三角恒等变换教案设计(苏教版)

第 1 课时：§3.1.1 两角和与差的余弦

【三维目标】：

一、知识与技能

1.掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用；

2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用； 3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明 二、过程与方法

1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数的联系；

2.通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量法作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数；讲解例题，总结方法，巩固练习.

三、情感、态度与价值观

1.创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.

2.通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力. 【教学重点与难点】：

重点: 两角和与差的余弦公式的推导及其应用. 难点: 两角差的余弦公式的推导. 【学法与教学用具】：

1. 学法：

(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.

(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.

(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教法：启发式教学 3.教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1．数轴两点间的距离公式：MNx1x2．

2．点P(x,y)是终边与单位圆的交点，则siny,cosx．

二、研探新知

两角和的余弦公式的推导（向量法）：

把cos()看成两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。

在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角,，其终边分别与单位圆交于

P1(cos,sin),P2(cos,sin)，则P1OP2由于余弦函数是周期为2的偶函数，

所以，我们只需考虑0的情况。



设向量a=OP1(cos,sin),b=OP2(cos,sin), 

则 ab=|a||b|cos()=cos()



另一方面，由向量数量积的坐标表示，有ab=coscossinsin,所以

cos()=coscossinsin

这就是两角差的余弦公式。 【探究】：

如图3-1-2，在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴交于P0，以Ox为始边分别作出角,,，其终边分别和单位圆交于P1,P2,P3，由P0P3P2P1，你能否导出两角差的余弦公式？

在

c





公式

C()

中用代替，就得到

os()s

cion．（C()） 

这就是两角和的余弦公式

【说明】：

公式C()对于任意的,都成立。

【思考】：

“用代替”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P92例1）利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式： （1）cos(



2

)sin； （2）sin(



2

)cos

0000

例2（教材P93例2）利用两角和（差）的余弦公式，求cos75,cos15,sin15,tan15。

【举一反三】：

1. 求值：（1）cos1950 （2）cos540cos360sin540sin360

（1）cos195cos(18015)cos15(cos45cos30sin45sin30)

4























（2）cos54cos36sin54sin36cos(5436)0．

【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：

cos15cos6045







，要学会灵活运用.

【思考】：你会求① cos105、②sin75、③cos15、④cos值吗?



5

cos

310

sin



5

sin

310

的

例3（教材P93例3）已知sin

23

,(



2

,),cos

35

,(,

32

)，求cos()

的值

【思考】：在上例中，你能求出sin()的值吗？ 【举一反三】： 1.已知cos

4535

, (





2

,),求cos(



4

)的值.

2.已知sin

，

5

,,cos,是第三象限角，求cos的值.

132

提示：注意角、的象限，也就是符号问题.

1114

3. 已知cos(2α-β)=-,sin (α-2β)=

437

,且



4



2

,0



4

,求cos(α+β)的

四、巩固深化，反馈矫正

教材P94练习第2题，第3题

五、归纳整理，整体认识

本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式C()的推导，能熟练运用C()公式，注意C()公式的逆用。在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.

六、承上启下，留下悬念

1.用两点距离公式推导两角和与差的余弦公式。

2.预习两角和与差的正弦

七、板书设计（略） 八、课后记：

第 2 课时：§3.1.2 两角和与差的正弦（一）

【三维目标】：

一、知识与技能

1. 能由两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式，并从推导的过程中体会到化归思想的作用

2. 能用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形，并能熟练进行公式正逆向运用。

3. 揭示知识背景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，引发学生学习兴趣；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质.

二、过程与方法

通过创设情境：通过两角差的余弦函数导出两角和与差的正弦公式；讲解例题，总结方法，巩固练习.

三、情感、态度与价值观

通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力. 【教学重点与难点】：

重点: S()公式的推导、应用. 难点: S()公式的推导. 【学法与教学用具】：

1. 学法：

(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.

(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.

(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1. C()公式；

2．化简：（1）cos3cossin3sin；（2）cos(（3）cos15cos75． 二、研探新知

1．诱导公式



（1）cos()coscossinsinsin；

2

2

2



6

)cos(



6

)；

（2）把公式（1）中

即： cos(



2



2

换成，则cossin(



2

)．

)sin sin(



2

)cos．

2．两角和与差的正弦公式的推导



sin()cos[()] cos[()]

2

2

cos(



2

)cossin(



2

)sinsincoscossin

即：sin()sincoscossin （S()） 在公式S()中用代替,就得到：sin()

sin

cos

cos s

（S()）

说明：（1）公式C()对于任意的,都成立。

（2

2,

32

前面再加上一个把看作锐角的三角函数等于的余名三角函数，

原三角的符号

（3）诱导公式用一句话概括为奇变偶不变，符号看象限。 【练习】：补充证明：sin(



2

)cos； cos(



2

)sin

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1：求值(1)sin75； (2)sin195； （3）cos79cos56cos11cos34． 解：（1）sin75sin30cos45cos30sin45

=

21

2

2

2



4

；

（2）sin195sin(18015)sin15(sin45cos30cos45sin30)



4

；

235

,(,

32

)，求sin()，

（3）cos79cos56cos11

cos34cos(7956)

23

．

例2（教材P95例1）已知sin

,(



2

,),cos

求的值

【思考】：上例中求：sin()，cos(),tan()

例3 已知cos解：

sin

cos

513

5

，求cos(



6

)及sin(



6

)的值

13

0，∴在二，三象限，当在第二象限时

，



1213

， 

6

∴cos(



6

)

coscossinsin



6



513



2



1213



12



26

，

sin(



6

)

sincos



6

cossin



6



261213

当

在第三象限时，sin



6

，

2

1213

12

26

∴cos()

coscos



6

sinsin



6



513



，

sin(



6

)

sincos



6

cossin



6



5

26

45

．

例4（教材P95例2）已知cos()，cos例5（教材P96例3）求函数y

12sinx

32

，，均为锐角

cosx的最大值

四、巩固深化，反馈矫正

1. 求sin13cos17+cos13sin17值



2.求证：cos+3sin=2sin(+)

6

23

25

3.已知sin(+)=,sin()= 求

tantan

的值

4.已知sin（）=1，求证：sin（2）= sin

五、归纳整理，整体认识

由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并进行注意：两角和与差的正弦、余弦公式及一些技巧“辅助角”“角变换”“逆向运用公式” 六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略） 八、课后记：

第 3 课时：§3.1.2 两角和与差的正弦（二）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，能正确运用公式进行简单的三角函数的化简、求值；

2.掌握一些角的变换技巧，能选择恰当的公式解决有关问题；了解由三角函数值求角的方法；

3.能将asinxbcosx化为一个角的一个三角函数式，培养学生逆向思维的意识和习惯；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

4.能灵活运用公式在三角形内求角的三角函数。 二、过程与方法

讲解例题，总结方法，巩固练习. 三、情感、态度与价值观 感受数学美

【教学重点与难点】：

重点: C()、S()公式的运用.

难点: C()、S()公式的运用. 【学法与教学用具】：

1. 学法：

(1)自主性学习法：通过自学熟练掌握两组公式.

(2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角和与差的正余弦公式的化简、求值、证明方法与技巧。.

(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

C()、S()公式；

二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 已知sin（2）求sin()

【说明】：求某一角的一般方法：（1）确定此角的范围；（2）求出此角的某一三角函数值；（3）确定此角 【举一反三】：1.已知



655

,(0,



2

),cos

10

,(0,



2

)，（1）求cos()的值；



2

，cos(



6

)

1517

，求cos,sin的值

sinBsinA

例2 （教材P97例4）求证：

sin(2AB)

sinA23

2cos(AB)

15

的值

例3 （教材P97例6）sin()【举一反三】：

1.已知



2



34

，sin()，求

tantan

，cos()



6

1213

，sin()

35

，求cos2的值

例4.求证：cos3sin2sin()

【说明】：一般地，式子asinxbcosx可以化为一个角的一个三角函数式。

 asinx

bcosx

x

x)，



cos

22



1，则令

sin



所以，asinxbcosx



sinxsincosx)

x)．

3

cossin5

例5.已知，求sin()的值。

sincos45

3cossin(1)5

解：，(1)2(2)2得：22(sincoscossin)1， 

4sincos(2)

5

1

∴sin()．

2

【变题】已知sinsinsin0，且coscoscos0，求cos()．

（答案cos()

12

）

cosAcos(BC)

例6.在ABC中，若5tanBtanC1，求解：

cosAcos(BC)



cos(BC)cos(BC)

的值。



1tanBtanC1tanBtanC



cosBcosCsinBsinCcosBcosCsinBsinC



23

．

三、巩固深化，反馈矫正

教材P9899

四、归纳整理，整体认识

1．认真审题，选择恰当的方法解决有关问题；

2．解决有关三角形问题，能灵活的进行三个角之间的变换； 3.掌握求角的一般方法；

4.寻找角之间的关系，选择恰当的公式解决有关问题。

六、承上启下，留下悬念

预习两角和与差的正切公式

七、板书设计（略）第 4 课时：§3.1.3 两角和与差的正切

（一）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系，并从推导过程中体会到化归思想的作用；

2.能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；掌握公式的正、逆向及变形运用，选用恰当的公式解决问题；

3.能将简单的几何问题化归为三角问题，培养学生的数学转换能力及分析问题的能力。 二、过程与方法 1.借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；（在教师的点拨、提示下，学生自行完成证明）

2.揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.

3.讲解例题，总结方法，巩固练习.

三、情感、态度与价值观

1.通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识； 2.理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力；能将简单的几何问题化归为三角问题，培养学生的数学转换能力及分析问题的能力。 【教学重点与难点】：

重点：T()公式的运用。

难点：T()公式的推导及运用，选用恰当的方法解决问题。 【学法与教学用具】：

1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

复习两角和与差的正、余弦公式：S(),C()公式。 二、研探新知

1．两角和的正切

∵cos()0,tan() =

sin()cos()



sincoscossincoscossinsin

当coscos0时, 分子分母同时除以coscos得：

tantan即：（T()） tan(+)= 1tantan

2．两角差的正切

以代得：tan()

tantan()1tantan()tantan



tantan1tantan

tan()= 即：（T

1tantan

()

）

【说明】：①T()公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；

②T()公式的变形：tantantan()(1tantan)

tantantan()(1tantan)

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

公式的正用：例1 求值：（1）tan

1112

1112

；（2）tan285．



6

tan

解：（1）tan

tan



12

tan(



4



4

tan



6



)

1



2

3

1tan





4

tan





6

（2）tan285tan(36075)tan75



tan45tan30



1tan45tan30



2．

公式的逆用：例2（教材P101例2）：求证：

1tan151tan15



1tan151tan15

3。

解：=

tan45tan15





1tan45tan15

tan(4515)tan60



．

【说明】：在解三角函数题目时，要注意“1”的妙用.

相关例题：（1）

tan17



tan28





1tan17



tan28



（2）

tan62



cot58





1cot28





tan32

公式的变用：例3

：求tan70tan5070tan50值。





解：原式tan(7050)(1tan70

tan50)70tan50





tan70tan50)70tan50





凑角：例4 已知tan

12

,tan()

25

，求tan(2)

例5 （教材P101例1）已知tan,tan是方程x25x60的两个根为，求tan()的值。

一般情况：已知一元二次方程axbxc0(a0,ac)的两个根，求tan()的值。

b

tantana

解：由a0和一元二次方程根与系数的关系，得， 又ac，

ctantan

a

tantan1tantan

2

1

b

b．

ccaa

所以，tan()

例6（教材P101例3）. 如图，三个相同的正方形相接，求证：



4

．

解：由题意：tan

12

， tan

1

13

，

∴tan()

tantan1tantan



21

12

13131，

0



2

,0



2

， ∴0，所以，



4

．

四、巩固深化，反馈矫正 1．已知,(



2,225

)，且tan

,tan是方程x40的两个根，求．

2

2.已知tan()



4

，tan(



4

)

14

，求tan(



4

)的值。

解：tan(tan[()(



4

tan()tan(

)]



)



251

25

1414322

1tan()tan(



4

．

)

【变题】：已知cot2,tan()

解：cot2， ∴tan

12

23

，求tan(2)的值。

，

tan()tan1tan()tan

18

∴tan(2)tan(2)tan[()]

五、归纳整理，整体认识

1．掌握T()公式及它的变形公式；

2.对公式要灵活进行正用、逆用及变形使用,正切的和、差角公式以及它们的等价变形，即：

tan()

tantan1tantan

tantantan()(1tantan)

(1tantan)

tantantan()

这些公式在化简、求值、证明三角恒等式时都有不少用处.根据题中给定条件及所求的结论，认真分析题意，寻找恰当的方法，实现条件到结论的转化。 六、承上启下，留下悬念

1．已知锐角,,满足sinsinsin0，coscoscos0，求；

2

．求证：tan10tan50









10tan50







；

3．求值：tan70tan25tan70tan25． 4.已知tan=1，tan=

12

，tan

13

，，，均为锐角，求证：++=



2

七、板书设计（略） 八、课后记：

八、课后记

第 5 课时：§3.1.3 两角和与差的正切（二）

【三维目标】：

一、知识与技能

1. 了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，选用恰当的公式解决问题；

2. 正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

3.能将asinxbcosx化为一个角的一个三角函数式； 4.能灵活运用公式在三角形内求角的三角函数。 5.了解由三角函数值求角的方法。 二、过程与方法 讲解例题，总结方法，巩固练习. 三、情感、态度与价值观

培养学生观察、推理的思维能力，使学生认识到事物间是有联系的，培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练，提高学生的数学素质.

【教学重点与难点】：

重点：公式的灵活运用。利用两角和与差的正、余弦公式将asinθ＋bcosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式

难点：公式的灵活运用。使学生理解并掌握将asinθ＋bcosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式，并能灵活应用其解决一些问题。根据具体问题选择恰当的三角公式并进行有益的变形。 【学法与教学用具】：

1. 学法：

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

复习：S(),C(),T()公式.

二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 已知tan5a，求sin5(1tan5tan2.5)的值。 方法：切化弦。

解：sin5(1tan5tan2.5)sin5(

sin5











cos5cos2.5sin5sin2.5

cos5cos2.5cos2.5











)

cos5cos2.5

【举一反三】：1.证明：sin(1tantan)tan；

2

tan5a．



2.

求





的值。 1

tantan

2

例2 求证：

sin()sin()

sincos

2

2

2

2

．

证明：左边 

(sincoscossin)(sincoscossin)

sincos

sincoscossin

sincoscossinsincos

2

2

2

22

2

2

2

2

22

右边．

11

tantan

2

2

例3 已知：2sin(2)3sin，求证：tan()5tan．

证明：因为2sin(2)3sin, 即 2sin[()]3sin[()] 2sin()cos2cos()sin3sin()cos3cos()sin sin()cos5cos()sin

∴

sin()cos()

5sincos

，即：tan()5tan．

例4

已知f(x)sin(x)x)是偶函数，求tan的值． 解：∵f(x)是偶函数， ∴f(x)f(x)，

即sin(x)并化简，

得sinx

sin

x)sin(x)3sin

x)，由两角和与差公式展开

上式cos，)0对xR恒成立的充要条件

是

co

s，所以，0tan．

例5（教材P102例4）在斜三角形ABC中，求证：tanAtanBtanCtanAtanBtanC 【举一反三】在非直角ABC中，

（1）求证：tanAtanBtanCtanAtanBtanC；

（2）若A,B,C

成等差数列，且tanAtanC2

ABC的三内角大小。

解：（1）证明：∵ABC，∴tan(AB)tanC， ∴tanAtanBtanCtan(AB)(1tanAtanB)tanC

tanC(1tanAtanBtanC)tanC

tanAtanBtanC

；

（2）解：A,B,C成等差数列， ∴2BAC， 又ABC，

∴B60，∴AC120，

tanAtanCtan(AC)(1

tanAtanB)

(2又∵tanAtanC2

tanA1



tanC2

3

或

tanA2tanC1

A45A75



所以，B60或B60．

C75C45

四、巩固深化，反馈矫正

1．求值：（1

）[2sin50sin10(1

12

10)]sin80；





（2）tan20tan20tan60tan60tan10． 2．已知sin()

，sin()

13

，求tan∶tan；

tannAtannBtannC

3．在ABC中，tannAtannBtannC

五、归纳整理，整体认识

．

1．求三角函数值时，要观察题中给出条件及所求结论的特征，特别是角的特征，寻找恰当的方

法（切、割化弦；将式子化为一个角的一个三角函数式等），解决问题；

2．证明三角恒等式时，首先观察等式两边的角之间的关系，再选用恰当的公式加以证明。 六、承上启下，留下悬念 教材P103104

七、板书设计（略） 八、课后记：

第 6 课时：§3.2 二倍角的三角函数（一）

【三维目标】：

一、知识与技能

1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。

2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；

3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参

与意识，并培养学生综合分析能力.

4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法

1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.

2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观

1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.

2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 【教学重点与难点】：

重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式以及公式的变形，二倍角公式的简单应用； 难点：二倍角的理解及其灵活运用（公式的逆向运用及变式训练）。 【学法与教学用具】：

1. 学法：

(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教法：

本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式；（通过设置问题让学生理解二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的）

对于二倍角公式的灵活运用，采用讲、练结合的方式进行处理，让学生从实例中去理解,从而能灵活地运用二倍角公式解题。

3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 教学用具:电脑、投影机. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式；

2.提出问题：若，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式 二、研探新知 1．二倍角公式的推导： sin22sincos

22

cos2cossin

tan2

2tan1tan

2

【说明】：（1）二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数，它适用于二倍角与单角的三角函数之间的互化问题．

（2）“倍角”的意义是相对的，如：

4

是

8

的二倍角；3是

32

的两倍，



3

是



6

的

两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．

（3）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．

（4）注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：



k,k,kZ．其他R24

（5）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）

（6）利用三角函数关系式sin2cos21，可将余弦的倍角公式变形为：

22222

cos22cos112sin，cos2cossin，cos22cos1，类似地也有公式（降幂公式）：coscos212sin统称为升幂公式。

sin

2

22

1cos2

2

，

1cos2

2

这两个形式今后常用；

12

sin45

2

【练习1】求值：（1）sin2230cos2230（2）2cos（4）8sin

2



24

2

．

4

22

8

1cos

4

cos

22

． （3）sin

4sin

8

cos

8

cos． 1．

2



48

cos



48

cos



24



12



24

cos



24

cos



12

2sin



12

cos



12

sin



6

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 已知sin解：∵sin

513

513,(

22

,)，求sin2，cos2，tan2的值。

2

,(,)， ∴cossin120169

2



12

∴sin22sincos；cos212sin



4)

34

13119169

．

120119

；tan2

)

34

．

【举一反三】①已知：tanx2，则tan2(x

②已知：sinx

12

；tan2(x

．



4

．

，则sin2(x



4

)2

例2 化简（1

（2

（3

（4

．

解：（1









|sin20cos20|cos20sin20；

（2







；

sin20cos20； 







（3

（4



10．



与



例3 利用三角公式化简：sin50(1

3tan10)．



解：原式sin50(1

2sin50





3sin10cos10







2(

)sin50





1cos10

cos10





3

sin10)







sin30cos10cos30sin10

cos10









2sin50sin40

cos10



例4 求证

2cos40sin40

cos10

1sin4cos4

2tan

1tan

2tan

【说明】：原式等价于1sin4cos4(1sin4cos4)， 2

1tan

即：1sin4cos4tan2(1sin4cos4) （*），



cos10

1sin4cos4

2



sin80



1．

．

而（*）式右边tan2(1cos4sin4) 

sin2cos2

(2cos2sin2cos2)

2

2sin2cos22sin22sin41cos4左边，

所以，（*）式成立，原式得证。

【举一反三】已知3sin22sin21,3sin22sin20，求证：cos(2)0．

例4 求函数ycos(2x解：y2cos(xt1,1，∴y[

32

2

27

)2cos(x

7

)的值域。



7

)12cos(x



7

)，令tcos(x

27



7

)，则有y2t2t1，

7

)的值域为[

32,3]．

2

,3]， 所以，函数ycos(2x

2

)2cos(x)cos(

例5 求f(x)6cosx6sinxcosx4cos(x解：f(x)6cosx33sin2x4cos(x 3cos2x3sin2x2sin(2x cos2x

3sin2x3



2

2



4



44

x)的值域。 )3



4

)sin(x



)33cos2x3sin2x2cos2x3

x)

3（其中sin

10

cos

10

）

∵sin(2x)1,1，所以，f(x

)的值域为33．

四、巩固深化，反馈矫正

教材P106练习

五、归纳整理，整体认识

1．二倍角公式是和角公式的特例，体现了一般化归为特殊的基本的数学思想方法；

2．二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角的三角函数值复角（和、

差、倍）的三角函数值，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。

六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略） 八、课后记：

第 7 课时：§3.2 二倍角的三角函数（二）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.能从二倍角的正弦、余弦、正切公式导出半角公式，了解它们的内在联系；揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.

2.掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。

3.通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系，培养逻辑推理能力。

二、过程与方法

1.让学生自己由倍角公式导出半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；

2.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 三、情感、态度与价值观

1.通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养逻辑推理能力和辩证唯物主义观点。

2.培养用联系的观点看问题的观点。

【教学重点与难点】：

重点：半角公式的推导与应用（求值、化简、证明）

难点：半角公式与倍角公式之间的内在联系，以及运用公式时正负号的选取。 【学法与教学用具】：

1. 学法：

(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。 引导学生复习二倍角公式，按课本知识结构设置提问引导学生动手推导出半角公式，课堂上在老师引导下，以学生为主体，分析公式的结构特征，会根据公式特点得出公式的应用，用公式来进行化简证明和求值，老师为学生创设问题情景，鼓励学生积极探究。

3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1．复习：二倍角公式 sin22sincos

cos2cossin2cos112sin tan2

2

2

22

2tan1tan

2

2.降幂公式：sin2

1cos2

2

,cos

2

1cos2

2

,tan

2

1cos21cos2

．

【练习】化简：（1）cos20cos40cos60cos80；

（2）sin10sin30sin50sin70． （（1）（2）两题答案：

sin(22

n1

n1

116

）．

【总结】：一般地，coscos2cos4cos2

n

)

sin

．

3．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的，从而有降幂公式：

1cos1cos1cos2

， cos2， tan2 sin

222221cos

[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？

【注意】：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：角.

2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： cos

2

4

是

8

的倍

1cos2

2

,sin

2



1cos2

2

这两个形式今后常用.

二、研探新知

1．半角公式的推导：

sin

2





2

cos

2



tan

2



【说明】：（1）只要知道角终边所在象限，就可以确定符号；



2

（2）公式的“本质”是用角的余弦表示（3）还有一个有用的公式：tan

2

角的正弦、余弦、正切；



1cossin

sin1cos

（下面给出证明）。

[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？ 【注意】：1左边是平方形式，只要知道

2

角终边所在象限，就可以开平方。

2

2公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切

3上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆） sin

2

1cos

2

,cos

2

1cos

2

2

,tan

2



1cos1cos

2．还有一个有用的公式：tan

sin1cos



1cossin

（课后自己证）

【注意】：① 由cos12sin2



2

2cos

2



2

1

②S与C结构相同，一号之差，T是由S 与C推出的

2

2

222

③ 平方后是降幂公式，用于变形、求值、证明

④若是的一半，试尽可能多地写出联系与的三角恒等式（倍角，半角公式）

用根式求值时一般处理办法如下

（1）如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号



（2）如果给出的具体范围时，则先求出所在范围，然后再根据所在范围选用符

2

2

号

（3

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 求证：tan证法一：tan

2

2

sin1cos



1cossin

．

sincos





sincos



2cos2cos





sin1cos

sin1cos

2

)



．

证法二：tan2∴|tan

2||



2



21cos

22

(1cos)(1cos)(1cos)(1cos)

1

cos

|

(

sin1cos

|sin|1cos

．



2cos

2

又由sin2sin∴tan



2

sin



2

cos



2

2tan



2

知sin与tan

1cossin2cos

2



2

同号，且1cos0，

1cos

，

同理tan

35

2

．

sin1

【练习2】已知sin2，且02



2

，求的值。



4

)

（略解）原式

1cossin1



4



)



1cos(2)1sin21．4 tan()

4cos22)sin(2)

42



)

（解法2）原式

1cossin1





4



cossincossin



1tan1tan



12

．

)

例2 求证：（1）



2

cos

sincos

12

[sin()sin()]

；（2）

sinsin2sin



2

．

证明：（1）将公式S()与公式S()的左边、右边分别相加，得

sin()sin()2sincos

12

所以，sincos[sin()sin()]．

（2）在（1）题中，令,，则值代入，就有sin



2

cos



2

，



2

．把，的



2



12

(sin)，

所以，sinsin2sin

2

2



2

cos



2

．

例3 已知3sin2sin1，3sin22sin20，且，为锐角，试求2的值。

解：∵3sin22sin21， ∴3sin2cos2 ① 又∵3sin22sin20， ∴3sincossin2 ② ①②，得：tancot2tan(又∵0∴



2



2

2)，



2

，0



2

∴0

2



2

，



2





2

2



2

，

2， 从而2

3

．

3

例4 求证：sin3coscos3sin

34

sin4．

证明：左边sin3coscos2cos3sinsin2

1cos21cos2

sin3coscos3sin

2

2



1



2

1

(sin3coscos3sin)sin4

12

cos2sin2

34

12

cos2(sin3coscos3sin)

2

sin4右边．所以，原式成立。

120



sin与sin

是方程x240)xcos240例5 已知：090，

的两个根，求cos(2)的值。

解：∵方程x40)xcos40x1,2

2







2



2



12

0的两个根为

2

2

sin40sin(4540)．







2

cos40





∴x1sin5，x2sin85且由090得：5， 85．

所以，cos(2)cos(1085)cos75

4

．

四、巩固深化，反馈矫正 五、归纳整理，整体认识

1．巩固倍角公式，会推导半角公式、和差化积及积化和差公式。

2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）. 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：cos24.半角公式左边是平方形式，只要知道是用角的余弦表示

2

2

1cos2

2

,sin

2

1cos2

2

角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”

角的正弦、余弦、正切.

5．注意公式的结构，尤其是符号. 六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略） 八、课后记：

第 8 课时：§3.3 几个三角恒等式

【三维目标】：

一、知识与技能

1. 能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆). 揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.

2.能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解.

3.能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.

4.梳理公式体系，通过本章知识结构图，进一步加强对各公式之间内在联系的理解。 5.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．

二、过程与方法

1.让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过总结知识结构图，发展学生推理能力和运算能力，进一步培养学生观察、类比、推广、特殊化和化归思想方法。

3.通过解决问题，引导学生明确三角变换是三角函数式的结构形式变换；角的变换；不

同三角函数之间的变换。

4.通过恒等变换公式的简单应用，提升解决问题的基本能力。 5.提高三角变换的能力 三、情感、态度与价值观

1.通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.

2.让学生经历数学探索和发现的欲望和信心，体验成功的感觉．

3.通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点. 4.通过知识结构图和公式应用使学生了解三角恒等变换及三角函数与数学变换的内在联系，培养学生严谨，规范的数学思维品质，发展正向、逆向思维和发散思维能力。

5.通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发数学发现的欲望和信心 【教学重点与难点】：

重点: 三角恒等变形（梳理三角恒等变换公式体系，渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法；熟练恒等变换公式，解决简单问题的应用）。

难点:“和差化积”及“积化和差”公式的推导（公式推导，解决问题中观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法的渗透）。 【学法与教学用具】： 1. 学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己根据已有的知识导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2.教学方法：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。 3. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

请回忆两角和与差的余弦公式、正弦公式；问你能否用sin()与sin()表示sin·cos和cos ·sin？类似地能否用cos()与cos()来表示cos·cos和sin·sin？ 二、研探新知

1.和差化积与积化和差公式的推导



sinsin2sincos

333

师：右边的两个角如何用左边的两个角表示？

引导学生观察等式两边角度之间的关系，右边的两个角分别是左边两个角的和、差的一半。 师：通过类比，对任意两个角，sinxsiny应该等于什么？运用已知的公式加以推导验证。

sin()sincoscossin sin()sincoscossin

两式相加得：

sin()sin()2sincos (1)

设x，y，则

sinxsiny2sin

xy2

cos

xy2

xy2

，

xy2

，公式(1)可以写成：

师：公式(1)实际上还可以变形成

sincos

12

[sin()sin()]

两角的正弦与余弦的乘积可以转化成另两个角的正弦的和。让学生通过类比，猜测任意两个角的其它三角函数的积、和的规律并在下一步加以证明。 回忆两角和与差的三角函数公式：

cos()coscossinsin cos()coscossinsin sin()sincoscossin sin()sincoscossin

由公式（1）的推导过程，请学生进行类比，写出所有的积化和差的公式：

[cos()cos()] 21

sinsin[cos()cos()]

2sincoscossin

1212

[sin()sin()] [sin()sin()]

coscos

1

师：这组公式称为三角函数的积化和差公式。只要求熟悉公式结构，不要求记忆。其特点是化成和之后都是同名的三角函数，注意每个公式前面的系数。由积化和差公式，变形可以得到：

cos()cos()2coscos cos()cos()2sinsin sin()sin()2sincos sin()sin()2cossin，

再通过换元，请学生自行整理和差化积公式。

sinxsiny2sin

xy2

cos

xy2

sinxsiny2coscosxcosy2cos

xy2xy

sin

xy2

cosxcosy2sin

2xy2

cossin

xy2xy2

师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。利用四个和差化积的公式和其他三角函数关系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积的形式。

在投影仪上，将例1与练习A的第1,3题，打出来，让学生做，教师巡视检查完成情况，并订正。

提醒学生注意，化积问题的结果必须是几个三角函数的积的形式。

2.万能公式

2tan

sin

1tan

2

2

1tan

,

cos

1tan2sinsin

2

2

2

2,2

2tan

2

2tan

tan

1tan

2

2

2

2

2

证明：（1）sin

sin1

cos

2

2

cos

2

2

1tan

2

2

（2）cos

cos1

cossin

22

sincoscos

22

1tan1tan2tan

2 2

222

（3）tan

sincos

2sincos

2

2

2

2

sin

2

1tan

2

3.常用的恒等式

1.（1）sin34sinsin(60)sin(60) 分析：本题考查二倍角与和差角公式； 类似的恒等式还有：

（2）cos34coscos(60)cos(60) （3）tan34tantan(60)tan(60)

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 已知

2

，0，tan =

13

，tan =

17

，求2 + 

解：tan2

2tan1tan

2





34

∴tan(2)

32

tan2tan1tan2tan

2

0

1

又∵tan2

74

∴22 ∴2 +  =

例3 已知sin  cos =

12

2

，2，求tan

2tan

2

2

和tan的值

2

解：∵sin  cos =

12

1tan2

2

21 22

122

2

7

∴

1tan

1tan

4

2

化简得：tan

2

2

4tan

22

30 ∴tan2

2

∵2 ∴

2tan

tan

1tan

2

 ∴tan0 即tan

2

27

2



2(21(2

12

7)7)

2



4271047



27

527



43

7

例4 已知cos  cos  = 的值

解：∵cos  cos  =

sin  sin  = ∵sin

2

1213

，sin  sin = 

1312

，求sin( + )、tan( + )

，∴2sin

22

32

sinsin

22

 ①

13

，∴2cos

2



 ②

32

0 ∴tan ∴tan

2

2tan



2

∴sin()

1tan2tan

2

21

312 91343

212 95

2

2

21

∴tan()

1tan

3



2433

例5 求证：sin3sin + cos3cos = cos2

证明：左边 = (sin3sin)sin + (cos3cos)cos

= 

12

22

(cos4  cos2)sin2 +

12

(cos4 + cos2)cos2

=  = =

1212

12

cos4sin +

2

1212

cos2sin +cos2 =

12

2

12

cos4cos +

2

12

cos2cos

2

cos4cos2 + cos2(cos4 + 1)

cos22cos22 = cos32 = 右边 ∴原式得证



2,cos

2

例6试以cos表示sin2



2

,tan

2



2

．

1和cos12sin

1cos

21cos

2

2

解：我们可以通过二倍角cos2cos2因为cos12sin2因为cos2cos

2



2



2

来做此题．



2

，可以得到sin2



2

2

； ．



2

2

1，可以得到cos



2



1cos．

21cos2

cos

2

思考：代数式变换与三角变换有什么不同？

又因为tan2



sin





代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．

例7 把下列各式化成积的形式：(1)cos3cos (2)sin54sin22 (3)sin5xsin3x (4)cos40cos52 (5)cos40cos52 例8 已知A＋B＋C＝180，求证：sinAsinBsinC4cos

A2cos

B2cos

C2

四、巩固深化，反馈矫正

1.化简①sin80；②1cos80

；③sin2sin2(0



4

)

2.要使半径为R的半圆形木料截成长方形（如图），应怎样截取才能使长方形的面积最大？

五、归纳整理，整体认识

（1）本节重点学习了两组公式，不要求记住这两组公式，但要学会运用这些公式进行三角函数和差与积的互化，并能够运用公式解决求值、化简和证明等问题。

（2）化积的问题注意最后结果的形式要写成几个三角函数的积的形式。

（3）推导公式的过程中用了换元法，这是一种很常用的方法，要注意该方法在解题中的应用。

六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略） 八、课后记：