简单的说：张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵（方阵）是二阶张量，而三阶张量则好比立体矩阵，更高阶的张量用图形无法表达。 向量是在一个线性空间中定义的量，当这个线性空间的基变换时，向量的分量也跟着变换。而一个线性空间有一个伴随的对偶空间。
张量是一个同时定义在几个线性空间的量，这几个线性空间的基可同时变换，或者只是只变换几个，此时，张量的分量也跟着变换。我们一般见到的张量是同时定义在几个线性空间及其对偶空间里的量，在实际的符号表达中，就表现为同时有几个上指标和下指标，也即线性空间及其对偶空间。
张量其实是一种线性代数，即多重线性代数，从字面上理解，也正好是上面提到的“定义在多个线性空间的量”。
在流形中，一点的切空间正好同构于一个欧氏空间，也即，与一个欧氏空间的性质一样。而这个欧氏空间有一个伴随的对偶空间，所以可以定义张量。
要对流形上张量作微分运算，必须比较流形上相距很近两点的张量的差，这就引出了联络的概念，而联络的概念的引出，需要这两个不同的点的欧氏空间是同构的。进而发展了张量分析。
现代数学是建立在代数与拓扑基础上的，很多概念如果代数水平不行，是很难理解的。比如泛函分析、纤维从理论等。代数方面的知识，最好能掌握抽象代数的概念，进而掌握交换代数的知识。
其实，线性代数是很多现代数学概念的基础，而线性代数的核心就是空间的概念。而现在，我们国内工科学的线性代数只是讲一讲矩阵、矩阵运算、特征值、特征向量、二次形等等。线性代数的精髓概念根本涉及不到。这也就造成了很多同学理解现代数学中很多概念的困难。 现代数学的一个非常重要的方法论就是公理化的方法。这是希尔伯特在其《几何基础》中最先明确提出的，这本书当初得到了彭加莱的很高的评价。
公理化思想的威力我当初是在学习《实变函数论》这门课时深刻体会到的。武熙鸿老师的《黎曼几何初步》中，则是处处渗透着公理化的思想，读来颇有味道。
应该这样说，是低阶张量被我们找到了可以比拟的物理意义，但张量本身并不需要具有几何比拟
其实，张量是有很强的几何背景的，不管是低阶的，还是高阶的。这主要是因为现代张量的定义是建立在线性空间概念的基础上的。而线性空间正是从一、二、三维空间中抽现出来的。只要把握住“多个线性空间及其对偶空间”这个关键就行了。
而物理学家对于张量的定义是从坐标变换的角度定义的，这正是当初Ricci 定义的方式。这种定义在现代数学中推广起来比较困难。所以把它定义成了多重线性映射。
我的朋友有的是搞弹性理论和流体的，但他们对张量的理解也很混乱，所以有时也向他们解释这个东西。但好像解释来解释去，他们还是不太明白。可能与他们是搞计算的有关，对这些纯理论的东东没有一个很系统的学习与理解，而且理解那么深也没用。不过，他们搞得计算的东东倒是一门很深的东东，我理解起来挺困难的。有时与他们神侃，很是佩服他们的计
算机水平，不只对数值计算有极深的造诣，对一个程序如何编译成汇编代码，如何在CPU 中执行，操作系统如何对内存处理，那些程序又如何在内存中调度，反正听得多了，我也能侃了。赫赫。尤其他们用java 编写的程序，速度与用fortaun 编写的速度差不多，太佩服他们了。
本来想用弹性理论中的应力张量作一番解释的。但手头没有弹性理论的书，而且对于应力如何在一个弹性体中给出的，也不太清楚。所以就此作罢了。
但要清楚地一点是，数学中定义的空间，与实际的物理空间，比如定义在一个弹性体上的应力所在的空间，是两码事清。
线性代数被捕，想想还是当时实在不能理解N 维空间。三维空间好理解，想象不出N 维空间是个什么玩艺儿。
其实程序中经常用数组，一维、二维、三维用惯了，多维照用就是了，根本不用想象它是平的还是方的。
张量就相当那个N 维数组。
我也是数学上学习吃力. 但我对四维空间最近有了新的几何理解. 我认为三维物体, 包括所有星体和粒子, 都以光速辐射出自身质量, 就象把自身的拷贝以光速传送出去一样, 产生引力场空间. 物质的全部能量以光速辐射后, 对周围物体不产生任何作用, 因为匀速运动的空间或能量是对物质不产生任何作用的. 这样就存在一个光速扩散的似乎与我们无关的辐射空间, 即所谓的虚空间, 或第四维空间. 如果物质还以2倍光速辐射能量和物质, 则有第5维空间. 依次类推. 实空间的真空和物体, 都要加速收缩, 以弥补辐射损失, 从而产生了引力. 总之, 静止和加速运动的物体和能量, 用三维空间的数学来表示; 匀速运动的物体和能量, 主要是光速空间, 用n+3维来表示. 不知我的理解是否有道理, 请高人指教.
现在，一看到与相对论物理有关的东东，就感觉心烦气躁，细想，一是天资愚钝，二是功力太差。不是我这种人能理解的了得，否则，非得走火入魔。
关于维数，我一直想用通俗的语言解释清楚，一是因为给别人通俗的解释一遍，更能加深自己的理解，做一些总结，对于一个概念，如果能以通俗的语言讲，就表明对它的理解已达到一定的境界了；二是因为有些搞力学的朋友问到我关于维数的问题，但他们又不需要做很深的理论数学的学习，只需要应用数学即可。但是，解释来解释去，还是解释不清楚。前两天，与一位搞音乐的朋友交流，他讲的浅显的东西还是能理解的了得，但是，更深入的，就到云里了。所以，是不是对于一门学科，如果没有很深的基础做支撑，弄明白其中的一些概念，还是挺费劲的。而且，弄明白，往往是出于好奇心，并没有太大的用处。所以，现在还是很矛盾。但，还是经常写一些小散记，以记下对一些基本概念的理解。
其实，维数的概念应该最早出现在几何中(猜得) ，而在拓扑学中体现的比较严谨和直观。历史上，数学家造出了一个一一映射，能把一维线段内部映为一个正方形里面，难道这说明直线与正方形同维吗？后来才发现，这个一一映射，应该加上连续这个限定词，才能保持维数的不变，这正是同胚的概念。这种概念对于我们来说是很直观的。
后来学习代数几何，它是用“环”、“模”、“群”这些代数工具来研究几何问题。结果，在里面，维数的定义一下子出现了4种，其中，最常用的一种定义是使用一种特殊的“环”定义的。这
下子可真摸不着头脑了，后来时间长了，才慢慢琢磨出它们的好处了。那就是，这些概念与定义，更适合与其他分支的交叉，而不是只具备很少现代数学基础的人所能理解的。 而上面提到的n 维空间的概念，在几何中是使用公理化的方式定义的。也是经过一段时间的琢磨，才感觉到这种定义方式的优越性的。而要用通俗的语言解释，现在确实非常的难。