第一章习题参考解答
3．等式(A -B ) ⋃C =A -(B -C ) 成立的的充要条件是什么？
解： 若(A -B ) ⋃C =A -(B -C ) ，则 C ⊂(A -B ) ⋃C =A -(B -C ) ⊂A . 即，C ⊂A .
反过来, 假设C ⊂A , 因为B -C ⊂B . 所以, A -B ⊂A -(B -C ) . 故,
(A -B ) ⋃C ⊂A -(B -C ) .
最后证，A -(B -C ) ⊂(A -B ) ⋃C
事实上，∀x ∈A -(B -C ) , 则x ∈A 且x ∉B -C 。若x ∈C ，则x ∈(A -B ) ⋃C ；若x ∉C ，则x ∉B ，故x ∈A -B ⊂(A -B ) ⋃C . 从而, A -(B -C ) ⊂(A -B ) ⋃C .
C ⊂(A -B ) ⋃C =A -(B -C ) ⊂A -∅=A . 即 C ⊂A .
反过来，若C ⊂A ，则 因为B -C ⊂B 所以A -B ⊂A -(B -C ) 又因为C ⊂A ，所以C ⊂A -(B -C ) 故 (A -B ) ⋃C ⊂A -(B -C )
∀x ∈A -(B -C ) ⇒x ∈A 且x ∉B -C ，另一方面，如果x ∈C 则 x ∈(A -B ) C ；
如果x ∉C , 因为x ∉B -C ，所以x ∉B 故x ∈A -B . 则 x ∈(A -B ) ⋃C . 从而
A -(B -C ) ⊂(A -B ) ⋃C
于是，(A -B ) ⋃C =A -(B -C )
4．对于集合A ，定义A 的特征函数为χA (x ) =⎨一集列 ，证明：
（i ）χlim inf A (x ) =lim inf χA n (x )
n
⎧1, x ∈A
， 假设A 1, A 2, , A n 是
⎩0, x ∉A
n
n
（ii ）χlim sup A (x ) =lim sup χA n (x )
n
n
n
证明：（i ）∀x ∈lim inf A n =⋃(⋂A n ) ，∃n 0∈N ，∀m ≥n 0时，x ∈A m .
n
n ∈N m ≥n
所以χA m (x ) =1，所以inf χA m (x ) =1故lim inf χA n (x ) =sup inf χA m (x ) =1
m ≥n 0
n
b ∈N m ≥n
∀x ∉lim inf A n ⇒∀n ∈N ，有x ∉⋂A n ⇒∃k n ≥n
n
m ≥n
u p n i f 有x ∉A k m ⇒χA k =0⇒inf χA m (x ) =0，故s
n
m ≥n
b ∈N m ≥n
f i χA (x ) =0 ，χA (x ) =0 ，即lim n
m
n
n
从而χlim inf A (x ) =lim inf χA n (x )
n
n
n
5．设{A n }为集列，B 1=A 1，B i =A i -⋃A j (i >1) 证明
j =1
i -1
（i ）{B n }互相正交
（ii ）∀n ∈N , A i = B i
i =1
i =1
n
n
证明：（i ）∀n , m ∈N , n ≠m ；不妨设n>m，因为B n =A n - A i ⊂A n -A m ，又因
i =1
n -1
为B m ⊂A m ，所以B n ⊂A n -A m ⊂A n -B m ，故 B n B m =∅，从而 B n }∞n =1相互正交.
（ii ）因为∀i (1≤i ≤n ) ，有B i ⊂A i ，所以⋃B i ⊂⋃A i ，现在来证：⋃A i ⊂⋃B i
i =1
i =1
i =1
i =1
n
n
n
n
{
当n=1时，A 1=B 1； 当n ≥1时，有： A i = B i
i =1
i =1
n
n
则 A i =( A i ) A n +1=( A i ) (A n +1- A i ) =( B i ) (B n +1- B i )
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
i =1
n +1n n +1n n n
事实上，∀x ∈⋃A i ，则∃i (1≤i ≤n ) 使得x ∈A i ，令i 0=min {i |x ∈A i 且1≤i ≤n
i =1
i 0-1i =1
n
i 0-1i =1
n
n
n
}
则 x ∈A i 0- A i =B i 0⊂ B i ，其中，当i 0=1时， A i =∅，从而， A i = B i
i =1
i =1
i =1
6．设f (x ) 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）E {x |f (x ) >a }= {f (x ) ≥a +
1
n =1n ∞1
(ii)E {x |f (x ) ≥a }= {f (x ) >a -
n =1n
∞
证明：（i ）∀x ∈E {x |f (x ) >a }⇒x ∈E 且f (x ) >a
11>a 且x ∈E ⇒x ∈E {x |f (x ) ≥a + n n
∞∞11
⇒x ∈ E {x |f (x ) ≥a +⇒E {x |f (x ) >a }⊂ E {x |f (x ) ≥a +
n =1n =1n n
∞11
反过来，∀x ∈ E {x {x |f (x ) ≥a +∃n ∈N ，使x ∈E {x |f (x ) ≥a +
n =1n n ⇒∃n ∈N , 使得f (x ) ≥a +
1
>a 且x ∈E 故x ∈E {x |f (x ) >a } n
∞1
所以 ⋃E {x |f (x ) ≥a +⊂E {x |f (x ) >a } 故
n =1n
即f (x ) ≥a +
1E {x |f (x ) >a } E {x |f (x ) ≥a +}
n =1n
∞
7．设{f n (x )}是E 上的实函数列，具有极限f (x ) ，证明对任意常数a 都有：
∞11
E {x |f (x ) ≤a }= lim inf E {x |f n (x ) ≤a += lim inf E {x |f n (x )
∞
1
，且x ∈E k 1
因为lim f n (x ) =f (x ) ，∃n ∈N ，使∀m ≥n ，有f n (x ) ≤a +，故
n →∞k
11
x ∈E {x |f m (x ) ≤a +}(∀m ≥n ) ， 所以x ∈ E {x |f m (x ) ≤a +
m ≥n k k
11
x ∈ E {x |f m (x ) ≤a += lim inf E {x |f m (x ) ≤a +，由k 的任意性：
n n ∈N m ≥n k k
∞∞11x ∈ lim inf E {x |f n (x ) ≤a +，反过来，对于∀x ∈ lim inf E {x |f n (x ) ≤a +}，
k =1n k =1n k k
11
∀k ∈N ，有 x ∈lim inf E {x |f m (x ) ≤a += E {x |f m (x ) ≤a +，即
n n ∈N m ≥n k k
11
∃n ∈N ，∀m ≥n 时，有：f m (x ) ≤a +且x ∈E ，所以，lim f m (x ) ≤f (x ) ≤a +且
m k k
证明：∀x ∈E {x |f (x ) ≤a },∀k ∈N ，即f (x ) ≤a ≤a +
x ∈E . 又令k →∞，故 f (x ) ≤a 且x ∈E 从而x ∈E {x |f (x ) ≤a }
故 E {x |f (x ) ≤a }= lim inf E {x |f n (x ) ≤a +
k =1
n ∞
1
k
8． 设{f n (x )}是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即
f 1(x ) ≤f 2(x ) ≤ ≤f n (x ) ≤
若f n (x ) 有极限函数f (x ) ，证明：∀a ∈R ，E {f (x ) >a }=⋃E {f n (x ) >a }
n =1∞
证明： ∀x ∈E {f (x ) >a }，即：x ∈E 且f (x ) >a ，因为lim f n (x ) =f (x )
n →∞
所以∃n 0∈N , ∀n ≥n 0，恒有：f n (x ) >a 且x ∈E ，从而，x ∈E {f n 0(x ) >a }
⊂ E {f n (x ) >a }
n =1
∞
∞
反过来，∀x ∈ E {f n (x ) >a },∃n 0∈N ，使x ∈E {f n 0(x ) >a }，故∀n ≥n 0，因此，
n =1
lim f n (x ) =f (x ) ≥f n 0(x ) >a 且x ∈E , 即，x ∈E {f (x ) >a }，
n →∞
从而，E {f (x ) >a }= E {f n (x ) >a }
n =1
∞
10．证明：R 中坐标为有理数的点是不可数的。 证明： 设Q 为有理数集，由定理6：Q 是不可数的。
现在证：Q ⨯Q ⨯Q ={(x , y , z ) |x , y , z 都是有理数}可数∀x ∈Q ，因为Q ⨯Q
3
= ({x }⨯Q ) 是可数个有理数集的并，故可数，
x ∈Q
{x }⨯Q ⨯Q ~Q ⨯Q ，所以又因为Q ⨯Q ⨯Q = ({x }⨯Q ⨯Q ) 并且∀x ∈Q ，
x ∈Q
{x }⨯Q ⨯Q 可数
故Q ⨯Q ⨯Q 可数
14．证明：可数集的有限子集的全体仍是可数
证明： 设Q 为可数集，不妨记为：Q ={r 1, r 2, r 3, , r n , }
∀n ∈N , 令A n ={a |a ⊂{r 1, r 2, r 3, , r n }}则 An 为有限集（An =2n ），则
A = An 为正交可数集，即An ≤C 0
n ∈N
又因为Q ~{{x }|x ∈Q
}⊂A ，所以C 0=Q ≤A ，故A =C 0
A 是Q 上一切有限子集的全体。
15．设是两两不相交的集所组成的集列，证明：
E n =lim E n =∅
n →∞
n →∞
证明： 因为{E 1, E 2, }两两不相交，所以，∀n ∈N , E m =∅，故
m =n
∞
E n =∈ ( E m ) = ∅=∅
n →∞
n =1
m =n
n =1
∞
∞
∞∞∞
另一方面，若lim E n = ( E m ) ≠∅，我们取x 0∈lim E n
n →∞
n =1m =n
n →∞
则∀k ∈N , ∃n k ≥k ，使得x ∈E n k . 特别的，当 k =1∈N 时，∃n 1≥1, 有x ∈E n ，当
k =n 1+1时：∃n 2∈N , n 2≥k =n 1+1>n 1，有x ∈E 2（n 1
这与E n 1 E n 2=∅矛盾，故lim E n =∅
n →∞
从而E n =lim E n =∅
n →∞
n →∞
16．若集A 中每个元素由相互独立的可列个指标所决定，即A={a x 1x 2 }，而每个指标x i 在一个势为C 的集中变化，则集A 的势为C 。
证明：设x i 在势为C 的集合中变化，即A={a x 1x 2 |(x 1, x 2, ) ∈因B i ~R ', ϕi :B i →R ' 是既单又满的映射， 定义
ϕi
∏B }
i
i =1
∞
ϕ:∏B i →R ; ∀x =(x 1, x 2, ) ∈∏B i , ϕ(x ) =ϕ(x 1, x 2, ) =(ϕ1(x ), ϕ2(x ), )
∞
i =1
i =1
∞∞
故ϕ是
∏B 到R
i
i =1
∞
∞
得既单又满的映射, 从而，A ~
∏B
i =1
∞
i
~R ∞
从而 A =R ∞=C
17．设 A n 的势是C ，证明至少有一个A n 的势也是C 。
n =1∞
证明：因为∀n ∈N , A n ⊂ A n ，所以A n ≤ A n =C
n =1
∞∞
n =1
如果∀n ∈N , A n ≠C ，则∀n ∈N , A n
n =1
∞
这与 A n =C 矛盾.
n =1
∞
故，∃n ∈N, 使A n =C .
18．证明：[0,1]上的实函数全体具有势2 证明：设 ={A |A ⊂[0, 1]}，则 =2C
记[0，1]上全体是函数所构成的集合为ϑ 对于∀x ∈ ，定义函数
C
χA (x ) =⎨
⎧1, x ∈A
, 即χA 是集合A 的特征函数。
⎩0. x ∉A
={A |A ⊂[0, 1]}⊂ϑ⇒ 2C = ≤ϑ
另一方面，∀f ∈ϑ，定义 B f ={(x , f (x )) |x ∈[0, 1]} 则 B f ⊂R ⨯R =R 2，R 2={B |B ⊂R ⨯R }，则R =2
2
C
ϑ~{B f |f ∈ϑ}⊂R 2，所以 ϑ≤R 2=2C ，从而，ϑ=2C
20．证明：R 中孤立点集市有限或可数集
证明：∀x ∈E 中，E 是R 的一些孤立点所构成的集合 由定义，∃δx >0，使得O (x , δx ) E ={x }. 现在令 ξ={O (x , 则ξ中任意二领域是不相交的
n
n
δx
2
) |x ∈E }，
事实上，若∃x , y ∈E , x ≠y ，有O (x ,
δx
2
) (y ,
δy
2
) ≠∅
取z ∈O (x ,
δx
2
) ⋂(y ,
δy
2
) ，并且不失一般性设：δx ≤δy ，则
ρ(x , y ) ≤ρ(x , z ) +ρ(z , y )
x =y ，这与x ≠y 矛盾.
δx
2
+
δy
2
=δy . 故 x ∈O (x ,
δx
2
) (y ,
δy
2
) ={y }，这推出
∀x ∈E ，取一个有限点r x ∈O (x ,
故E ={r x |x ∈E }≥ξ .E 正交可数.
δx
2
) ，则，当，x ≠y ⇔r x =r y , 所以E ~{r x |x ∈E }，
E ={x |x 是E 的内点19．设E ⊂R ，}称为E 的内点集，证明：E 是开集。
证明：∀x ∈E ，因为x 为E 的内点，∃ε>0使得：(x -ε, x +ε) ⊂E ，现在证：
n
00
(x -ε, x +ε) ⊂E
事实上，∀y ∈(x -ε, x +ε) ，取δ=ε-|x -y |>0
则(y -ε, y +ε) ⊂(x -ε, x +ε) ⊂E ，故y ∈E ，从而，(x -ε, x +ε) ⊂E ，即E 中每个点都是E 得内点
因此，E 为开集
00
21．假设f(x)是[a,b]上唯一有限实函数，证明：它的第一类间断点的全体是可数的。 证明：[a,b]中右极限存在的间断点是至多可数的.
令S ={x ∈[a , b ) |lim +f (x ) =f (x +0) 有限}，∀n ∈N ，
x '→x
作：E n ={x ∈[a , b ) |∃δ>0}, 时，使得∀x ', x ''∈(x -δ, x +δ) [a , b ) 则：（1） E n 是f (x ) 在{a , b ) 上连续点的集合
n =1∞
事实上，∀x 0∈⋂E n , ∀ε>0，取n >
n =1
∞
1
(即
1
因x 0∈E n ，故∃δ>0, ∀x ', x ''∈(x 0-δ, x 0+δ) ⋂[a , b ) 有|f (x ) -f (x 0) |
（2）∀n ∈N , S -E n ，因lim +f (x ') =f (x ) 有限，故∃δx >0使得
x '→x
+0
∀x '∈(x , x +δx ) ⊂[a , b ) ，|f (x ') -f (x +0) |
|f (x ') -f (x '') |
1
，故，∀x ', x ''∈(x , x +δx ), 有2n
1
，从而，(x , x +δx ) ⊂E n . 现在证：A ={(x , x +δx ) |x ∈S -E n } n
是两两不相交的开区间集
∀x 1, x 2∈S -E n ，x 1≠x 2, 不妨设 x 1
(x 1, x 1+δx 1) (x 2, x 2+δx 2) ≠∅，取x *∈(x 1, x 1+δx 1) (x 2, x 2+δx 2)
则 x 1
故S -⋂=⋃(S -E n ) 至多可数。
n =1
n =1∞
∞
*
即，[a , b ) 中第一类间断点至多可数。 20．证明R 中孤立点集是至多可数集
证明：设F 是点集E 中一些孤立点所构成的集合
n
∀x ∈F , ∃δx >0，有O (x , δx ) E ={x }
现在先证：{O (x ,
δx
2
) |x ∈F }是两两不相交的
事实上，∀x 1, x 2∈F , x 1≠x 2，如果∃y ∈O (x 1,
δx
1
2
) ⋂O (x 2,
δx
2
2
) ，则
ρ(x 1, x 2) ≤ρ(x 1, y ) +ρ(y , x 2)
δx
2
1
+
δx
2
2
，故 ≤δx 2（不妨设δx 1≤δx 2）
x 1∈O (x 2, , δx 2) ⋂E ={x 2}, 这与x 1=x 2矛盾.
所以，{O (x ,
δx
2
) |x ∈F }是两两不相交的.
∀x ∈F , 取有理点r x ∈O (x ,
n
δx
2
) ，故F ~{r x |x ∈F }⊂Q ，从而，F ≤Q =C 0
22．证明：R 中直线上每个闭集必是可数个开集的交，每个开集必是可数个闭集的并. 证明：设F 是R '中的一个闭集，先证：∀δ>0，O (F , δ) ={x ∈R |ρ(x , F )
是R 中的开集，其中ρ(x , F ) =inf{ρ(x , y ) |y ∈F }
∀x ∈O (F , δ) ，则ρ(x , F )
事实上，∀t ∈O (x , ε) ，所以O (F , δ) 是开集 现在证：F = O (F , ) 、
n =1
∞11
事实上，∀n ∈N ，F ⊂O (F , ) ，所以F ⊂ O (F , ) .
n =1n n
∞11
反过来，∀x ∈ O (F , ) ，有ρ(x , F )
n =1n n
∞
1
n
x ∉F , 即x ∈R -F . ∃δ>0，使O (x , δ) ⊂R -F . 所以O (x , δ) F =∅. 故，
∞
ρ(x , F ) ≥δ，这与ρ(x , F ) =0矛盾. 所以x ∈F ，从而F = O (F , ) .
n =1
1n
再来证：每个开集必是可数个闭集的并.
事实上，若G 是开集，则R -G 是闭集. 所以存在可数个开集{O n }n ∈N ，使得
∞
∞
R -G ={O n }，所以G =R - {O n }= (R -Q n ) . 即G 是可数个闭区间集
n =1
n =1
{(R -Q n )}∞n =1的并.
23. 假设{I }
∞
i i =1是一列开区间，如果
i =1
I i ≠∅，证明 I i 是一个开区间
i =1
∞∞
证明：∀i ∈N ，记α=i nf{αi |i ∈N }，β=sup{βi |i ∈N } ，其中I i =(αi , βi ) ，
∞
∞
因为 I i ≠∅，所以可取x 0∈ I i ∈I i ⊂(α, β)
n =1
n =1
现在我们证：(α, β) = I i
i =1
∞
因为∀i ∈N ，
I i =(αi , βi ) ⊂(α, β) ，故 I i ⊂(α, β)
i =1
∞
反过来，∀x ∈(α, β) ，即α
i =1∞
∃i 2∈N ，使x i 2
i =1
∞
(α, β) = I i
i =1
∞
24. 设E ⊂R '，{B λ|λ∈A }是E 的一个开覆盖，证明：{B λ|λ∈A }中必存在至
多可数个{B λi |i ∈N }，使得E ⊂ B λ.
i ∈N
i
证明：不妨设{B λ|λ∈A }中每一个元都是开区间. ∀x ∈E ，存在λx ∈A ，有
x ∈B λx ，故有：∃R 端点的开区间δx =(r x , R ) ，使得x ⊂δx ⊂B λx . 即，E ⊂ δx i .
x ∈E
又因为{δx =(r x , R x ) |x ∈E }~{(r x , R x ) |x ∈E }⊂Q ⨯Q
所以{δx |x ∈E }可数. 不妨设{δx |x ∈E }={δx |n ∈N }，又记{B λn |x ∈E }=
{B λn |n ∈N }. 其中，δn ⊂B λn (∀n ∈N }
故E ⊂ δx = δn ⊂ B λn
x ∈E
n ∈N
n ∈N
1111-ε1+ε, 2, n , }，, ) ，开区间列(1-ε, 1+ε) ，( 22222
1-ε1+ε1
, (n , n ), ，覆盖了它，这里0
222
25. 已知：可数集E ={1, 答：不能，证明如下：
证明：（反正）如果∃n 1, n 2, n k ，k ∈N ，使得E ⊂ (
i =1k
覆盖.
1-ε1+ε
, n ) （*），不妨2n 2
设
1
11-ε1-ε1
n 1n =n +1，则
2n k +12i 2k 2k 2k
1-
1-ε1+ε1
∉ (n k , n k ) . 这与n k +1∈E 矛盾. 所以（*）不真. i =1222
k
26. 设{F λ|λ∈A }是一簇集合，如果∀λ1, λ2, , λn ∈A ，有 F λi ≠∅，则称集
i =1
n
合簇{F λ|λ∈A }具有有限交性质.
证明：如果{F λ|λ∈A }是具有有限交性质的非空有界闭集簇，那么 F λ≠∅.
λ∈A
证明：取λ0∈A ，令G ={x ∈R n |ρ(x , F λ0)
inf{ρ(x , y ) |y ∈F λ0}，ρ(x , y ) =
∑(x
i =1
n
i
-y i ) 2，则G 是R n 中开集. 且F λ0⊂G ，
如果 F λ=∅，则F λ0⊂G =G - F λ= (G -F λ) .
λ∈A
λ∈A
λ∈A
m
由Borel 有限覆盖定理（P27 定理9），存在λ1, λ2, , λm ，使得F λ0⊂
m
m
m
i =1
(G -F λi ) =G - F λi . 从而，F λ0 ( F λi ) = F λi =∅，这与{F λ|λ∈A }具有
i =1
i =1
i =0
有限交性质矛盾.
27. 试用Borel 有限覆盖定理证明：Bolzano-Weiestyass 定理（P24定理4，若E 是是
一个有界无穷点集，则E '≠∅）.
证明：设E 是R 中的有界无穷点集，如果E '=∅，则∀x ∈E ，∃δx >0，使得
x ∈E
n
则E ⊂ O (x , δx ) . 由Borel 有限覆盖定理，O (x , δx ) E ={x }，∃x 1, x 2, , x n ∈E ，有E ⊂ O (x i , δx i ) ，从而E =E [ O (x i , δx i )]= E O (x i , δx i ) = {x i }=
i =1
i =1
i =1
i =1
m
m
m
m
{x 1, x 2, , x n }，这与E 为无穷集矛盾，从而E '≠∅.
29. 可数个开集的交称为G δ型集，可数个闭集的并称为F σ型集. 证明：有理数集不
是G δ型集，但是F σ型集.
证明：设Q 为R '中全体有理数所构成的集合. 如果Q 是G δ型集，即Q = G n ，
n =1∞
其中G n 是开集，由开集的结构，∀n ∈N ，G n = (αn k , βn k ) ，其中{(αn k , βn k )}k 是
k
互不相交的开区间.
不是一般性，设αn 1
故
事实上，如果αn 1≠-∞，即∃r 为有理数，r
r ∉ (αn k , βn k ) =G n ⊃ G n =Q ，这与r ∈Q 矛盾.
k
n =1
∞
(2)∀k ∈N ,
*
βn , k =αn , k +1
如果∃k ∈N ，βn , k *≠αn , k *+1. 则βn , k *
*
*
βn , k
k
k
k
(3) βn =sup {βn , k }=+∞.
k
事实上，若βn ≠+∞，则βn 为有限实数，∃r ∈Q ，使得∀k ，βn , k ≤βn
故r ∉ (αn k , βn k ) =G n ⊃Q ，这也是一矛盾.
k
R '-G n =R '- (αn , k , βn , k ) = {αn , k }= {αn , k |k }
k
k
k
R '-Q =R '- G n = {R '-G n }= {αn , k |k }={αn , k |n ∈N , k }为可数集，
n =1
n =1
n =1
∞∞∞
这与R '-Q =C 矛盾.
因为在R '中单点集是闭集，所以∀r ∈Q ，令F r ={r }，则F 为闭集，所以
r ∈Q
Q = F r ，故Q 为F σ型集.
30．定义在[0, 1]上的任何函数的连续点构成的集合是一个G δ型集.
29'. 证明：开区间(0, 1) 中有理点的全体不是一个G δ型集，但是一个G δ型集.
30. 是否存在[0, 1]上的的函数满足：在有理点处连续，而在无理点处都不连续？是
证明你的结论.
回答：不存在. 为此，只需证明如下命题
命题（*）：开区间(0, 1) 中的任何函数的连续点构成的集合是一个G δ型集. 这是因
x ''→x
为，如果存在[0, 1]上的函数f ，使得(0, 1) Q ={x ∈(0, 1) |lim f (x ') =f (x ) .
当命题（*）成立时，必有(0, 1) Q 为G δ型集，这与29'题的结论矛盾. 命题（*）的证明：
设f (x ) 是开区间(0, 1) 有定义的一实函数，记E ={x ∈(0, 1) |lim f (x ') =f (x ) ，
x ''→x
下证：E 是一个G δ型集.
∀n ∈N ，令A n ={(α, β) |0
|f (x 1) -f (x 2) |
1
. 又记G n = A n . 于是，我们只需证：E = G n .
n ∈N n
x ''→x
事实上，∀x ∈E ，因为lim f (x ') =f (x ) ，所以∀n ∈N ，∃δn >0，使得
∀x '∈(x -δn , x +δn ) ⊂(0, 1) ，恒有|f (x ') -f (x ) |
1
，所以 2n
∀x 1, x 2∈(x -δn , x +δn ) ⊂(0, 1) ，恒有|f (x 1) -f (x 2) |≤|f (x 1) -f (x ) |+
∞∞1
|f (x ) -f (x 2) |
n =1n =1n
即，E ⊂ G n
n =1
∞
反过来，∀x ∈ G n . (f :∀ε>0, ∃δ>0, ∀x '∈(x -δn , x +δn ) ⇒
n =1
∞
|f (x ') -f (x 2) |
∞
1
∀ε>0，取n 0∈N ，使得
n =1n 0
所以∃α, β∈R ：0
|f (x 1) -f (x 2) |
1
0，故∀x '：|x '-x |
1
x ''→x n 0
x '，x ∈(x -δ, x +δ) ⊂(α, β) ，所以|f (x ') -f (x ) |
f (x ) . 故x ∈E . 因此，E = G n 真.
n =1
∞
31. 假设A ⊂R '，且对任意x ∈R '，存在x 的一个δ-领域(x -δ, x +δ) ，使得
(x -δ, x +δ) A 最多只有可数个点，证明：A 必有有限级或可列集.
证明：因为∀x ∈A ，∃δx >0使得(x -δx , x +δx ) A =B x 是一个至多可数集，
x ∈A
而A ⊂ (x -δx , x +δx )
由24题，∃{x i |i ∈N }⊂A 使得：A ⊂ (x i -δx i , x +δx i )
n =1∞
∞
∞
∞
又A =A [ (x i -δx i , x +δx i )]= (A (x i -δx i , x +δx i )) = B x i . 即A 至多
n =1
n =1
n =1
可数.
32. 证明下列陈述相互等价. (i) A 是无处稠密集
(ii) A 不包含任何非空开区间 (iii) A 是无处稠密集 （iv ）A 的余集C A 是稠密集
n n
无处稠密集：E ⊂R ，E 称为是无处稠密的，如果，∀δ>0，∀x ∈R ，
O (x , δ) ⊄E .
证明：（i ）⇒(ii).设A 是无处稠密集，即∀δ>0，∀x ∈R '有(x -δ, x +δ) ⊄A . 如果∃α, β∈R '(α
α+β
2
，取δ=
β-α
2
>0，故
(x -δ, x +δ) =(α, β) ⊂A . 这与(x -δ, x +δ) ⊄A 得假设矛盾. 所以i ⇒(ii)真.
（ii ）⇒(iii).如果A 不是无处稠密的，即∃x 0∈R n ，∃δ>0，使得(x -δ, x +δ)
=(α, β) ⊂A . 这与A 不包含任何非区间矛盾.
(iii)⇒(iv).设A 无处稠密. 现在我们证：R '-A =R '.
∀x ∈R ', 如果x ∉R '-A ，则x ∈A ，所以∀δ>0，有(x -δ, x +δ) ⊄A =A .
故(x -δ, x +δ) (R '-A ) ≠∅. 所以x ∈R '-A .
(iv)⇒(i).设R '-A =R '，∀x ∈R '，∀δ>0，(x -δ, x +δ) [R '-A ]≠∅.
所以(x -δ, x +δ) ⊄A . 从而，A 无处稠密.
33. 证明：若集合E 的聚点x 0不属于E ，则x 0是E 的边界点. 定义：x 0称为E 的边界点，如果∀δ>0，有O (x 0, δ) E ≠∅且
O (x 0, δ) E ≠∅.
证明：设x 0∈E '-E ，则∀δ>0，[O (x 0, δ) -{x 0}] E =O (x 0, δ) E ≠∅.
且x 0∈O (x 0, δ) (R n -E ) ≠∅，即，x 0是E 的界点.