ∩C 二、填空题
6．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．
4
7．同时抛掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6
9点至少出现一个的概率是________．
8．(2013·沈阳高一检测) 一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，摸出红球的概率为________．
三、解答题
9．由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：
B ．A ∩B ∩C D ．A ∩B ∪C
(1)(2)至少有2人排队的概率是多少？
10．在20 000张福利彩票中，设有特等奖1名，一等奖3名，二等奖5名，三等奖10名，从中买1张彩票．
(1)求获得二等奖或三等奖的概率； (2)求不中奖的概率．
11．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球．从中任取一球，155取到红球的概率是，取到黑球或黄球的概率是取到黄球或绿球的概率是31212试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
1【解析】 由对立事件的概率公式得P (B ) ＝1－P (A ) ＝0.8.
【答案】 C
2【解析】 ∵从一批产品中取出三件产品包含4个基本事件．
D 1＝{没有次品}，D 2＝{1件次品}，D 3＝{2件次品}，D 4＝{3件次品}， ∴A ＝D 1，B ＝D 4，C ＝D 2∪D 3∪D 4，故A 与C 互斥，A 与B 互斥，B 与C 不互斥． 【答案】 A
3【解析】 设A ＝{甲获胜}，B ＝{甲不输}，C ＝{甲、乙和棋}，则A 、C 互斥，且B ＝A ∪C ，故P (B ) ＝P (A ∪C ) ＝P (A ) ＋P (C ) ，即P (C ) ＝P (B ) －P (A ) ＝50%.
【答案】 D
4【解析】 当事件A 、B 都为必然事件或都为不可能事件时，事件A 、B 至少有一个发生的概率等于事件A 、B 恰有一个发生的概率，事件A 、B 同时发生的概率也等于事件A 、B 恰有一个发生的概率，故选项A 、B 都是错误的；互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，这一点由互斥事件与对立事件的概念可知．
【答案】 D
5【解析】 ∵事件A ＝{2,4,7,12}， 事件B ＝{2,4,6,8,10,12}， ∴A ∩B ＝{2,4,12}，
又C ＝{9,10,11,12}，∴A ∩B ∩C ＝{2,4}． 【答案】 C
6【解析】 连续射击两次有以下四种情况：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，两次都中和两次都不中．故“至少一次中靶”的互斥事件为“两次都不中靶”．
【答案】 “两次都不中靶”
4
7【解析】 记既没有5点也没有6点的事件为A ，则P (A ) ＝，5点或6点
9至少有一个的事件为B .
因A ∩B ＝∅，A ∪B 为必然事件，故A 与B 为对立事件，则P (B ) ＝1－P (A ) ＝451－＝. 99
【答案】
5 9
8【解析】 由题意知A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，又P (A ) ＝0.58，∴P (B ) ＝1－P (A ) ＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”为对立事件，P (C ) ＝0.62，∴P (D ) ＝0.38. 设事件E ＝“摸出红球”，则P (E ) ＝1－P (B ∪D )
＝1－P (B ) －P (D ) ＝1－0.42－0.38＝0.2. 【答案】 0.2
9【解】 设商场付款处排队等候付款的人数为0,1,2,3,4及5人以上的事件依次为A 0，A 1，A 2，A 3，A 4，A 5且彼此互斥．
(1)P (至多有2人排队) ＝P (A 0∪A 1∪A 2) ＝P (A 0) ＋P (A 1) ＋P (A 2) ＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)P (至少有2人排队) ＝P (A 2∪A 3∪A 4∪A 5) ＝P (A 2) ＋P (A 3) ＋P (A 4) ＋P (A 5) ＝0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.
10【解】 设P (A ) 、P (B ) 、P (C ) 、P (D ) 分别表示获得特等奖、一等奖、二等奖、三等奖的概率，
由题意知P (A ) ＝101＝. 20 0002 000
3
(1)P (C ∪D ) ＝P (C ) ＋P (D ) ＝.
4 000
(2)P (不中奖) ＝1－[P (A ) ＋P (B ) ＋P (C ) ＋P (D )]＝1－311⎫1919 981⎛1
＋＋＋ ＝1－.
20 00020 000⎝20 00020 0004 0002 000⎭
11【解】 从袋中任取1球，记事件A ＝{取到红球}，事件B ＝{取到黑球}，事件C ＝{取到黄球}，事件D ＝{取到绿球}，则有
1351
，P (B ) ＝，P (C ) ＝＝，P (D ) ＝
20 00020 00020 0004 000
⎧⎪⎪P ⎨P ⎪⎪⎩P P A ＝B ∪C ＝P B ＋P C C ∪D ＝P C ＋P D 5
＝125＝12
213
B ∪C ∪D ＝P B ＋P C ＋P D ＝1－P A ＝
解得P (B ) ＝1
4
P (C ) ＝1
6，
P (D ) ＝1
4
，
3