降落伞的选择
戈亮峰，李昌富，胡 尚
（湖南城市学院）
摘要：本论文通过列出降落伞空投时的运动方程，分析其下降过程中的速度变化规律，
然后运用线性最小二乘法，利用概率论的正态分布函数求出空气的阻力系数 k 为 2.944 。然后根据降落伞在任意时刻的速度 v 是关于载重质量 m 的严格单调递增函数，以及降落伞在接近地面处达到 20 m/s 的最大允许速度 ，计算出各种不同半径大小的降落伞所对应的最大承载质量以及其空投单价。
无条件限制时，求解此题可以归结为一个线性规划问题。再运用Mathematica 4解出：
X 1 = 0 ；X 2 = 0 ；X 3 = 6 ；X 4 = 0 ；X 5 = 0。
即需要购买半径为 3 m 的降落伞 6 个，其总费用约为 4832 元，
当有条件限制时，则求解此题可以归结为一个整数类型的线性规划问题。运用Mathematica 4解出：
X 1 = 0 ；X 2 = 1 ；X 3 = 0 ；X 4 = 0 ；X 5 = 3 。
即需要购买半径为 2.5 m 的降落伞 1 个，半径为 4 m 的降落伞 3 个，总费用为 5282 元，从而使得空投费用最低。
1 问题重述（略） 2问题的分析
根据题意，每种降落伞的价格是可以计算出来的。要确定降落伞的购买方案，即选购降落伞共需多少个，每个降落伞的半径又应为多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。首先，根据表1中所给的半径 r 求出它的最大载重质量 M (r) ，要计算 M (r) 可运用动力学公式和微分方程解出阻力系数 k ，再求出 M (r) 。然后，从降落伞选购方案中运用线性规划选出最优组合模型，得出问题要求的结果。
3合理假设
1、忽略气温、压强对空气密度的影响及风向、高空气流对空投物降落（运动）过程的影响，即降落伞在下降的过程中只受重力和空气阻力的共同的作用。 2、假设空气密度均匀，即不随高度的变化而改变。
3、降落伞落地时的速度不超过 20 m/s 。
4、降落伞和绳索的质量问题可以绝对保证以及重量可以忽略。
5、假设在降落伞的整个下降过程中不会出现降落伞不能打开和绳索扭曲打结的现象。 6、救灾物资 2000kg 可以按照 100kg 或 200kg 任意分配组合。 7、空气的阻力系数 k 是定值，与外界因素无关。
8、M(r)表示半径为 r 的降落伞在满足空投的条件下最大的载重质量。
4变量声明
（1）k ：空气阻力系数。 （2）t ：降落伞下降时间。 （3）m ：降落伞的载重质量。 （4）g ：重力加速度（g =9.8m /s 2）。 （5）S ：降落伞的表面积。
（6）H(t)：降落伞从降落位置到任意时刻 t 下降的位移。 （7）Z ：最低空投费用。
（8）X n ：某种类型降落伞的个数。 （9）L ：每根绳子的长度（单位：m ）。
5模型的建立与求解
（一）、求解空气系数 k
根据题意：降落伞在下降过程中受到重力和空气阻力的共同作用并且初速度V （0）= 0
F 合mg -f 阻mg -kvS kvS a ====g -
m m m m
由简单的动力学公式及微分方程，得
dV (t ) kvS ⎧
=g -..............................................(1) ⎪a =
dt m ⎨
⎪⎩V (0)=0解得：V(t)=
mg mg ⋅e
-kS kS
-kSt
m
.....................................(2)
设降落伞从开始下降位置到 t 时刻所下降的位移 H(t) ，即有
H (t ) =
积分解得：
⎰
t
V (t ) dt ........................................(3)
-kSt 2
mgt m 2g m g m
H (t ) =+22⋅e -22.........................(4)
kS k S k S
我们进一步得到：
表3
由物理学知识：S =vt 可知，如果在相同的时间间隔内位移相等，则物体作匀速直线运
动，也就是说对于此题根据 图（4）的速度与时间的函数关系可知， 降落伞在 t = 9 s 的以后H(t)与t 近似呈线性变化，因此我们可以求出在 9 s 后的平均速度v 。求得 v = 17.667 m/s。又因为在此阶段加速度 a ≈0，我们利用 mg 根据公式
=kvS ，易得出k=2.944。
V (t ) =
mg mg ⋅e
-kS kS
-kSt
m
将r=3m，m=300kg，g =9.8m /s 2，S =2πr 2，k=2.944代入上式得
V (t ) =17.667(1-e -0.55465t )
我们运用Mathematica 4 做出上式的图形如下：
图（4）
由表3的数据显示在 t = 9 s 以后，在相等的时间间隔内 ΔH 趋于定值 53，即空投物近似作匀速直线运动。
设 H (t ) =Vt +c +θ , 其中θ服从正态分布。
X=[9 12 15 18 21 24 27 30]
H=[128 183 236 285 340 392 445 499] 调用 Matlab 命令 p =polyfit (X , H ,1) ； p=[17.5794 -29.2976]; 所以，V=17.6667(m/s)， 空气阻力系数k=2.944。
（二）、第二步求解当半径为 r 时，伞在满足空投的条件下的最大载重质量 M(r) 由
V(m)=
mg mg ⋅e
-kS kS
-kSt
m
可知： V(m) 是关于 m 的增函数（证明见附录一）。
因为 V(m) 的反函数为 m(V)，由原函数与反函数单调性一致的性质可知，m(V)是关于速度V 的递增函数。因此，在所取半径为r 的伞在满足空投的条件下最大的载重质量 M(r) 就是在速度 V 取最大值时取得。即 V = 20 m/s ，则 M(r) 由以下方程组求出
-kSt
⎧m ⎪V (t ) =mg -mg ⋅e ⎪kS kS ⎨ -kSt 22⎪mgt m g m g m
H (t ) =+⋅e -⎪
kS k 2S 2k 2S 2⎩
由方程组导出（推导过程见附录二）：
kSv mv 22
H =-m g ⨯ln(1-) /(k S ) -...........(5)
mg kS
2
由题中所给 H = 500 m , v = 20 m/s , k = 2.944 代入（5）式，得
2
2.9513⨯S ⨯20
-m g ⨯ln(1-) /(2.95132⨯S 2)
mg
20m -=500.......................................(6)2.9513S
4
又
S =2πr 2，分别代入表 1 中的半径 r = 2 , r = 2.5 ， r = 3 ， r = 3.5 ， r =
然后利用 Mathematica 4 解得半径为 r 的伞在满足空投的条件下最大的载重质量 M(r) （详细过程见附录三）数值如下：
（三）、计算每种伞的单价如下：单位 /元
（四）、从上表可得出每种伞的单价与其对应的最大的载重质量 M(r) ，接下来就是一个线性规划问题。
设X n n=(1，2，3，4，5) 为各种半径的降落伞的个数，则有： Z=Min {446X 1+596.3X 2+821.5X 3+1176.8X 4+1562X 5}
⎧151X 1+236X 2+340X 3+462X 4+604X 5≥2000⎪
⎪X 1，X 2，X 3，X 4，X 5∈正整数⎪X 1≤20⎪
⎨X 2≤10s.t. ⎪
X ≤7⎪3
⎪X 4≤5⎪⎪⎩X 5≤4...............................................................(6)
由Mathematica 4解得：X 1=0，X 2=0，X 3=6，X 4=0，X 5=0
此时可以按照333×4+334×2的方式分配，其最低费用为：4832.35元。
当救灾物资以每袋100kg 或200kg 等包装空投(每降落伞可多包捆扎空投，但不可将一包分开) 时，
另设： X n n=(1，2，3，4，5) 为各种半径的降落伞的个数，则有： Z=Min{ 446X 1+596.3X 2+821.5X 3+1176.8X 4+1562X 5}
⎧100X 1+200X 2+300X 3+400X 4+600X 5≥2000⎪
⎪X 1，X 2，X 3，X 4，X 5∈正整数⎪X 1≤20⎪
s.t. ⎨X 2≤10
⎪X ≤7⎪3
⎪X 4≤5⎪⎪⎩X 5≤4...............................................................(6)因为X 1，X 2，X 3，X 4，X 都5属于整数，结合Mathematica 4算出的解得出：
X 1=0，X 2=1，X 3=0，X 4=0，X 5=3
此时可以按照600×3+200×1的方式分配，其最低费用为：5282.3元
6 模型检验（略） 7模型优缺点分析（略） 8模型的评价及推广（略） 参考文献：
[1] 同济大学数学教研室 高等数学（第四版上、下册） 北京 高等教育出版社 1993 [2] 邓明成 新编大学物理学（第二版） 北京 科学出版社 1995
[3] 秦裕瑗、秦明复 运筹学简明教程 武汉 高等教育出版社 施普林格出版社
2000.8
[4] 盛骤 概率论与数理统计（第三版） 浙江 高等教育出版社 2000
[5] 降落伞的选择 http://member.21maths.com/showdetail.asp?did=905 2004年5月3日