分式和分式方程知识点总结及练习

分式和分式方程知识点总结

一、分式的基本概念 1、分式的定义 一般地，我们把形如

A

的代数式叫做分式，其中 A，B都是整式，且B

B含有字母。A叫做分式的分子,B叫做分式的分母。分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商。 2.分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。

AAMAM

BBMBM

。其中，M是不等于0的整式。

3.分式的约分

把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。 4.最简分式

分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。利用分式的基本性质可以对分式进行化简 二、分式的运算 1、分式的乘除 分式的乘法法则

分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

ACAC BDBD

分式的除法法则

分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。

ACADAD

BDBCBC

2、分式的加减

同分母的分式加减法法则

同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。

ACAC BBB

异分母的分式加减法法则

异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再加（减）。 分式的通分

把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。 几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母

ACADBCADBC BDBDBDBD

分式的混合运算

分式的混合运算，与数的混合运算类似。先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。 三、分式方程 1、分式方程的定义

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的解

使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）。 3、解分式方程的步骤

1.通过去分母将分式方程转化为整式方程，

2.解整式方程

3.将整式方程的根代入分式方程（或公分母）中检验。 4、分式方程的应用。 典型例题

1．（2014•温州，第4题4分）要使分式

2.（2014•毕节地区，第10题3分）若分式+

的值为零，则x

的值为（ ）

=

有意义，则x的取值应满足（ ）

3. （ 2014•福建泉州，第10题4分）计算：

4. （2014•泰州，第14题，3分）已知a2+3ab+b2=0（a≠0，b≠0），则代数式+的值等于 ． 5．（2014年山东泰安，第21题4分）化简（1+

）÷

的结果为 ．

6.（2014•襄阳，第13题3分）计算：

÷=

7. （ 2014•广东，第18题6分）先化简，再求值：（

8. （ 2014•珠海，第13题6分）化简：（a2+3a）÷

+

）•（x2﹣1），其中x=

．

．

9. （ 2014•广西贺州，第19题（2）4分）（2）先化简，再求值：（a2b+ab）÷其中a=

+1，b=

﹣1．

，

10030



x7. 10 解方程： x

11.解分式方程：

12.解方程：

=1． +

=1．

13. （ 2014•广东，第21题7分）某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次促销活动中，按标价的八折销售，仍可盈利9%． （1）求这款空调每台的进价（利润率=

=

）．

（2）在这次促销活动中，商场销售了这款空调机100台，问盈利多少元？

14（ 2014•广西贺州，第23题7分）马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．

课后练习

1.（2013湖北孝感，6，3分）化简

x

yyxy

的结果是（ ） 

xx

A.

xyxy1

B. C. D. y

yyy

1m

(m21)的结果是（ ） 1m

C．m22m1

D．m21

2. （2013山东威海，8，3分）计算：1A．m22m1

B．m22m1

3. （2013四川南充市，8，3分） 当8、分式

x1

的值为0时，x的值是（ ） x2

（A）0 （B）1 （C）－1 （D）－2 4. （2013浙江丽水，7，3分）计算

1+a

a－1

B. －

1a

– ） a-1a-1

C. －1

D.1－a

a a-1

5. （2013江苏苏州，7,3分）已知A.

111ab，则的值是

abab2

11

B.－ C.2 D.－2 22

6. （ 2013重庆江津， 2，4分）下列式子是分式的是( ) A.

xxxx B. C. y D. 2x123

2

2

m2n27. （2013江苏南通，10，3分）设m＞n＞0，m＋n＝4mn，则的值等于

mn

A.

D. 3

8. （2013山东临沂，5，3分）化简（x－

A．

1 x

2x-11

）÷（1－）的结果是（ ） xxx-1x

B．x－1 C． D．

xx-1

a2b2

9. （2013广东湛江11,3分）化简的结果是 abab

22

A ab B ab C ab D1

10．（2013浙江金华，7，3分）计算A.

1a

– ） a-1a-1

1+aa

B. －－1 D.1－a a－1a-1

二、填空题

1. （2013浙江省舟山，11，4分）当x 时，分式

1

有意义． 3x

2. （2013福建福州，14，4分）化简(1)(m1)的结果是 .

m13. （2013山东泰安，22 ，3分）化简：（4. （2013浙江杭州，15，4）已知分式

2xxx

- 。

x+2 x-2x-4

x3

，当x＝2时，分式无意义，则a＝ ，2

x5xa

1

的值是 x1

1

有意义． 3x

当a

6. （2013浙江省嘉兴，11，5分）当x 时，分式

7. （2013福建泉州，14，4分）当x= 时，分式

x2

的值为零. x2

a2b22a2b

8. （2013山东聊城，15，3分）化简：2＝__________________． 2

a2abbab3x227

9. （2013四川内江，15，5分）如果分式的值为0，则x的值应为 ．

x31

1 x2

112

11. （2013四川乐山15，3分）若m为正实数，且m3，则m2mm

10．（2013四川乐山11，3分）当x= 时，

a1

=________． 

a11ax2 - 9

13. （2013江苏盐城，13，3 = ．

x - 3

三、解答题

1. （2013安徽，15，8分）先化简，再求值：

12. （2013湖南永州，5，3分）化简

122，其中x=－2． x1x1

1x21

2. （2013江苏扬州，19（2）,4分）（2）(1)

xx

3. （2013四川南充市，15，6分）先化简，再求值：

xx1

(－2),其中x=2. x21x

4. （2013浙江衢州，17（2）,4分）化简：

2

x－1x－22x－x

5. （2013四川重庆，21，10分）先化简，再求值：(－，其中x满

xx＋1x2＋2x＋1

a3bab. abab

足x－x－1＝0．

2

xx2x

6. （2013福建泉州，19，9分）先化简，再求值2，其中x2． 2

x1x

7. （2013湖南常德，19，6分）先化简，再求值.

1x22x1x1

, 2

x1x1x1

8. （2013湖南邵阳，18，8分）已知

其中x2.

12

1，求x1的值。 x1x1

x22x1

9. （2013广东株洲，18，4分）当x2时，求的值． x1x1

b2ab

（a﹣b)10．（2013江苏泰州，19（2），4分）

aba

ab2abb2

(a) 11. （（2013山东济宁，16，5分）计算：aa

x2111

(1),其中x·12. （ 2013重庆江津， 21（3），6分）先化简,再求值:

3x2x2

13. (2013江苏南京，18，6分)计算(

a1b

)

a2b2abba

a241

(1)，其中a3． 14. （2013广东肇庆，19，7分） 先化简，再求值：

a3a2

15. (20011江苏镇江,18（1）,4分) (2)化简:

2x1

 x24x2

1a22a1(1)16. （2013重庆市潼南,21,10分）先化简，再求值：，其中a

a1a

1 x－2x＋1

17. （2013山东枣庄，19，8分）先化简，再求值：1＋ x－2÷x－4，其中x＝－5．



2

18. （2014•扬州，第24题，10分）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？

19.（2014•济宁，第19题8分）济宁市“五城同创”活动中，一项绿化工程由甲、乙两工程队承担．已知甲工程队单独完成这项工作需120天，甲工程队单独工作30天后，乙工程队参与合做，两队又共同工作了36天完成． （1）求乙工程队单独完成这项工作需要多少天？

（2）因工期的需要，将此项工程分成两部分，甲做其中一部分用了x天完成，乙做另一部分用了y天完成，其中x、y均为正整数，且x＜46，y＜52，求甲、乙两队各做了多少天？

20．（2014年山东泰安，第25题）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． （1）该种干果的第一次进价是每千克多少元？ （2）超市销售这种干果共盈利多少元？