第三章 向量的线性相关性与矩阵的秩
3.1 设
α1=(111)T , α2=(1−10)T , α3=(01−1)T 。
2α1−2α2+3α3。
（1） 计算 −α1+2α2;
（2） 求满足方程的向量ξ： (ξ−α1) −3(α2+ξ) =3α3+2ξ 。 （3） 计算
α1T α2; T T T T T α1α2; a 2a 3a 1; a 2a 3a 1.
3.2 设n 阶矩阵 A =
(α1
α2
T
⎛1⎞⎜T ⎟⎜2⎟
L αn )=⎜⎟，α1, L , αn 和1T , L , L n T 分别称作
⎜M ⎟⎜T ⎟⎝n ⎠
矩阵A 的列向量组和行向量组，见（2.13）和（2.14）。利用 A I =I A =A ，证明： A εi =αi ;
其中
εi T A =αi T , i =1, L , n ，
εi 是单位向量组。
αi 的线性组合。
3.3 把向量β表示成向量组 （1） （2）
β=(1−10)T , α1=(110)T , α2=(101)T , α3=(011)T ；
β=(1211)T , α1=(1111)T , α2=(11−1−1)T ,
α3=(1−11−1)T , α4=(1−1−11)T ；
（3）
β=(0001)T , α1=(1101)T , α2=(2131)T ,
α3=(1100)T , α4=(01−1−1)T 。
3.4 判别下列向量组是否线性相关。 （1） （2） （3） （4）
α1=(123)T , α2=(−2−4−6)T ；
α1=(111)T , α2=(025)T , α3=(126)T ；
α1=(1−124)T , α2=(0310)T , α3=(3074)T ； α1=(4−526)T , α2=(2−213)T ,
α3=(6−339)T , α4=(4−156)T 。
3.5 求数k , l ，使得 （1） （2） （3）
α1=(451)T , α2=(302)T , α3=(k 109)T 线性相关；
α1=(2111)T , α2=(3−210)T , α3=(k −120)T 线性无关； α1=(123)T , α2=(k 00)T , α3=(0l 1)T 线性无关。
3.6 设
⎛2⎞⎛0⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟
k 1⎜1⎟+k 2⎜1⎟+k 3⎜−1⎟=θ， ⎜3⎟⎜2⎟⎜4⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠
证明 k 1=k 2=k 3=0。
3.7 下列命题是否正确？若正确，证明之；若不正确，举反例。
（1） 向量组α1, α2, L , αm (m ≥2) 线性无关的充分必要条件是任意两个向量线性无关。 （2） 向量组α1, α2, L , αm (m ≥2) 线性相关的充分必要条件是有某m −1个向量线性相关。 （3） 若向量组α1, α2, L , αm (m ≥2) 线性相关，则α1可由α2, L , αm 线性表示。 （4） 若有不全为零的数k 1, k 2, L , k m ，使得
k 1α1+L +k m αm +k 1β1+L +k m βm =θ，
则α1, L , αm 线性相关，β1, L , βm 也线性相关。 （5） 若向量组α1, α2线性相关，β1,
β2线性相关，则α1+β1, α2+β2线性相关。
（6） 若向量组α1, α2, α3线性无关，则 3.8 证明n 维向量组
α1, α1−α2, α1−α2−α3线性无关。
η1=(10L 0)T , η2=(11L 0)T , L , ηn =(11L 1)T 线性无关。
3.9 证明：对任意向量α1, α2, α3，向量组
α1+α2, α2+α3, α3+α13 线性相关。
3.10 设向量组α1, α2, α3, α4线性相关，但其中任何三个向量都线性无关。证明必存在一
组全不为零的数 k 1, k 2, k 3, k 4，使得
k 1α1+k 2α2+k 3α3+k 4α4=θ，
3.11 设
⎛1⎞⎛1⎞⎛1⎞⎛1+k ⎞
⎜⎟⎟⎜⎟⎜⎟⎜
α1=⎜1⎟, α2=⎜1+k ⎟, α3=⎜1⎟, β=⎜k ⎟，
⎜k 2⎟⎜1+k ⎟⎜1⎟⎜1⎟
⎝⎠⎠⎝⎠⎝⎠⎝
试问k 取何值时， β可由α1, α2, α3线性表示。
3.12 设向量组α1, α2, L , αm 线性无关，且β1,
β2均可由α1, α2, L , αm 线性表示。证明
α1, α2, L , αm k β1+β2线性无关，其中 k 是任意常数。
3.13 设向量组α1, α2, α3线性相关，α2, α3, α4线性无关。问 （1） （2）
α1能否由α2, α3线性表示？证明你的结论。 α4能否由α1, α2, α3线性表示？证明你的结论。
3.14 求下列向量组的秩及其一个极大线性无关组。 （1） （2）
α1=(110)T , α2=(020)T , α3=(003)T ； α1=(1−124)T , α2=(0312)T , α3=(30714)T , α4=(2156)T 。
3.15 证明一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组。 3.16 设向量组
α1=(1−124)T , α2=(0312)T , α3=(30714)T , α4=(1−120)T 。
（1） 证明α1, α2线性无关；
（2） 把α1, α2扩充成一个极大线性无关组。
3.17 已知向量组 A :α1, α2, L , αm 的秩为 r ， 证明向量组A 中任意r 个线性无关的向
量组都构成了一个极大线性无关组。
3.18 设α1, α2, L , αm 是一组n 维向量，已知单位向量组ε1, ε2, L , εm 可由其线性表示。
证明α1, α2, L , αm 线性无关。
3.19 设α1, α2, L , αm 是一组n 维向量。证明α1, α2, L , αm 线性无关的充分必要条件是任
一n 维向量都可被其线性表示。
3.20 已知向量组A 与向量组B 有相同的秩，且向量组A 可由向量组B 线性表示。证明向
量组A 与B 等价。
3.21 设向量组α1, α2, L , αs ；β1,
β2, L , βt 和α1, L , αs , β1, L , βt 的秩分别为
r 1, r 2, r 3 。证明 max (r 1, r 2) ≤r 3≤r 1+r 2
3.22 求下列矩阵的秩：
⎛11−1⎞⎛20314⎞
⎜⎟⎜⎟
（1） ⎜2−10⎟； （2）⎜3−5427⎟；
⎜101⎟⎜15201⎟⎝⎠⎝⎠
⎛1−1⎜
⎜2−2
（3）⎜
30⎜
⎜03⎝
21426−100
0⎞⎟0⎟； 1⎟⎟1⎟⎠
⎛a 1⎞
⎜⎟⎜a 2⎟
（4） C =⎜⎟(b 1, b 2, L , b n )，
M ⎜⎟⎜a ⎟⎝m ⎠
其中a i (i =1, 2, L , m ) 不全为零，b j (j =1, 2, L , n ) 不全为零。
3.23 设A =(a ij ) n ×n 为实系数矩阵，已知a ii >0, (i =1, 2, L , n ),
a ij
j =1
n
3.24 求(α1, α2, α3, α4, α5) 的秩，其中：
（1）α1=(1, −1, 2, 4) , α2=(0, 3, 1, 2) , α3=(3, 0, 7, 14) , α4=(1, −2, 2, 0) ,
T
T
T
T
α5=(2, 1, 5, 10) T ；
（2）α1=(1, 0, 1, 0, 1) , α2=(0, 1, −1, 1, 0) , α3=(−1, 0, 0, −1, 0) , α4=(0, −1, 0, 0, −1) , α5=(1, 0, 1, 1, 1) .
T
T
T T T
⎛k ⎜⎜1
3.25 （1）设矩阵A =⎜
1⎜⎜1⎝
1k 1111k 1
1⎞⎟1⎟
，且r (A ) =3，求常数k 的值； 1⎟⎟k ⎟⎠
⎛1a a L a ⎞
⎟⎜
L a a a 1⎟⎜
（2）设n 阶矩阵A =⎜a a 1L a ⎟，且r (A ) =n −1，求常数a 的值。
⎟⎜
⎜L L L L L ⎟⎜a a a L 1⎟
⎠⎝
3.26 试用矩阵的初等变换的方法判断下列向量组的线性相关性： （1）α1=(1, −2, 3) , α2=(0, 2, −5) , α3=(−1, 0, 2) ；
（2）α1=(2, 1, −1, −1) , α2=(0, 3, −2, 0) , α3=(2, 4, −3, −1) ； （3）α1=(2, 4, 1, 1, 0) , α2=(1, −2, 0, 1, 1) , α3=(1, 3, 1, 0, 1) . 3.27 设向量组α1=(1, 1, 1, 3) , α2=(−1, −3, 5, 1) , α3=(3, 2, −1, p +2) ,
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
α4=(−2, −6, 10, p ) T ,
（1）p 为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量α=(4, 1, 6, 10) 用
T
α1, α2, α3, α4线性表示；
（2）p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组。
⎧n ⎪
3.28 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *，证明r (A *)=⎨1
⎪0⎩
3.29 证明矩阵添加一列（或一行），则其秩或不变；或增加1。 3.30 设A 是n 阶矩阵，证明：
（1） 如果A =A ，则r (A ) +r (A −I ) =n ； （2） 如果A =I ，则r (A +I ) +r (A −I ) =n .
22
r (A ) =n r (A ) =n −1.
r (A )
3.31 设A 为秩是r 的m ×n 矩阵，证明：
（1）存在m 阶可逆矩阵P ，使P A的后m −r 行全为0； （2）存在n 阶可逆矩阵Q ，使A Q的后n −r 行全为0。
⎛A O ⎞
3.32 证明 r ⎜⎜O B ⎟⎟=r (A ) +r (B ) .
⎝⎠
3.33 设A =(a ij ) m ×n , B =(b ij ) k ×n , 证明max{r (A ), r (B )}≤r ⎜⎜B ⎟⎟≤r (A ) +r (B ) .
⎝⎠3.34 设A =(a ij ) s ×n , B =(b ij ) n ×m , 证明r (AB ) ≥r (A ) +r (B ) −n .
⎛A ⎞