在非線性介質中的光傳播行為
文／石明豐
一、簡介
1834年時，一位蘇格蘭科學家John S. Russell[1]沿著一條窄而淺的運河旁騎馬，他發現了如下景象，當一艘小船突然停下後，原本在船艏前方被推動的水因慣性的關係繼續向前進，奇特的是，在這單一“突起的水”的前方和後方，運河的水面是非常平靜而沒有任何波動，他好奇地騎馬跟隨這單一“突起的水”走了好幾哩後，發現這“突起的水”的形狀、大小仍不見有任何改變，Russell 於是在他的筆記本記下了他觀察到這樣一個“孤立升起”(solitary elevation)的水波現象。50年後，兩位荷蘭科學家Korteweg 和de Vries 發現要觀察上述“孤立升起”的水波現象，這升起水面的振幅必須非常的大，如果這升起水面的振幅不夠大時，就只能引起一般的水波，而且在傳播不久後就會消散。他們了解到，這表示著大的振幅和小的振幅會使水波有不同的行為，也可以說水--這個傳播水波的介質--對水波振幅的反應是非線性的。
現在回到我們的主題--光在非線性材料中傳播的行為，雖然我們在大學時學電磁學及電磁波的時候，教科書總會在例題或習題中假設，電磁波傳播的介質是線性的，意即不管電磁波的振輻大小，
折射率(介電係數和介磁係數的函數)總是不會改變，這樣在解題時，線性的微分方程式是比較容易
解的，然而介電係數代表的是電場(E)和極化強度(P)之間的比例關係，如同彈簧的虎克定律一樣，當外力大到某一個程度時，彈簧的形變量和外力就不再是成正比，相同地，當電場強度大到某一個程度時，極化強度和電場就不再是正比關係，如此介電係數在電磁波的電場振幅較大時，和電場振幅較小時的值必然不同，這就表示這個傳播電磁波的介質對電磁波振幅的反應是非線性的，換句話說，折射率將會是電磁波振幅的一個函數。在光學上，我們也可以說，折射率不是一個定值而是一個光強度的函數。但如此一來，要解一個電磁波或光波在介質中的行為就變得複雜的多了，而且在不同材料中，折射率和電場關係也不儘相同，所以我們無法找到一個電磁波或光波在非線性材料中傳播的通解，甚至在很多的情況下，找不到解析解。
和折射率受到光強影響而改變的物理現象有許多種，如相位共軛光 (如圖一)，當Signal 和Pump 1入射到非線性材料時，因為干涉的原因而產生週期性的亮暗條紋，並因此在非線性材料中產生週期性的折射率的變化，這週期性折射率變化就 如同光柵一般，另一道光Pump 2入射後受到這個光柵的影響會以如圖1中PC光的方向繞射出去，相同的Signal 和Pump 2所產生的光柵也會使Pump 1以PC的方向繞射出去，這道以PC方向繞射出去的光其相位和Signal光在空間中的相位會
圖一：相位共軛光的形成示意圖。
互為共軛複數，故我們稱PC為Signal的相位共軛光(Phase Conjugation)。此外，二光混合的作用原理也類似，Signal 和 Pump 1 因干涉所產生的光柵使得Pump 1繞射到Signal 的路徑而加強Signal的強度，(反過來亦可能發生，端視所產生的光柵和Signal 與 Pump 1所生干涉條紋之間的位置關係)。
二、自聚焦效應、空間光孤子和光調變不穩定性
因筆者主要的研究方向是非線性介質中光傳播的行為，所以以下我會在這方面作較多的介紹。如前所述，要詳細了解光波在非線性材料中的傳播行為的微分方程式是一個非線性方程式，並不容易去解，目前有許多專門的方法(如Inverse Scattering Method)[6]是設計來解決這樣的問題，但在這裏我們只從原理上定性地來看這樣的現象，並且只須知道兩個原則：(一)海更斯原理告訴我們，波的傳播是垂直於波前的；(二)光波前進的速度是反比於折射率的；就可以討論光波在非線性介質中傳播的行為。
關於這方面的研究大約起始於1960年代中期，其中最早開始的研究是R. Chiao[2]所建議的一道光束應該可以完全避免繞射，而在介質中形成
圖二：光的繞射，自聚焦，和光孤子等現象，其光強度分布和相位波前的關係示意圖。
我們現在所稱的“空間光孤子”的現象(optical spatial soliton)。光束在自由空間傳播時，因為其波的特性，會自然的繞射(diffraction)，若由海更斯原理來解釋，我們可以知道，這道光束的波前一定是中間部分凸出，而造成光束的能量由中間部分向旁邊擴散開來。若要這道光束不產生繞射的話，光的波前必須作適當的處理，因此這項“光孤子”現象的想法(如圖二)能夠成立的前提是光傳 播介質對光強的反應必須是非線性的且光越強的地方折射率越大(稱為自聚焦self-focusing材料，反之，光越強的地方折射率越小為自散焦self-defocusing材料)；因為在光束中心光較強的部分可以導致較大的折射係數，折射率較大的部分光波前進的速度較慢，而改變了光波的波前，如果有“適當”的光強分佈，波前是可以被調變成一平面，因為海更斯原理，波的傳播是垂直於波前的，如此這光孤子的光束在傳播時，就可完全的消除繞射，但是當光強分佈和光束大小不適當時，這
光束就會繞射或自聚焦，而空間光孤子的形成其實就是依靠自聚焦和繞射的完全平衡，這種光孤子又稱為亮孤子(bright soliton)。另外還有一種稱為暗孤子(dark soliton)的現象，和剛才所敘述的亮孤子完全相反，其所存在的非線性材料必須為自散焦類型的，而其光強分布恰和亮孤子相反，中間暗，旁邊亮，其傳播行為比亮孤子更為複雜，我們在此就不多作介紹。
再回到亮孤子的介紹，在1965年時，Kelley卻提出二維的亮孤子(像是一根針而不繞射的光束)是不穩定的[3]，因為在當時，唯一已知可以產生自聚焦現象的介質都是Kerr介質，其折射係數的變化正比於光的強度，當自聚焦現象發生時，光的強度會因聚焦而增加，並進一步的提高折射係數，產生更強的自聚焦現象，然而繞射的平衡作用卻不能以同一速率來增加，而使得光束不斷的縮小，直到光束的強度過高把介質破壞為止，稱為“災難性自聚焦”(catastrophic self-focusing)，也因如此，在此問題解決之前，並沒有任何實驗可觀察到穩定的二維空間光孤子。附帶一提的是，在此之後，於1970年代，Hasegawa[4]等提出在光纖中的時間光孤子，並且由Mollenauer[5]等首先觀察到，時間光孤子在80年代遂成為光孤子的研究主流，許多有關時間光孤子的研究已經成熟並且已進入實用階段。
另一個和空間光孤子類似的光傳播行為就是
全的平衡，而光調變不穩定性則不須要，光調變不穩定性可以從平面波開始。以下我們來看看，光調變不穩定性如何生成，如圖三，假設有一同調的平
圖三：光調變不穩定性圖案生成的示意圖。 面光(coherent plane wave)入射到非線性自聚焦材料，因任何的光無論如何都會帶有雜訊(這雜訊可能來自光源的自發輻射spontaneous emission，光在空間行進時受到空氣中微粒的影響而造成，或者是光在介質中傳播時，受到介質中缺陷的影響)，那麼光在進入自聚焦材料時，就會產生有的地方較亮，有的地方較暗的情形，雖然這亮暗的差別非常非常的小，但在進入自聚焦材料後，仍然會造成亮的地方折射率稍微大一點點，暗的地方折射率小一點點，如同我們在電磁學或光學學到的，光在前進時，會往折射率高的地方靠過去(就像波導，光纖內的全反射一樣)，如此光在行進時，較亮的地方因其折射率高的緣故，
會吸引旁邊較暗
光調變不穩定性(modulation instability)[6]，它所須要的條件和亮孤子的條件一樣，就是介質必須是自聚焦類型的，不同的是，光孤子在入射到非線性光學材料之前，我們必須將其光束大小依其光的強度作一個調整，使得自聚焦和繞射之間可以完
部分的光過來，如此一來，會造成亮的地方更亮，折射率變化更大，而能吸引更多的光，所以一開始即使只有很小的光強度的不同，在傳播一段距離後，光強的分佈就會有很大的不同，而能形成圖案，這樣的現象就稱為調變不穩定性。
三、最近十年的研究進展
二維的空間光孤子無法被觀察到的情形一直
續Ashotovich[10]的想法提出以線性波導的方法做為研究非線性光孤子的方法，他是以前後一致性(self-consistent)的方式為邏輯，假設一道光束入射非線性物質，經由光和物質的非線性作用，它可以產生一光波導，而如果這光束是它所引致光波導的一個模(mode)，那麼這光束將受到它引致光波導的限制而以同樣的波形繼續向前傳播，因為一個波導的模在傳播中是不會改變形狀及大小，因此它所形成的光波導的形狀也會保持固定，而繼續使得光孤子的光束向前傳播而不繞射，如此空間光孤子就可穩定傳播。Snyder的方法可以應用於一維或者是二維的光孤子，且可以延申做為研究光孤子的穩定性和交互作用的研究工具。
空間光孤子及光調變不穩定性等研究的發展在1995年後，由於找到了上述三種合適的非線性光學材料，且由於觀念上的突破，而有了重大的進步，在這裏筆者選取下列幾個重點的研究方向做介紹：
(1) 二維光孤子在三維空間的交互作用
在1991年，Mitchell[11]提出兩個靠的很近而前進方向互相歪斜的空間光孤子會因為“交互作用力”(有關這作用力的解釋請參照[12]，這裏我們可以如此簡單解釋，每個光孤子建立了一個折射係數的勢井，而另一個光孤子受到該勢井的影響而會被吸引)的關係互相環繞，以DNA的形式繼續向前傳播。筆者於1995年時正在進行同一平面上光折射空間光孤子互相碰撞和交互作用的實驗，受到此研究的啟示，了解到光折射空間光孤子將是最好的工具，可以作為詴圖觀察Mitchell所描述的光孤子環繞現象，於是展開藉由交互作用而相互環繞的空間光孤子對的研究[13](另有一關於相互環
持續到90年代初，直到某些可飽合(saturable)非線性介質被人發現可以用來支持二維的空間光孤子 ( 早在1969年, Daws和Marburger已經以理論證明可飽合非線性介質可以抵消“災難性自聚焦”而導致穩定的二維空間光孤子，此乃因為其折射係數的最大變化量會飽合而無法超過某個極限值，使得自聚焦作用有一個煞車的機制)。這些包括
χ(2)
二階型光孤子[7](quadratic
solitons)，在可飽合非線性原子蒸氣中的光孤子[8](solitons in saturable nonlinear atomic vapor)，和光折變空間光孤子[9] (photorefractive optical spatial solitons)。 其中，χ(2)二階型光孤子的發生是在非線性晶體中產生二階頻(second harmonic generation)時，基頻(fundamental frequency)和二階頻互相調制相位，而使得繞射作用消失；而在可飽合非線性原子蒸氣中的光孤子，則是光的頻率非常接近原子的躍遷能量，而引致非常大的非線性折射率變化，進而調制光孤子光束的波前相位；光折變空間光孤子則是首先由Segev於1992年提出，它們是由光折變所產生的自聚焦效應來平衡繞射現象進而支持空間光孤子。
大約在同一時候，澳大利亞科學家Snyder繼
繞空間光孤子的研究，描述的是由一“光旋”[14](optical vortex)分裂為兩個互相旋轉的空間光孤子，它們互相旋轉是因為“光旋”本身已帶有角動量)。在這個實驗中, 兩個相互不同調(mutually incoherent)的二維光折變空間光孤子在入射時的起始軌跡是相互歪斜的，它們之間的交互作用是由它們之間的距離及所建立的折射係數勢井來決定。當它們的軌跡距離相對遙遠時，這兩個光孤子因吸引力不足，而互相遠離。然而，當它們的軌跡相距適當時，它們之間的吸引力剛好能夠平衡互相環繞所需的離心力時，它們就互相環繞(如圖四)。當它們的軌跡相距太近而使吸引力太大時，它們之間的吸引力就使它們融合在一起。如果能使這兩個光孤子不受外界影響的話，以上實驗暗示著在光孤子的交互作用系統中，總角動量是守恆的，以上的論述，已在理論及數值模擬中獲得証實[15]。
(2) 部分非同調 (partially incoherent)空間光
孤子
在1996以前，所有的空間光孤子的光源都是屬於同調 (coherent)的，也就是說，知道光孤子一點的相位， 我們都可以知道光孤子任何其它一點的相位，此外要觀察到光孤子，因其光源為同調光源，所以就必須在實驗上使用雷射光源，但在1996年時，非同調光也可以用來作光孤子首度被提出[16]， 部分非同調空間光孤子之所以引起注意是因為它們有豐富的統計光學性質，從第一個部分非同調空間光孤子被發現到目前已有“白光光孤子”[17](white light soliton)，“部分非同調性空間暗光孤子”[18](partially incoherent dark soliton)，及相關的理論和這些光孤子的交互作用的分析和數值模擬被發表，這些研究除了致力了解部分非同調空間光孤子的交互作用的動態學外，並研究部分非同調空間光孤子的交互作用會對空間光孤子的同調性(即光的統計性質)有何影響。
(3) 光孤子計算(computation with solitons)
1998年，Princeton University的計算機科學家Steiglitz等[19]首先提出了以空間光孤子，可以作為計算的媒介，他的做法是將許多個空間光孤子以不同的角度入射到非線性光學介質中，經由光孤子的交互作用後，在非線性光學介質的出射面，光孤子的排列和能量的分佈會是入射光孤子的排列和能量分佈的函數，這樣的對應的關係可以看做是一個計算(computation)的結果。Steiglitz等的貢獻是提出了這樣的觀念，並且設
圖四：(上)兩個光孤子在空間中互相環繞的示意圖(下)實驗時，在(a)、(b)、(c)三個斷面所觀察到的兩個光孤子。
計了一個演算法實現這樣一個光孤子計算。至於在實驗驗証方面，一個最近被觀察到的實驗結果[20]已為這個光孤子計算演算法打下了基礎，該實驗的
做法是以兩個向量光孤子(向量光孤子，Vector Solitons 是由Manakov於1974年提出[21]，光孤子可以由兩個成分以向量和的方式來組成，例如：兩個垂直極化方向的光以向量和的方式來組成向量光孤子)做碰撞，而這兩個光孤子在非線性交互作用下，能量能由一個向量光孤子傳遞到另一個光孤子，該演算法就是以這樣的能量傳遞來做為計算的媒介。
(4) 非同調光的調變不穩定性
雖然光調變不穩定性的研究始於1960年代，但是在2000年時，Segev等[22]提出，既然非同調光可以作為光孤子的光源，那麼也應該可以用非同調光來觀察光調變不穩定性，而且，因為非同調光的繞射角度較大，(註：同調性越差，繞射的角度越大)，所以要觀察到週期一樣的光調變不穩定性條紋所須要的自聚焦非線性的強度就必須越大(即同樣的光強度，可以得到較大的折射率變化)。他們以理論和實驗證實這樣的想法，還發現新的臨界現象，也就是說，在某個固定自聚焦非線性強度，當光的同調性較小時，並不會有光調變不穩定性的圖案條紋發生，而在光的同調性大於某個值時，光調變不穩定性的圖案條紋會突然出現，而且這個臨界值還跟自聚焦非線性的強度有關。除此之外，這項研究也預測了具有相吸碰撞力(attractive collision force) 的原子氣(atomic gas) 在溫度略高於波色-愛因斯坦凝聚態(Bose-Einstein condensation)臨界溫度時，調變不穩定性也可能會發生，因為：(1)原子氣的原子間具有相吸碰撞力時，描述波色-愛因斯坦凝聚態物質波的薛丁格方程式(Gross-Pitaevski equation[23])，和在自聚焦非線性材料中的電磁
波的波方程式有一模一樣的形式，其波函數的解也應該相同。(2) 波色-愛因斯坦凝聚態的亮孤子和暗孤子，也已被觀察報導，而不管在非線性光學中或其他非線性系統中，孤子和調變不穩定性的形成原因是非常接近的，唯一的差別在於初始條件，既然波色-愛因斯坦凝聚態孤子的現象已被發現，那麼調變不穩定性也應該可以被觀察到。(3)在略高於波色-愛因斯坦凝聚態的臨界溫度時，原子氣的組成原子的波函數為基態(ground state) 和激發態的疊加，和部分非同調光類似。
四、結語
空間光孤子和光調變不穩定性在60年代被提出後，因為未發現適合的非線性光學材料的關係，而使得其在70至80年代時的進展減緩了一陣子，但是這個領域在90年代因為新材料及新現象的發現而又有了非常快速的進步，雖然這裏我們主要介紹的是光在非線性材料中傳播的行為，但是在許多其他的非線性系統中，如水面波(water surface wave)[24], 電漿中的離子聲波(ion-acoustic waves in plasma), 鐵磁性薄膜中傳遞的自旋微波(microwave spin waves in ferrite films)等[25,26]，或具有相吸碰撞力的波色-愛因斯坦凝聚態系統，也都觀察到了孤子或調變不穩定性的現象，也許不久的將來，我們也可以在這些系統裏觀察到類似本文所介紹的光在非線性材料中傳播的行為和現象，也可以在這些系統上出現。
參考資料：
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作者簡介
石明豐出生於花蓮縣鳳林鎮，歷經鳳林國小、鳳林國中、花蓮高中，於1991年畢業於交通大學。1994年進入普林斯頓大學，1998年取得博士學位後，受聘於台大物理系，並於2001年升等副教授。 Email:mfshih@phys.ntu.edu.tw