第３０卷第３期
２０１０年５月
海洋测绘
ＨＹＤＲＯＧＲＡＰＨＩＣ
ＶｏＬ３０．Ｎｏ．３
ＳＵＲＶＥⅥＮＧ
ＡＮＤＣＨＡＲＴＩＮＧＭａｙ，２０１０
直角坐标系的欧拉旋转变换及动力学方程
朱雷鸣１’２，吴晓平１，李建伟１，吴
星１
（１．解放军信息工程大学测绘学院，河南郑州４５００５２；２．６１３６５部队，天津３００１４０）
摘要：讨论了在直角坐标系中１２种欧托旋转变换中的６种坐标变换方式，根据矩阵的运算性质，推导了坐标变换的欧拉旋转矩阵和动力学方程，并且用Ｍａｔｌａｂ的矩阵运算功能对所有公式的推导过程进行了验证。
关键词：欧拉旋转变换；旋转矩阵；动力学方程；欧拉角；姿态角中图分类号：Ｐ２２６＋．３
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７１＿３０４４（２０１０）０３—００２０—０３
１
引言
尺，（口２）＝Ｉ
ｆｃｏｓ日２
ｏ
ｏ１ｏ
—ｓｉｎ日２１
ｏ
在大地测量中，对于同一个点的位置，由于测量手段、计算方法和使用目的不同，可以采用不同的坐标系统和参考系统，得出不同的表示方式。在测绘范畴内，坐标系统多达数十种，都具有一定的理论意义和应用价值＂Ｊ。这使得在应用中需要进行不同坐标系间的相互转换。
不同坐标系间的坐标转换是指不同定义（原点、三轴指向不同）的坐标系间的转换，即将一个坐标系内的一个几何点的坐标值转换为另一个坐标系的坐标值。因为球面坐标系、大地坐标系与直角坐标系是等价的，它们之间存在惟一的变换关系，可以通过直角坐标系间接完成坐标转换。因为平移和尺度变换较简单，这里只讨论直角坐标系的旋转变换。两个坐标系的旋转可看作一个坐标系经过三次旋转到另一个坐标系，而这三个旋转角即为欧拉角。按转动顺序可分为两类ＨＪ：
Ｒ；（ｐ３）＝ｌ—ｓｉｎｐ３
Ｉｓｉｎ如ｒ，ｃ。ｓ口３Ｉ
ｏ
ｃ。ｓ９：ｊｓｉｎｐ３
ｏ］
ｃｏｓｐ３ｏ
ｏ
ｌｊ
旋转矩阵具有三个性质＂Ｊ：
（１）旋转角Ｂ的量取：对于右手系逆时针（从旋转轴正向面向原点看）旋转为正，即根据右手法则进行旋转（绕茗轴旋转时，由ｙ轴转向彳轴；绕，，轴旋转时，由ｚ轴转向戈轴；绕ｚ轴旋转时，由ｘ轴转向，，轴）；对于左手系顺时针（从旋转轴正向面向原点看）旋转为正，即根据左手法则进行旋转。
（２）正交性：旋转矩阵为正交矩阵，满足Ｒ；（口。）一１＝Ｒｉ（ｐ。）７＝Ｒ；（一口ｉ）。因此有：
［尺：（ｐ，）Ｒ，（巩）尺。（９。）］－１
＝［尺，（口，）］７［尺，（如）］７［尺：（ｐ。）］７＝Ｒ，（一ｐ３）Ｒ，（一日２）Ｒ：（一日。）
（１）
（３）按实际旋转顺序自右向左依次写出旋转矩阵，顺序不能交换。例如旧坐标先绕石轴旋转口，角，再绕），轴旋转口：角，最后绕ｚ轴旋转以角得到新坐标，从而新旧坐标系的旋转矩阵为：Ｒ＝兄（巩）Ｒ，（如）Ｒ，（ｐ，）。
在实际，Ｔ作中，旋转角常常为秒级或不足ｌｓ，此时有下列各式成立：
ｃｏｓ口ｉ＝ｌ，ｓｉｎ口ｉ＝ｐｉ，ｓｉｎｐｉｓｉｎｐｉ＝Ｏ
①每次转动是绕不同类别的坐标轴进行的；②第
一次和第三次转动是绕同类坐标轴进行的，第二次转动是绕另两轴中的一轴进行的。如以数字顺序ｌ、２、３分别代表坐标轴菇、），、ｚ，则１２种欧拉转动顺序可表示为：ｌ一２．３，１—３．２，２．１—３，２—３．１，３—１—２，３－２—１和ｌ一２—１，１・３・ｌ，２一ｌ－２，２—３—２，３一ｌ一３，３－２—３。其中最常用的欧拉角旋转是３．１—３和３．１—２。
（２）
这时旋转矩阵可简化近似表示为：
蹦¨＝旺
收稿日期：２００９．０１．０５；修回日期：２００９．０８．１８
作者简介：朱雷鸣（１９７６．），男，河北保定人，工程师，硕士研究生，主要从事物理大地测量研究。
万方数据
第３期
朱雷鸣，等直角坐标系的欧拉旋转变换及动力学方程
２，
ｆ，１
以
ｐ
１
０
Ｒ。ｌ一以
ｌ●
｜Ｉ
Ｏ
＋
Ｌ６１２一日。
卅吼。
Ｏ
Ｏ●０
０●ｒ
Ｏ
以
８
ｌ一以
ｏ＝
，
＋
皿，Ｌ３、Ｊ
Ｊ
Ｌ日２
一日ｌ
川一研。
３第一类旋转变换
第一类旋转变换的特点是：三次转动分别绕不同类别的坐标轴进行。在这类坐标变换中最常用的是３．１－２型，常用于姿态测量，因此三个旋转角又称
为姿态角。下面以。叫。，，，ｚ．转换为Ｄ一彬坐标系为
例，分别讨论第一类的６种旋转方式。
（１）３—１—２：先绕ｚ轴旋转理角，再绕菇轴旋转口角，最后绕ｙ轴旋转ｙ角。
Ｅ］＝Ｒ，ｃｙ，尺；ｃ卢，Ｒ：ｃｎ，苣］２引酬二班宙＝１
０
ｌ
０
｜１
０
ｃｏｓ８
ｓｉｎ口Ｉ
＼ｓｉｎｙ
０
ｃｏｓ７／＼０一ｓｉｎ卢ｃｏｓ卢／
导刮引
㈩
中三轴上的投影为：①∞。在戈，，，，。，ｚ。轴上的投影分别为：ｏ，ｏ，ｌ；②锻７。在ｚ。，ｙ。，彳。轴上的投影分别为：ｃｏｓａ，ｓｉｎ“，０；③ｏｙ２在戈ｌ，），ｌ，彳Ｉ轴上的投影分别为：一ｃｏｓ卢ｓｉｎａ，ｃｏｓ卢ｃｏｓａ，ｓｉｎ卢。这三次旋转所对应的旋
万方数据
Ｅｕｌｅｒ运动学方程（或旋转角速度向量）为：
口ｃｏｓａ—ｙｃｏｓ卢ｓｉｎａ
埘１
２
卢ｓｉｎａ＋７ｃｏｓ卢ｃｏｓａ
（５）
＆＋＇ｓｉｎ卢
同理，在三次旋转中，根据每次转动的旋转轴在新坐标系。一戈：儿ｚ：中三轴上的投影，可得在此坐标系中的Ｅｕｌｅｒ运动学方程（或旋转角速度向量）为：
●
埘２２
一ａｃｏｓ届ｓｉｎｙ＋卢ｃｏｓ７钾ｙ２ｄｓｉｎ卢＋ｙ
（６）
。
●
卯≈
ａｃｏｓ卢ｃｏｓｙ＋卢ｓｉｎｙ
另外，角速度向量芴除了可以通过旋转轴在坐标系上的投影直接得到，还可以通过旋转矩阵Ｒ的转置的全微分ｄＲ７与Ｒ的乘积ｎ中得到：
ｆ，ｏ
一妣
峨、
Ｑｌ＝ｄＲ７・Ｒ＝Ｉ甜：
ｏ
一∞。Ｉ
Ｌ一∞，
∞，
Ｏ／
式中，
耐＝＆簧审管＋多筹
ｄａ
ｄＤ
ｄ１，
（７）
Ｉ，Ｊ
∞ｉ是在旧坐标系（１系）中表示的角速度向量芴．的分量。在新坐标系（２系）中表示的角速度向量可以通过以下关系求得：
蜴＝尺・ｄＲ７或埘２＝Ｒ・彬ｌ
例如，在指北方位惯导系统中，地理系（ｇ）到平台系（ｐ）的转换关系…：
％珑等…，帅鲁一
∞ｐ２，ｐ２ｚｐ２盲＿呶辨ｐ
刚引酬立：引Ｂ：训刭
ｌ—ｓｉｎ妒：
ｃｏｓ妒：ｏ｜｜儿ｌ㈣
（９）
Ｌ
ｏ
ｏ１八ｚ，／
即：亨，＝尺，（妒，）尺ｘ（妒。）尺：（９：）彳；
ｆ，。唧。咖－５ｉ吖ｓｉｎ卢ｓｉ眦ｃ唧８ｉ阳＋８ｉ吖ｓｉｎ卢ｃ咖“ｒｒｙ００ｓ卢］
２２
海洋测绘第３０卷
式中，ａ、卢和ｙ分别为机体航向角、俯仰角和倾斜
角。姿态矩阵为：ｑ＝［Ｃ］７。
（２）１—２—３：先绕算轴旋转ａ角，再绕ｙ轴旋转卢角，最后绕ｚ轴旋转７角。
（１１）
私㈢。匿圣
（１２）
●
●
ｏｃｏｓ卢ｃｏｓｙ＋卢ｓｉｎ７
●
％２引２
一㈩
●
一ｏｃｏｓ卢ｓｉｎｙ＋卢ｃｏｓ７
（１３）
口ｓｉｎ卢＋７
（３）２—３一ｌ：先绕ｙ轴旋转仅角，再绕ｚ轴旋转口角，最后绕菇轴旋转ｙ角。
（１４）
私㈢２臣美
（１５）
万方数据
一㈩ｏｓｉｎ卢＋ｙ
●
ｌ加挖Ｉ＝
●
训２
２
㈦
口ｃｏｓ卢ｃｏｓｙ＋卢ｓｉｎｙ
（１６）
●
一口ｃｏｓ卢ｓｉｎｙ＋卢ｃｏｓｙ
（４）ｌ一３—２：先绕戈轴旋转ａ角，再绕ｚ轴旋转卢角，最后绕ｙ轴旋转７角。
旋转矩阵和欧拉运动学方程分别为：
Ｒ＝尺，（ｙ）Ｒ：（届）Ｒ。（ａ）
（１７）
私卧巨童ｓａ
●
．㈩
●
口ｃｏｓ卢ｃｏｓｙ一卢ｓｉｎｙ伽２＝Ｉ叫，：ｌ＿
一口ｓｉｎＪＢ＋７
（１８）
１％ｊ
●
●
口ｃｏｓ卢ｓｉｎ７＋卢ｃｏｓｙ
．卜］ｐｃｏｓ叶如ｓ脚ｎａ］
蝴ｔ凡：＝讪咿咖Ｊ
珏刚黧茅三卜，
●
●
私㈢．【一卢ｓｉｎ０［＋ｙｃｏｓ卢ｃｏｓｄ
●
ｔ‘Ｊｌ
２
２
●
ｌｔ’ｙｌ
卢ｃｏｓｎ＋ｙｃｏｓ届ｓｉｎａｏ—ｙｓｉｎ卢珏卧
一口ｓｉｎ卢＋ｙ
●
埘，５ｌ彬。ｌ
２
ｏｃｏｓ芦ｓｉｎｙ＋卢ｃｏ町
（２２）
●
●
口ｃｏｓ卢ｃｏｓｙ—ｐｓｉｎｙ
本文较详细地讨论了在直角坐标系中坐标变换的欧拉旋转矩阵和动力学方程。通过以上分析可知，在坐标系的旋转变换中，需要选择合适的旋转次序和旋转方向。根据旋转次序及旋转方向的不同，
（下转第４０页）
海洋测绘
［４］
第３０卷
杨留法．试论粉砂淤泥质海岸带微地貌类型的划分——以上海市崇明县东部潮滩为例［Ｊ］．上海师范大学学报，１９９７，２６（３）：７２～７７．
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ＡｎＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｍｅＧｅｏｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙａｎｄＥＶ０１Ｖｅｍｅｎｔｓ
Ｔｒｅｌｌｄ
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Ｎｏｍｌ
ＢａｙｏｕｏｆＹ觚昏ｚｅ鼬Ｖｅｒ
Ｌｉ－ｂｉｎ９２
ＺＨＡＮＧＺｈｉ．ｑｉａｎ９１＇２～，儿ＡＮＧＪｕｎ－ｊｉｅ２，ＺＨＡＮＷｅｎ－ｈｕａＩｌ３，ＬｉＪｉｅ２，ＱＩＡＮ
（１．（｝ｕａｎｇｚｈｏｕ
ｉｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆ
Ｇｅｏｃｈｅｍｉｓｔｒｙ，ＣｌｌｉｎｅｓｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｇｕ锄ｇｚｈｏｕ，Ｇｕａｌｌｇｄｏｎｇ，５１０６４０；
２．ＳｏｕｔｔｌＣｌｌｉｎａＳｅａ
３．ＣＡＳｌ（ｅｙＩａｂ嘲ｔｏ拶ｏｆ
Ｂ姗ｃｈｏｆ
ＳｔａｔｅｏｃｅａＩｌｉｃＡｄＩＩｌｉｎｉｓ仃ａｔｉｏｎＧｕ锄ｇｚｈｏｕ，Ｇｕａｌｌｇｄｏｎｇ，５１０３００；
ｓｅａＩＩｌｓｔｉｔｕｔｅｏｆ
Ｍａ哂ｒ“ＳｅａＧｅｏｌｏｇｙ，Ｓ伽哐ｈＣＩｌｉｍ
ｏｎ
ｏｃｅａｎｏｌ９９ｙ，ＧＩ均ｎｇｚＩｌｏｕ，ＧｕａＩｌｇｄｏｎｇ，５１０３０１）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ
ｆｉｅｌｄｓｕ“ｅｙｄａｔａ，ｍｉｓｐａｐｅｒａｌｌａｌｙｚｅｄａｎｄｐｒｏｃｅｓｓｅｄｍｅｃｏｌｌｅｃｔｃｄｄａｔａｏｆｗａｔｅｒｄｅｐｔｌｌ
ｒｉＶｅｒ．ＴｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉＯｎｉｓｍａｔｇｅｏｍｏｒｐｈｏｌｏｇｙＯｆｎｏｍｌｂａｙｏｕ
ａ
粕ｄｓｉｄｅｓｃ锄ｓｏｎａｒ
ｃｏｎｓｉｓｔｓ
ａｔ
ｎｏｎｌｌｂａｙｏｕＯｆＹａＩｌｇｔｚｅ
ｏｆＨｕａｎｇｇｕａｓｈａｔｍｕｇｈ，Ｇｕｙｕａｎｓｈａ埘ｏｕｇｈ柚ｄｒｊｄｇｅｅｔｃ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｍｅａｎｉｃｌｅｃ０１ｌｅｃｔｅｄｂａｍｙｍｅｔｒｉｃ
ａｌｌａｌｙｓｉｓ
ｍａｐｏｆｎｏｎｔｌｂａｙｏｕｏｆＹａｌｌｇｔｚｅｄＶｅｒｉｎｄｉｆｆ＇ｅｒｃｎｔｙｅａｒＳ．Ｗｅｄｉｄ
ｍｅａＳｕｒｅｍｅｎｔ咖，ｃｏｎｃｌｕｄｅｄ
ｃｏｍｐ椭ｔｉＶｅＯｆｍｅｍａｐ锄ｄｔｌｌｅａｃｔｕａｌ
ｍｅｅＶｏｌｕｔｉｏｎａｒｙ仃ｅｎｄ．
ｅＶｏｌｕｔｉｏｎａ巧ｐｒｏｃｅｓｓｏｆｍｉｓ
ａｒｅａ
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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｇｅｏｍｏ巾ｈｏｌｏｇｙ；ｓｉｄｅｓｃ锄ｓｏｎａｒ；ｃｈａｎ；ＹａｎｇｔｚｅｒｉＶｅｒ
◆…１◆…ｌ◆川Ｉ◆川Ｉ◆…Ｉ◆川Ｉ◆…ｌ◆…ｌ◆…｝◆川Ｉ◆…ｆ◆川ｌ◆…ｆ◆川ｌ◆川１◆川ｌ◆川ｌ◆…ｌ◆…Ｉ◆…Ｉ◆…ｌ◆川ｌ◆川ｌ◆…Ｉ◆…１◆川Ｉ◆川ｌ◆…Ｉ◆¨¨◆…ｌ◆¨¨◆…ｌ◆…Ｉ◆…Ｉ◆川Ｉ◆川ｌ◆…ｌ◆川ｌ◆川ｌ◆…Ｉ◆川ｌ◆…ｌ◆…ｌ◆…Ｉ◆…Ｉ◆ｌ
（上接第２２页）
对应的旋转矩阵和运动学方程以及旋转角的大小和正负都不同。在已知两坐标系间的转换参数时，可以利用以上公式直接进行严密求解。否则，应先利用在两坐标系的公共已知点采用七参数等方法求出转换参数。
参考文献：
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ＴｈｅＥｕｌｅｒ’ｓＲｏｔａｒｎｏｎａｎｄ
ＺＨＵ
Ｄｙｎａ血ｃＥｑｕａｔｉｏｎｏｆＲｅｃｔａｎｇｌｌｌａｒＣｏｏｒｄｉｎａｔｅＳｙｓｔｅｍ
Ｊｉａｎ—ｗｅｉｌ，、ⅣＵＸｉｎ９１
Ｌｅｉ．１Ｔｌｉｎ９１…，ＷＵⅪａｏ－ｐｉｎ９１，ＬＩ
（１．ＩｎｓｔｉｍｔｅｏｆＳｕｒｖｅｙｉｎｇ柚ｄＭ印ｐｉｎｇ，Ｉｎｆｏｍｌａｔｉｏｎ
Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ
ＵｎｉＶｅｒｓｉｔ）ｒ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ，Ｈｅｎ卸，４５００５２；
２．６１３６５Ｔｍｏｐｓ，Ｔｉ觚ｊｉｎ，３００１４０）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩＩｌｔｌｌｉｓｐａｐｅｒ，６ｉｎｓｔ锄ｃｅｓｏｆｔｈｅ１２ｋｉｎｄｏｆＥｕｌｅｒ’ｓｍｔａｔｉｏｎｉｎｔｈｅｒｅｃｔ卸ｇｕｌａｒｃ００ｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍ
ｗｅｒｅ
ｉｎＶｅｓｔｉｇａｔｅｄ柚ｄ锄ａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅ
Ｅｕｌｅｒ’ｓ
ｒｏｔａｔｉｏｎｍａｔｒｉｘ锄ｄｄｙｎａｎｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｗｅｒｅｄｉＶｉｄｅｄｉｎｄｅｔａｉｌ柚ｄ
ｖｅｒｉｆｉｅｄｉｎＭａｔｌａｂｓｏｆｎｖａｒｅ．
ＫｅｙｗｏｒｄＳ：ｔ１１ｅＥｕｌｅｒ’ｓｍ忸ｔｉｏｎ；ｍｅ
ｏｆｇｅｓｔｕｒｃ
ｍ删ｘ
ｏｆｔｌｌｅ
ｒｏｔａｔｉｏｎ；ｄｙｎ锄ｉｃ
ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｔＩｌｅＥｕｌｅｒ’ｓ锄ｇｌｅ；ｔｌｌｅａ１１９ｌｅ
万方数据
直角坐标系的欧拉旋转变换及动力学方程
作者：作者单位：
朱雷鸣， 吴晓平， 李建伟， 吴星， ZHU Lei-ming， WU Xiao-ping， LI Jian-wei，WU Xing
朱雷鸣,ZHU Lei-ming(解放军信息工程大学,测绘学院,河南,郑州,450052;61365部队,天津,300140) ， 吴晓平,李建伟,吴星,WU Xiao-ping,LI Jian-wei,WU Xing(解放军信息工程大学,测绘学院,河南,郑州,450052)海洋测绘
HYDROGRAPHIC SURVEYING AND CHARTING2010，30(3)0次
刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
参考文献(5条)
1. 张宗麟 惯性导航与组合导航 2000
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下载时间：2010年12月19日