实验十 弦振动特性的研究
一 实 验 目 的
1． 观察弦振动时形成的驻波。
2． 用两种方法测量弦线上横波的传播速度，比较两种方法测得的结果。
3． 验证弦振动的波长与张力的关系。
二 仪 器 和 用 具
电振音叉（约100Hz ），弦线分析天平，滑轮，砝码，低压电源，米尺。
三 实 验 原 理
1 弦线上横波传播速度（一），如图1所示，将细弦线的一端固定在电振音叉上，另一端绕过滑轮挂上砝码。当音叉振动量，强迫弦线振动（弦振动频率应当和音叉的频率ν等），形成列向滑轮端前进的横波, 在滑轮处反射后沿相反方向传播。在音叉与滑轮间往反传播的横波的叠加形成一定的驻波，适当调节砝码重量或弦长(音叉端到滑轮轴间的线长官，在弦上将
出现稳定的强烈地振动，即弦与音叉共振。弦共振
时，驻波的振幅最大，音叉端为稍许振动的节点（非
共振时，音叉端不是驻波的节点），若此时弦上有n
个半波区，则λ=2l /n ，弦上的波速v 则为
v =γλ
2 或v =γ2l （1） n 弦线上横波传播速度（二），若横波在张紧的弦线上沿x 轴正方向传播，我们取AB =d δ的微元段加以讨论（图2）。设弦线的线密度（即单位长质量）为，
则此微元段弦线ds 的质量为ρds. 在A 、B 处受到左右邻段的张力分别为T 1, T 2，其方向为沿弦的切线方向，与x 轴交成a 1、a 2角。
由于弦线上传播的横波在x 方向无振动，所以作用在微元
段ds 上的张力的x 分量应该为零，即
T 2cos a 2-T 1cos a 1=0 （2）
又根据牛顿第二定律，在y 方向微元段的运动方程为
d 2y T 2sin a 2-T 1sin a 1=ρds 2 （3） dt
对于小的振动，可取ds ≈dx ，而a 1、a 2都很小，所以
cos a 1≈1, cos a 2≈1, sin a 1≈tga 1, sin a 2≈tga 2。 又从导数的几何意义可知tga 1= ⎛dy ⎫⎛dy ⎫, tga = ⎪ ⎪2⎝dx ⎭z ⎝dx ⎭x +dx
式（2）将成为T 2-T 1=0, 即T 2=T 1=T 表示张力不随时间和地点而变，为一定值。式（3）将成为
d 2y ⎛dy ⎫⎛dy ⎫T ⎪-T ⎪=pds 2 （4）
dx dt ⎝⎭x +dx ⎝dx ⎭z
2⎛dy ⎫⎛dy ⎫⎛d y ⎫⎛dy ⎫⎪dx 将此式代入（4）得 = ⎪+ 将 ⎪按泰勒级数展开并略去二级微量。得 ⎪2⎪ ⎝dx ⎭x +dx ⎝dx ⎭x ⎝dx ⎭x ⎝dx ⎭x +dx
⎛d 2y ⎫d 2y d 2y T d 2y T dx 2⎪⎪dx =ρdx dt 2即dt 2=ρdx 2 （5）
⎝⎭x
2d 2y 2d y 将（5）式与简谐波的波动方程2=v 相比较可知：在线密度为ρ、张力为T 的弦线上2dt dx
横波传播速度v 的平方等于
v 2=T
ρ即v =T
ρ （6）
3 弦振动规律
将式（1）代入式（6），得出
γλ=T
ρ即λ=1T
γρ （7）
整理后可得
γ=n
2l T ρ （8）
式（7）表示，以一定频率γ振动的弦，其波长λ将因张力T 或线密度ρ的变化而变化的规律。
式（8）又表示出，对于弦长l 、张力T 、线密度ρ一定的弦，其自由振动的频率不只一个，而是包括相当于n = 1 、2、3、…的v 1、v 2、v 3、…等多种频率，n = 1的频率称为基频，n = 2、3的频率称为第
一、第二谐频，但基频较其它谐频强得多，因此它决定弦的频率，而各谐频则决定它的音色。振动体有一个基频和多个谐频的规律不只是弦线上存在，而是普遍的现象。但基频相同的各振动体，其各谐频的能量分布可以不同，所以音色不同。例如具有同一基频的弦线和音叉，其音调是相同的但听起来声音不同就是这个道理。
当弦线在频率为γ的音叉策动下振动时，适当改变T 、l 和ρ，则可能和强迫力发生共振的不一定是基频，而可能是第一、第二、第三、…谐频，这时弦上出现2、3、4、…个半波区。
四 实 验 内 容
1 测量弦的线密度
取2m 长和所用弦线为同一轴上的线，在分析天平上称其质量m ，求出线密度ρ。
2 观察弦上的驻波
根据已知音叉频率γ（一般为100Hz ）和已知线密度ρ，求弦长在20～30cm 附近。若要弦的基频与音叉共振时，弦的张力T=？
参照上述计算的T 值。选适当的砝码挂在弦上（弦长在130cm 左右），给电振音叉的线圈上通以50Hz ，1～2V 的交流电，使音叉作受迫振动，进行以下的观测：
（1）使弦长从20cm 左右开始逐渐增加，当在n = 1、2、3、4几种情况下，弦共振时，分别测出弦长l 并算出波长λ。
（2）使弦长l 大于n = 1共振时的弦长，小于n = 2共振时的弦长，从这种情况振动的弦上，测出波长
。 λ，并和上面的测量相比（注意，此时音叉端不是弦的节点）
3 弦上横波的波长与张力的关系
增加砝码的质量，再细调弦长使出现共振，测出弦长l ，算出波长λ。重复测量取平均值。T 值改变6-8次。
⎛1⎫1⎪+1nT 即1n λ与1nT 间是线性关系。利用测量值，作将式（7）两侧取对数，得1n λ=1n v p ⎪2⎝⎭
⎛1⎫⎪相比较，斜率和1相比较，说明其差1n λ-1nT 图线，求出图线的纵轴截距和斜率，将截距和1n v p ⎪2⎝⎭
异是否过大？
4 比较两种波速计算值
从以上测量中选取全合适的数据，代入式（24-1）和式（24-6）中，计算出理论上应
当相等的两个速度值，说明其差异是否显著？
从测量记录中。选一组数据代入式（8），计算出弦振动的频率，说明它和已知音叉频率的差异是否显著？
五 回 答 问 题
1 增大弦的张力时，如线密度ρ有变化，以实验将有何影响？能否在实验中检察ρ的变化？
2 将线密度为ρ的细铜线用张力T 拉紧，其上通以频率为f 的交流电，在弦的中间放置一通直流电的电磁铁（或强的永久磁铁），如图24-3。说明什么条件下，弦上出现强烈振动？它的频率和弦上交流电频率f 有何关系？
六 附 记
[1]使用带断续器的电振音叉时，当音叉频率接近100Hz ，可去掉通直流电的断续器，直接给电磁线圈通以50Hz 低压电时，可以减小噪声又比较稳定。当音叉频率比100Hz 大得多时，可在音叉前端加配重减小其频率, 如果相反时, 可将音叉前端适当锯掉一些. 当音叉频率很接近100Hz, 通市电时将产生强烈共振, 也不利, 应使音叉频率比100Hz 小(或大)1～2Hz.
[2]要尽量选择P 较小而倔强系数k 又较大的弦线.