第1教案 数学建模及竞赛知识介绍
目的要求:
1. 了解数学建模的基础知识、相关的基本概念；
2. 了解数学模型的特点和学习方法；
3. 掌握数学建模的具体过程和步骤，
教学重点及难点:
重点：了解数学建模的一般步骤和方法，体会如何用数学的语言和方法表述和解决实际问题。
难点：体会如何用数学的语言和方法表述和解决实际问题。
教学方法手段:
讲授法，案例教学法，多媒体
创新点:
应用和创新是数学建模的特点，也是素质教育的灵魂；不论用数学方法解决哪类实际问题，还是与其他学科想结合形成交叉学科，首先的和关键的一步是用数学的语言表述所研究的对象，即建立数学模型。在高科技，特别是计算机技术迅速发展的今天，计算和建模正成为数学科学技术转化的主要途径。
教学过程:
1．1 从现实对象到数学模型
本节先讨论原型和模型，特别是数学模型的关系，再介绍数学模型的意义。 原型和模型 原型（prototype ）和模型（model ）是一对对偶体。原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。在科技领域通常使用系统（system ）、过程（process ）等词汇，如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统，又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等。本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型。模型则是指为某个特定目的将原型的某一部分信息减缩、提炼而构成的原型替代物。
特别强调构造模型的目的性。模型不是原形原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次。一个原型，为了不同的目的可以有很多不同的模型，模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。例如： 展厅里的飞机模型：外形上逼真，但是不一定会飞；
航模竞赛的模型飞机： 具有良好的飞行性能，在外观上不必苛求；
飞机设计、试制过程中用大的数学模型和计算机模拟：要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特征，毫不涉及飞机的实体。
模型的分类
用模型替代原型的方式来分类，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型，后者包括思维模型、符号模型、数学模型。
直观模型 指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。这类模型的效果是一目了然的。
物理模型 主要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。 如风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性。这类模型应该注意验证原型与模型间的相似关系，以确定模拟实验结果的可靠性。物理模型的优点是常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点。
思维模型 指通过人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存于人脑中，
从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。通常说的某些领导者凭经验做决策就是如此。思维模型便于接受，也可以在一定条件下获的满意的结果，是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对它的假设条件进行检验，并且不便于人们的相互沟通。 符号模型 是在一些约束或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描绘原型。如地图、电路图、化学结构式等，具有简明、方便、目的性强及非量化等特点。 数学模型 是由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。
上面数学模型的概念还很模糊，我们下面仔细谈谈什么是数学模型。 数学模型 什么是数学模型
航行问题：甲乙两地相距750km ，船从甲到乙顺水航行需30h ，从乙到甲逆水航行需50h ，问船速，水速各若干？
用x ，y 分别代表船速和水速，则可以得到如下两个方程
（x+y）·30=750 ，（x-y ）·50=750
实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型。列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题。方程的解x=20km/h，y=5km/h，最终给出了航行问题的答案。 从上例中，我们可以看出建立数学模型的基本内容。
建立数学模型的基本内容：
1．据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设（上例中，假设航行中船速和水速为常数）；
2．用字母表示待求的未知量（上例中，x ，y 代表船速和水速）；
3．利用相应的物理或其它规律（上例中，匀速运动的距离等于速度乘以时间），列出数学式子（上例中，二元一次方程）；
4．求出数学上的解答（上例中，x=20，y=5）；
5．利用解答解释原问题（上例中，船速和水速分别为20km/h和5km/h）
6．最后利用实际现象来验证上述结果。
数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必须的简化假设，运用恰当的数学工具，等到的一个数学结构。 本课程重点不在于介绍现实对象的数学模型（mathematical model ）是什么样子, 而是要讨论建立数学模型（mathematical modelling）全过程。建立数学模型简称为数学建模或建模。
1．2 建模示例之一 椅子能在不平的地面上放稳吗
问题：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给以表述，并用数学工具来证实吗？
模型假设 对椅子和地面作一些必要的假设：
1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点，四脚的连线呈正方形.
2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面.
3．对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何
位置至少有三只脚同时着地.
模型构成 中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。 首先要用变量表示椅子的位置。注意到椅脚连线成正方形，以中心为对称点，正方形的中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。在
图1中椅脚连线为正方形abcd ，对角线ac 与x 轴重合，椅子绕中心点o 旋转角度? 后，正方形abcd 转至abcd 的位置，所以对角线ac 与x 轴的夹角? 表示了椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离, 那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量? 的函数。
虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了。记a,c 两脚与地面距离之和为f （? ），b,d 两脚与地面距离之和为g （? ）（f （? ），g （? ）?0）。有假设2，f 和g 是连续函数。又假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的? ，f （? ）和g （? ）中至少有一个为零。当?=0时不妨设g （? ）=0，f （? ）>0。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题：
已知f （? ）和g （? ）是? 的连续函数，对任意? ，f （? ）·g （? ）=0，且g （0）=0，f （0）>0。证明存在?0，使f （?0）=g（?0）=0.
模型求解 上述命题有多种证明方法，这里介绍其中比较简单，但是有些粗糙的一种。 将椅子旋转900，对角线ac 与bd 互换。由g （0）=0和f （0）>0可知g （?/2）>0和f （?/2）=0。
最后，因为f （?0）·g （?0）=0，所以f （?0）=g（?0）=0.
由于这个实际问题非常直观和简单，模型的解释和验证就略去了。
评注 这个模型的巧妙之处在与用一元变量? 表示椅子的位置，用? 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离，进而把模型假设和椅脚同时着地的结论用简
单、精确的数学语言表达出来，构成了这个实际问题的数学模型。
1．3 商人怎样安全过河
三名商人各带一个随从乘船过河，一只小船只能容纳两人，有他们自己划船。随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中，商人们怎样才能安全渡河呢？ 模型构成 记xk,yk 分别表示地k 次渡河前此岸的商人数和随从数，sk?(xk,yk)定义为状态，显然允许状态集为
s??(x,y)x?0,y?0,1,2,3;x?3,y?0,1,2,3;x?y?1,2?
uk,vk分别表示地k 次渡船上的商人数和随从数，dk?(uk,vk)为决策变量；允许 决策集为
d??(u,v)1?u?v?2;u,v?0,1,2?
状态转移方称
sk?1?sk?(?1)kdk
求解：
1．5 建立数学模型的方法和步骤
数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得的模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准则，使用与一切实际问题的数学建模方法。下面所谓的基本方法不是针对具体问题而是从方法论的意义上讲的。 数学建模的基本方法
一般说来建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理过现实意义。
1.2中的例子就是用的机理分析。测试分析将研究对象看作一个“黑箱”系统（意思是它的内部机理看不清楚），通过对系统输入，输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。
面对一个实际问题用哪一种方法建模，主要取决与人们对研究对象的了解程度和建设模的目的。如果掌握了一些内部机理的知识，模型也要求具有反映内在特征的物理意义，建模就应以机理分析为主。而如果对象的内部规律基本上不清楚，模型也不需要反映内部特性（例如仅用于对输出作预报），那么就可以用测篇二：数学建模竞赛和交叉学科建模竞赛简介 数学建模竞赛和交叉学科建模竞赛，始于1985年，其宗旨是鼓励大学生对范围并不固定的各种实际问题予以阐明、分析并提出解法。下届竞赛将于2011 年2月10—14日举行。 challenges teams of students to clarify,
analyze, and propose solutions to open-ended problems. the contest attracts diverse students and faculty advisors from over 500 institutions around the world. the mcm and icm contests are sponsored by:
竞赛主办单位：
美国运筹学与管理学研究协会（the institute for operations research and the management sciences）、工业与应用数学学会（the society for industrial and applied mathematics ）、美国数学协会（the mathematical association of america）、 美国国防部（department of defense analysis ）、美国海军研究生院（naval postgraduate school ）、美国国家安全局（national security agency）。
参赛资格：(满足以下要求的同学优先考虑)
1、曾参加过全国数模竞赛并获得奖励；
2、对数学建模竞赛具有极大的兴趣和热情，具有较好的数学基础、熟练的计算机编程能力、具备使用常用软件进行科学计算的能力；
3、具有较强的英文科技论文阅读和写作能力；
4、能全程参加集训和辅导，认真坚持。
培训安排：
1、培训内容：数学建模相关、模拟赛等；
2、培训时间：暂定2010年12月中下旬，2011年1月上中旬。
更多内容：
美国大学生数学建模竞赛（mcm/icm）是最著名的国际大学生竞赛之一，为现今各类数学建模竞赛之鼻祖。mcm/icm 着重强调研究问题、解决方案的原创性、团队合作、交流以及结果的合理性。竞赛以三个学生为一组，在四天时间内，就指定的问题完成从建立模型、求解、验证到论文撰写的全部工作。自1985年举办以来，已成为全球性知名度最高的大学校园学科竞赛之一。一年一度的竞赛每年都吸引大量著名高校参赛，遍及五大洲。
2010年的竞赛共吸引了来自中国、美国、德国、英国等国家或地区的高校、研究单位的两千多支队伍参赛，赛题涉及数学、物理、环保等多个领域的热点问题，竞赛要求三人为一组，在四天时间内，就指定的问题完成从建立模型、求解、验证到论文撰写的全部工作，既要求参赛学生具有扎实的数学基础知识与数学建模的能力，也要求学生具有较强运用英语撰写科技论文的能力。
2010年比赛的mcm 题目是棒球棒最佳击球点建模(a题) 和系列犯罪嫌疑犯的地理定位(b题) 篇三：美国大学生数学建模竞赛概况及备战建议
美国大学生数学建模竞赛概况及备战建议
[摘要]本文主要介绍美国大学生数学建模竞赛的发展、设奖、评奖以及最新的赛事动态，结合笔者的参赛经历，从检索文献、阅读技巧、英文写作、论文格式等多角度为今后准备该项赛事的中国选手提出可行性建议。
[关键词]美国大学生数学建模竞赛；概况；建议
1前言
2美国大学生数学建模竞赛概况
美赛通常在每年的2月举行。2013年美赛在美国东部时间1月31日20点至2月4日20点（北京时间2月1日9点至2月5日9点）进行。今年的赛题延续了美赛以往的风格，与之同时也出现了一些新的亮点，在mcm 的b 题表现得尤为明显。需要指出的是，b 题与2009年美国高中生数学建模竞赛（annual high school mathematical modeling contest ，himcm ）a 题的命题思路如出一辙，但题目的开放性及难度明显高于后者。b 题允许参赛选手从美国、中国、俄罗斯、埃及、沙特阿拉伯等五国中任选一国为其制订2013—2015年水资源战略计划，而2009年himcm 的b 题限定国家仅仅是美国。