离散数学作业5
离散数学图论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第15周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题
1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ．
2．设给定图G (如右由图所示) ，则图G 的点割集是 ．
3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则 G 的结点等于边数的两倍．
4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且 5．设G=是具有n 个结点的简单图，若在G 中每一对结点度数之和大于等于 n-1 ，则在G 中存在一条汉密尔顿路．
6．若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V 的每个非空子集S ，在G 中删除S 中的所有结点得到的连通分支数为W ，则S 中结点数|S|与W 满足的关系式为 W ≤|S| ．
7．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2) ，m 条边，当n 为奇数 时，K n 中存在欧拉回路．
8．结点数v 与边数e 满足-关系的无向连通图就是树． 9．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去
10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i
二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
1．如果图G 是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G 存在一条欧拉回路．．
错。缺了一个条件，图G 应该是连通图。如反例，图G 是一个有孤立结点的图。
2．如下图所示的图G 存在一条欧拉回路．
错。图中有奇数度结点，所以不存在欧拉回路。
3．如下图所示的图G 不是欧拉图而是汉密尔顿图．
G
对。因为图中结点a 、b 、d 、f 的度数都为奇数，所以不是欧拉图。 如果沿着(a,d,g,f,e,b,c,a)，这样除起点和终点是a 外，经过每个点一次且仅一次，所以存在一条汉密尔顿回路，是汉密尔顿图。
4．设G 是一个有7个结点16条边的连通图，则G 为平面图．
错。假设图G 是连通的平面图，根据定理，结点数为v ，边数为e ，应满足e ≤3v-6，但现在16≤3*7-6，显然不成立，所以假设错误。
5．设G 是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G 有7个面． 对。根据欧拉定理，有v-e+r=2，结点数v=11，边数e=6，代入公式求出面数r=7。
三、计算题
1．设G =，V ={ v 1，v 2，v 3，v 4，v 5}，E ={ (v 1, v 3) ，(v 2, v 3) ，(v 2, v 4) ，(v 3, v 4) ，(v 3, v 5) ，(v 4, v 5) }，试
(1) 给出G 的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．
v 1 ⎛00100⎫ ⎪
00110 ⎪
11011⎪
⎪ 01101⎪ 00110⎪
⎭ ⎝4 3
(3)1，2，4，3，2。
1
(4) v 2
ο v 5
2．图G = ，其中v 4 v ，对应边的权值依次为3 (c , e ), (c , d ), (d , e ) }2、1、2、3、6、1、4及5，试
（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵； （3）求出G 权最小的生成树及其权值．
a
⎛0110
1⎫
⎪
10011 ⎪
A = 10011⎪
⎪01101 ⎪
11110⎪⎝⎭
(3) a
b c
e d
权值 W(T)=1+1+2+3=7
3．已知带权图G 如右图所示．
(1) 求图G 的最小生成树； (2)计算该生成树的权值． (1)
(2) 权值(1+2+3+5+7)=18
4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．
63
31
1
17
1
7
5
5
2
四、证明题
3
权为 2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131
1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．
证明：设G =，=．则E '是由n 阶无向完全图K n 的边删去E 所得到的．所以对于任意结点u ∈V ，u 在G 和G 中的度数之和等于u 在K n 中的度数．由于n 是大于等于3的奇数，从而K n 的每个结点都是偶数度的（n -1 (≥2) 度），于是若u ∈V 在G 中是奇数度结点，则它在G 中也是奇数度结点．故图G 与它的补图G 中的奇数度结点个数相等．
2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加使其成为欧拉图．
k
条边才能2
证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数． 又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．
故最少要加
k
条边到图G 才能使其成为欧拉图． 2