首届全国大学生数学竞赛决赛试卷
（非数学类，2010）
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
一、 计算下列各题（共20分，每小题各5分，要求写出重要步骤）.
(1) 求极限lim k k π. (1+)sin ∑2 n →∞n n k =1n -1
(2)
计算⎰⎰∑2其中∑
为下半球面z =a >0.
(3) 现要设计一个容积为V 的一个圆柱体的容器. 已知上下两底的材料费为单位面积a 元，而侧面的材料费为单位面积b 元. 试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？
⎛11⎫1, ⎪f '(x ) = sin 3x +cos 3x ，求f (x ) . (4) 已知f (x ) 在⎝42⎭内满足
二、（10分）求下列极限 11⎛1n ⎛⎛1⎫⎫a n +b n +c n (1) lim n 1+⎪-e ⎪； (2) lim ⎪n →∞ n →∞ 3 ⎝⎝n ⎭⎭⎝n ⎫⎪, 其中a >0, b >0, c >0. ⎪⎪⎭
三、（10分）设f (x ) 在x =1点附近有定义，且在x =1点可导， f (1)=0, f '(1)=2. 求f (sin2x +cos x ) lim . x →0x 2+x tan x
四、（10分）设f (x ) 在[0,+∞) 上连续，无穷积分⎰∞
01y f (x ) dx 收敛. 求 lim ⎰xf (x ) dx . y →+∞y 0
⎛1⎫f (0)=f (1)=0, f ⎪=1⎝2⎭. 证五、（12分）设函数f (x ) 在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且
明：(1) 存在ξ∈ ,1⎪2⎛1⎫⎝⎭使得f (ξ) =ξ；(2) 存在η∈(0,ξ) 使得f '(η) =f (η) -η+1.
六、（14分）设n >1为整数，
⎛t t 2t n ⎫F (x ) =⎰e 1+++... +⎪dt 0n ! ⎭⎝1! 2! . x -t
F (x ) =证明: 方程n ⎛n , n ⎫ ⎪2在⎝2⎭内至少有一个根.
243511f (x ) f (f (x )) =1+x +x -x -x R 七、（12分）是否存在中的可微函数使得 ？若存
在，请给出一个例子；若不存在，请给出证明.
八、(12分) 设f (x ) 在[0,∞) 上一致连续，且对于固定的x ∈[0,∞) ，当自然数n →∞时f (x +n ) →0. 证明: 函数序列{f (x +n ) :n =1,2,...}在[0,1]上一致收敛于0.