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高考数学母题
[母题]Ⅰ(6-07):角的范围(123) 365
角的范围
年全国高考试题)已知集合E={θ│cosθ
0≤θ≤2π},F={θ│tanθ
( )
⇔[解析]:如图,则cosθ
[点评]:利用三角函数线可解简单的三角不等式,并可得:①sinx-cosx>0⇔2kπ+
ππ5π3π0⇔2kπ- 4444
π3π3π7π
4444
1⎧cosπx,x∈[0,]⎪2,则不等式f(x-1)≤1的年辽宁高考试题)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=⎪⎨12⎪2x-1,x∈(,+∞)⎪2⎩
解集为( ) (A)[[**************]3,]∪[,] (B)[-,-]∪[,] (C)[,]∪[,] (D)[-,-]∪[,] [***********]113⇔f(|x-1|)≤;①当|x-1|≤,即x∈[,]时, 22222[解析]:因f(x)为偶函数,所以,f(x-1)≤
cos(π|x-1|)≤
∪(π5π1124311≤π|x-1|≤⇔⇔x∈[,]∪[,];②当|x-1|>,即x∈(-∞) [***********]7,+∞)时,2|x-1|-1≤⇔x∈[,)∪(,],综上,x∈
[,]∪[,].故选(A). 2242244334 注:利用三角函数线解简单的三角不等式,首先要求出三角函数线上两终边对应的角,由此写出不等式的解集. 年全国高中数学联赛试题)设sinα>0,cosα
(A)(2kπ+ππ2kππ2kππ,2kπ+),k∈Z (B)(+,+),k∈Z 6336335πππ5π,2kπ+π),k∈Z (D)(2kπ+,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+π),k∈Z 6436ααα>cos,则的取值范围是( ) 333(C)(2kπ+
[解析]:由sinα>0,cosα
>cosαα在如图所示的第Ⅱ部分;又由sin 33ααππ5π⇔∈(2kπ+,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ
+π),k∈Z.
故选
(D).
33436
注:由母题结论是热点问题,常与等式±sin2x=±(sinx±cosx)成立的条件结合.
年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若e|sinθ|-ln|cosθ|>e|cosθ|-ln|sinθ|,且θ∈(0,2π),则角 θ的取值范围是 .
366 [母题]Ⅰ(6-07):角的范围(123)
[解析]:由e|sinθ|-ln|cosθ|>e|cosθ|-ln|sinθ|⇔e|sinθ|+ln|sinθ|>e|cosθ|+ln|cosθ|,
设f(x)=ex+lnx,则f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(|sinθ|)>f(|cosθ|)⇔|sinθ|>
|cosθ|>0⇔θ∈(πππ3π5π3π3π7π,)∪(,)∪(,)∪(,). 42444224
注:母题结论与函数的单调性结合是母题生成的又一类问题,解题的关键是构造单调函数.
1.(2004年浙江高考试题)在ΔABC中,“A>300”是“sinA>1”的( ) 2
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
2.(2013年重庆高考试题)设0≤α≤π,不等式8x-(8sinα)x+cos2α≥0对x∈R恒成立,则α的取值范围为 .
3.(2002年全国高考试题)在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x取值范围为( )
(A)(ππ5πππ5ππ5π3π,)∪(π,) (B)(,π) (C)(,) (D)(,π)∪(,) 4244444422
4.(1998年全国高考试题)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π)内α的取值是( )
(A)(π3ππππ3πππ5π5π5π3π3π,)∪(π,) (B)(,)∪(π,) (C)(,)∪(,) (D)(,)∪(,π) [1**********]24
5.(2005年全国Ⅲ高考试题)设0≤x
(A)0≤x≤π (B)πππ7π5π3π≤x≤ (C)≤x≤ (D)≤x≤ 442442
6.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)已知-2sinαcosα=cosα-sinα则α的取值范围是( )
(A)[2kπ+π5π3ππππππ,2kπ+] (B)[2kπ-,2kπ+] (C)[2kπ-,2kπ+] (D)[2kπ-,2kπ+] 44444422
7.(2008年清华大学自主招生数学试题)已知sinθ+cosθ=+sin2θ,求θ的取值范围.
8.(1984年全国高考试题)如果θ是第二象限角,且满足cosθθθ-sin=-sinθ,那么( ) 222
(A)是第一象限角 (B)是第三象限角 (C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角 (D)是第二象限角
9.(2006年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知θ是第三象限的角,且sinθθθ
10.(1996年全国高考试题)若sin2x>cos2x,则x的取值范围是 .
11.(2008年四川高考试题)设0≤αcosα,则α的取值范围是( ) (A)(ππππ4ππ3π,) (B)(,π) (C)(,) (D)(,) 3233332
12.(2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛高一试题)已知tanα>1,且sinα+cosα
(A)cosα>0 (B)cosα
13.(2011年全国高中数学联赛试题)如果cos5θ-sin5θ
1.解:由A∈(00,1800),所以sinA>π5π11100⇔30
π3π,2kπ+],k∈Z. 443.解:故选(C). 4.解:故选(B). 5.解:故选(C). 6.解:故选(B). 7.解:θ∈[2kπ-
8.解:故选(B). 9.解:π3π3π7ππ3πθ∈(2kπ+,2kπ+)∪(,). 10.{x|kπ+
π5π,). 4411.解:由sinα>3cosα⇔y>3x.故选(C). 12.解:由cosα
故选(B). 13.解:(