九、数学思维与数学思维能力的培养：
（一）数学思维概述
1、数学思维：指在数学活动中的思维，是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一定思维规律认识数学内容的内在理性活动。它既具有思维的一般性质，又有自己的特性。最主要的特性表现在其思维的材料和结果都是数学内容。
2、小学生数学思维发展的阶段：
（1）直观行动思维：这是以实际的操作行为依托的数学思维。
（2）具体形象思维：这是以事物的表象为依托的数学思维，它是一般形象思维的初级形态。
（3）抽象逻辑思维：这是脱离了直观形象依靠概念、判断和推理所进行的数学思维。
3、数学思维的特性：
（1）思维的概括性：是以客观事物为依据，在原有经验的基础上，舍弃了具体事物的非本质特征，提示数量关系和空间形式的本质特征及其规律，并把它推广到同类事物或现象之中。
数学概念的形成、数学公式、汉则的获得都需要通过抽象概括，因此，概括水平的高低是衡量数学思维能力强弱的重要标志之一。
（2）思维的问题性：主要表现为数学思维总是与数学的实际总是相联系，总是表现为不断提出问题、分析问题直到解决问题。
（3）思维的逻辑性：是数学思维的核心。
4、数学思维的结构：
（1）数学思维的材料和结果：指的是数学思维的内容。
（2）数学思维的基本方法：又称思维的操作手段
小学数学思维的基本方法有“观察、实验、比较、分类、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、类比、联想等。”
数学思维的基本形式：按思维活动的三种方式分类，主要指逻辑思维的基本形式------概念、判断和推理；形象思维的基本形式-----表象、直感和想像；直觉思维的基本形式----直觉和灵感。
数学思维品质主要有深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和独创性等。
（二）数学思维的分类：
1、集中思维与发散思维：集中思维是朝着一个目标、遵循单一的模式，求出归一答案的思维，又称为求同思维；发散思维则表现在解决问题时，能根据已提供的条件，利用已有的知识经验，从多个方向、不同途径去探索思考，以寻求新的解决问题和途径和方法，发散思维又称为求异思维。
2、再造性思维与创造性思维：再造性思维是指原有的经验和已经掌握的解题方法、策略，在灯似的情境中直接解决问题的思维方式。创造性思维是指在强烈的创新意识的指导下，指导头脑中已有的信息重新加工，产生具有进步意义的新设想、新方法的思维。
（三）数学思维的一般方法：
1、观察与实验：
（1）观察：是受思维影响的，有目的、有计划地通过视觉器官去认识事物、状态及上线关系的一种主动活动。观察是思维的窗口。
（2）实验：是有目的、有控制地创设一些有利观察对象，并对其衽观察和研究的活动方式。
实验是有控制的观察，实验为观察创设对象；又通过观察获得实验的结果。
2、分析与综合：
（1）分析：是把思维对象的整体分解在各个部分、方面或要素，并对它们分别加以研究、考察的一种思维方法。
（2）综合：是把已有的关于研究对象的各个部分、方面或要素联合成整体，从而进行整体认识的思维方法。
综合是以分析为基础的综合，分析又是在综合指导下的分析。
3、比较与分类：
（1）比较：是确定两个或两个以上的对象或同一个对象在不同时间条件下的相同与不同点的思维方法。比较是对事物进行分类、抽象、概括的基础，分析与综合又是基础。
在教学中最好先比较相异点，然后比较相同点，而且先从相差悬殊的特点比起，再比较其细微的差别。
（2）分类：是以比较为基础，按照一定的标准，把相同性质的事物归为一类，不同性质的则归入不同类别的思维方法。
分类的基本原则：每一次分类必须按一个标准；分类必须不重不漏。
4、抽象与概括：
（1）抽象：在认识事物中，抽取其共同的、本质属性或特征，舍弃其非本质属性或特征的思维方法。
小学数学学习中的抽象是有不同层次的，一种是从具体事物、具体现象中的抽象，称为具体的抽象；另一种是在前者基础上的较高层次的抽象，称为原理性抽象。
（2）概括：在认识事物的过程中，将抽象出来的同类事物的共同属性连结起来，并把它推广到同一类事物上去的思维方法。
5、归纳与演绎：
（1）归纳：是从同类事物中的若干特殊事物所含有的同一性或相似性中，得出这类事物的一般属性的思维方法。归纳有不完全归完全归纳两种。
不完全归纳：是根据某类事物中的部分对象具有（或不具有）某种属性，推知该类事物的全部对象都具有（或不具有）这种属性的思维方法。不完全归纳法又称为简单枚举法。
完全归纳是依据同类事物的每个对象都具有（或不具有）某种属性而推出该类事物的全体具有（或不具有）这种属性的思维方法。
（2）演绎：是同类事物的一般属性推出其中个别对象属性的思维方法。基本方式是“三段论”。
6、类比和联想：
（1）类比：是根据两个对象之间存在着一些相同或相似的属性，推测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。类比带有或然性，其结论不一定可靠。
（2）联想：是由当前的某一事物想到与其关联的另一事物的思维方法。
（四）初步逻辑思维能力及其培养：
逻辑思维是数学思维的核心。逻辑思维是一种确定的、前后一贯的、有条有理的、有根有据的思维。
1、 概念明确：概念是反映客观事物本质属性的一种思维方式。
2、判断准确：判断是对某个事物的性质，现象作出肯定或否定的思维方式。数学判断是对数量关系和空间形式有所肯定或否定的一咱方式。表达数学判断的语句又称数学命题。判断是由主概念、谓概念和联系词三部分组成。
3、推理符合逻辑：推理是由一个或几个已知的判断推出一个新判断的形式。
推理分归纳推理、演绎推理和类比推理三种。
归纳推理（从特殊到一般）；演绎推理（从一般到特殊）；类比推理（从特殊到特殊）
4、培养初步逻辑思维能力的基本途径：
（1）要挖掘教材中的智力因素，把培养思维能力贯穿于教学的全过程。
（2）要给学生提供足够的材料。
（3）要顺着学生的思维，重视学习过程。
（4）要重视数学语言的表述。
5、初步形象思维能力及其培养
（1）形象思维：是依托对形象材料的意会，从而对事物作出有关理解的思维。
（2）形象思维的基本形式是表象、直感和想像。
①表象：是在感知基础上形成的感性认识的高级形式，它是人们过去感知的，但是现在并不直接感知到的那些保留有人脑中的事物的映象。表象有视觉表象、听觉表象、运动表象及其他表象。
数学表象可分为两种基本类型：图形表象和图式表象。图形表象是与外部几何图形形状一致的头脑中的示意图；图式表象是与外部数学式子的结构关系相一致的模式形象。
②直感：是运用表象对具体形象的直接判别与感知。它是在数学表象的基础上对有关数学形象的判别。
形象识别直感：它是数学表象这种整合的普通的特征来比较具体数学对象是否与之同质，这种思维形式主要表现在对图形、图式在变式情况下的再认，或者在复合形状下的分别辨认。
形象相似直感：当进行形象识别时，如果有头脑中找不到同质的已有表象，便往往寻找接近于目标形象的已有表象来进行形象识别，比较异同，利用共相似处进行适当加工，从而解决问题。
③想象：是在头脑中对已有表象经过结合与改造，产生新表象的思维过程。数学想像是数学表象与数学直感在人脑中有机联结与组合，从而产生新的表象。
按内容可分为图形想像与图式想像：按深度可分为再造性想像与创造性想像。
培养初步形思维能力的基本途径：积累表象；数形结合；重视想像。
7、初步直觉思维能力及其培养：
（1）直觉思维：是一种整体的、粗线条的、高度简约的、跳跃式的思维。它依托于对事物的直接认识，从整体上把握对象，经过一段充分的准备，一下子接触到问题的裨，找到答案。
钱学森语：直觉是一种人们没有意识到的信息加工活动，是在潜意识中酝酿问题，然后与显意识突然沟通，于是一下子得到了问题的答案，而对加工的具体过程，我们没有意识。
（2）直觉思维的基本形式：
①直觉：是在原有知识和经验的基础上，通过观察、联想、猜测等，对出现在人们面前的新事物、新形象的一种直接的、极为敏锐的判断和对其内在本质的理解，这种思维方式往往不受逻辑规则的约束。
直觉具有经验性、跳跃性和或然性。
②灵感：又称为顿悟，是人们对长期探索的未能解决的问题的突然领悟的思维方式。
灵感的特征：突发性、模糊性和非逻辑性。
波利亚语：好念头的出现，每人都会体验过，但只能心领神会，而难于言传。
（3）培养初步直觉思维的若干建议：重视知识“组块”的积累；鼓励合理猜想；敢于创新。
8、数学思维品质及其培养：
（1）数学思维品质：是学生数学思维发展中的个性差异，又称为数学思维的智力品质，它是数学思维发展水平的重要标志。
（2）数学思维品质主要包括数学思维的深刻性、灵活性、敏捷性、批判性和独创性。
思维的深刻性：主要指能从数学的感性材料出发，通过逻辑思维， 揭示数学与形的本质特征，确定它们的内在联系和规律，并预通情达理感事物的发展进行进程。思维的深刻性是思维品质的基础。
思维的灵活性：是指善于从不同的角度、不同的方面进行分析思考，善于根据条件的变化转换角度，做到思维起点活，思维过程活动，有较强的迁移能力。
思维的敏捷性：指思维活动的速度。它表现在解决问题时思考敏捷，接触裨快，能缩短中间环节，简化思考过程。
思维的批判性：指在数学思维活动中，能严格估计思维材料和精细检查思维过程，能随时对思维过程进行监控和调节的品质。
思维的独创性：指在面对从未见的新问题时，能采取相应的对策，并能给予独特、新颖的解决，它是数学思维发展的高级表现。