西南交大物理系_2012
《大学物理CI 》作业
No.04 相对论基础
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、选择题：
1．(1) 对某观察者来说，发生在某惯性系中同一地点、同一时刻的两个事件，对于相对
该惯性系作匀速直线运动的其它惯性系中的观察者来说，它们是否同时发生？ (2) 在某惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件，它们在其它惯性系中是否同时发生？
关于上述两个问题的正确答案是：
[ A ] (A) (1)同时，(2)不同时 (B) (1)不同时，(2)同时 (C) (1)同时，(2)同时 (D) (1)不同时，(2)不同时 2．K 系与K '系是坐标轴相互平行的两个惯性系，K '系相对于K 系沿ox 轴正方向匀速运动。一根刚性尺静止在K '系中，与o 'x '轴成30 角。今在K 系中观察得该尺与ox 轴成45角，则K '系相对于K 系的速度u 是： [ A ] (A) (2/3) 12c (B) (1/3) c
(C) (2/3) c (D) (1/3) c '解：尺在K '系中静止，是固有长度。它在x ', y '轴上投影分别为∆x 和∆y '；
在K 系，尺的投影分别为∆x 和∆y ，由题设条件，
12
∆y '∆x '
=tg 30,
∆y ∆x
=tg 45
又∆y =∆y '，∆x =∆x '-(
u =
u c
)
2
, 可得1-() =
2
u c
tg 30tg 45
=
1 3
23
c
故选A
3．在狭义相对论中下列说法中哪些是正确的？
（1）一切运动物体相对观察者的速度都不能大于真空中的光速
（2）质量、长度、时间的测量结果都是随物体与观察者的相对运动状态而改变的 （3）在一惯性系中发生于同一时刻、不同地点的两个事件在其他一切惯性系中也是同时发生的
（4）惯性系中的观察者观察一个与他作匀速度相对运动的时钟时，会看到这时钟比与他相对静止的相同的时钟走得慢些
[ B ] (A) (1)，(3)，(4) (B) (1)，(2)，(4)
(C) (1)，(2)，(3) (D) (2)，(3)，(4)
解：根据相对论两条基本原理、洛仑兹变换和相对论的时空观，正确的说法是(1)，(2)，
(4) 选B
4．在某地发生两件事，静止位于该地的甲测得时间间隔为4s ，若相对于甲作匀速直线运
动的乙测得时间间隔为5s ，则乙相对于甲的运动速度是(c 表示真空中光速)
[ B ] (A) (4/5) c
(C) (2/5) c
(B) (3/5) c (D) (1/5) c
解：因两件事发生在某地，则甲静止于该地测得的时间间隔4s 为原时，由洛仑兹变换式
∆t =有乙测得时间间隔
11-(
u c )
2
⨯∆t 0 ，
乙相对于甲的运动速度是u =c 1-(
∆t 0 ∆t
)
2
423
=c 1-() =c
55
选B
5．已知电子的静能为0.51 MeV，若电子的动能为0.25 MeV，则它所增加的质量m 与静止质量m 0的比值近似为 [ C ] (A) 0.1 (B) 0.2
(C) 0.5
∆m m 0
mc
2
2
0. 250. 511
(D) 0.9
解：由质能关系有 增加的质量∆m 与静止质量m 0的比值近似为
二、填空题：
1．牛郎星距离地球约16光年，宇宙飞船若以 的匀速飞行，将用5年的时间（宇宙飞船上的钟指示的时间）抵达牛郎星。 解：飞船上的钟测出的是固有时间，∆t '=5年； 地球上的钟测出的是测量时间∆t =16年。 由钟慢效应，∆t '=
1
1
=
m -m 0
m 0
=
-m 0c
2
m 0c
=≈0. 5 选C
γ
∆t 1
, 5=
γ
u c
⨯16，得
2
γ
=1-(256281
) =
15
8
-1
)
u =c =2. 86⨯10(m ⋅s
2．一列高速度火车以速度u 驶过车站时，停在站台上的观察者观察到固定在站台上相距2 m的两只机械手在车厢上同时划出两个痕迹，则车厢上的观察者应测出这两个痕迹之间的距离为 。
解：设站台为K 系，火车为系K '，K '系相对于K 系沿
x 轴以速度u 运动。
由洛仑兹变换 x '=γ(x -u ⋅t ) 可得
∆x '=γ(∆x -u ⋅∆t ) 已知 ∆x =2, ∆t =0, 所以
∆x '=γ∆x =
2-(
u c )
2
(m )
3．μ 子是一种基本粒子，在相对于μ子静止的坐标系中测得其寿命为τ0=2⨯10-6s 。如果μ 子相对于地球的速度为 v =0. 988c (c 为真空中光速) ，则在地球坐标系中测出的μ子的寿命τ=____________________。
解：μ子相对于地球运动，则地球坐标系中测出的μ子的寿命为非原时，由相对论时间膨
1-6-5
⨯2⨯10 =1.29⨯10 s 胀效应有的τ=γτ0=
0. 988c 2
-()
c
4．匀质细棒静止时的质量为m 0，长度为l 0，当它沿棒长方向作高速的匀速直线运动时，测得它的长为l ，那么，该棒的运动速度v =_____________，该棒所具有的动能E K =______________________。
解：匀质细棒静止时的长度l 0即为原长（本征长度），根据狭义相对论时空观中运动尺度收缩效应有 l =l 0-(v /c )
故该棒的运动速度 v =c -(l /l 0) 于是该棒所具有的动能
5．观察者甲以
35
22
E K =
m 0c
2
2
-(v /c )
-m 0c
2
=m 0c (
2
l 0-l l
)
（c 为真空中光速）相对于观察者乙运动，若甲携带一长度为l 、c 的速度
截面积为S ，质量为m 的棒，这根棒安放在运动方向上，则
（1）甲测得此棒的密度为 ； （2）乙测得此棒的密度为 。
解：(1) 在甲所在的参考系中，棒静止，其长度l 为固有长度，截面积为S ，所以甲测量此棒的密度为
m m
ρ==
v l s (2) 相对于乙所在的参考系，由尺缩效应和质——速关系
l '=γ
-1
l , S '=S , m '=γm
所以乙测量该棒的密度应为
ρ'=
m '1v '
=
γm γ
-1
l s
=γ
2
m l s
=
⋅
m 25m
1-(32
l s
=
16l s
5
)
三、计算题：
1．在惯性系S 中观察到两事件发生在同一地点，时间先后相差2 s 。在另一相对于惯性系S 运动的惯性系S '中观察到此两事件之间的间隔为3 s 。求：
（1）S '系相对于S 系的速度大小v ；
（2）在S '系中测得的两事件之间的距离d 。 解：（1）甲测得同一地点发生的两个事件的时间间隔为固有时间：
∆t =2s
乙测得两事件的时间间隔为观测时间：
∆t '=3s 由钟慢效应∆t =γ
-1
2
∆t '，即：1-() =
u c
∆t ∆t '
=
23
可得K '相对于K 的速度： u =
53
c
（2）由洛仑兹变换 x '=γ(x -u t ) ，乙测得两事件的坐标差为
∆x '=γ(∆x -u ∆t )
由题意 ∆x =0有：
∆x '=-
u ∆t u 2
1-()
c 5
=-
3c ⨯2
=-5c 53
8
1-()
2
=-6. 7⨯10(m )
即两事件的距离为 L =∆x '=6. 7⨯108(m )
2．观察者A 测得与他相对静止的Oxy 平面上一个圆的面积是12 cm 2，另一观察者B 相
对于A 以 0.8 c (c 为真空中光速) 平行于Oxy 平面作匀速直线运动，B 测得这一图形为一椭圆，其面积是多少？
解：由于B 相对于A 以v =0. 8c 匀速直线运动，因此B 观测此图形时与v 平行方向上的线度将收缩变为 2R -(v /c ) 2=2b ，即是椭圆的短轴。 而与v 垂直方向上的线度不变，仍为2R = 2 a ，即是椭圆的长轴。 所以测得的面积为(椭圆形面积)
S =πab =πR -(v /c ) 2⋅R =πR 2-(v /c ) 2=7. 2(cm ) 2
3．两个静质量相同的粒子，一个处于静止状态，另一个的总能能量为其静能的4倍。当此两粒子发生碰撞后粘合在一起，成为一个复合粒子。求：复合粒子的静质量与碰撞前单个粒子静质量的比值。
解：设单个粒子的静质量为m 0，动质量为m ，速度为v , 符合粒子静质量为M 0，动质量
M ，速度为u
由题意，
mc
22
m 0c
=
m m 0
=4
由质量公式，γ1=
1⎛v ⎫1- ⎪
⎝c ⎭
2
=4 ⇒v =
1516
c
由碰撞前后质量守恒，m +m 0=M ⇒由碰撞前后动量守恒，mv =Mu ⇒
M γ2
M =5m 0 u =
45v =
2
35
c
由质量公式，复合粒子静质量，M 0=则，
M 0m 0
=
=5m 0⋅
⎛u ⎫1- ⎪
⎝c ⎭
=
10m 0