抽 屉 原 理
一、教学内容：
专题——抽屉原理，课本68-72
二、教学目的和目标。
目的：
开拓同学们的视野，理解数学问题并不全都是由数量和数量关系组成，解决问题有时却不用算术和几何知识，而是用推理的知识来解答，从而提高同学们解决数学问题的能力和兴趣。
目标：
1.使学生学会使用抽屉原理创造性地解决实际问题。
2.培养学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
三、重点、难点：
重点：
抽屉原理的理解和应用。
难点：
在抽屉原理的应用中如何制造抽屉。
四、课前准备：将学生分成4小组，每组两个纸盒，3个苹果，5块手帕。
五、教学过程：
引入
教师：在一些公共场所或旅游景点，同学们见过电脑算命吗？“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月、日和性别，一按按键，屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”。通过今天的学习，同学们掌握了“抽屉原理”之后，你不难证明这种“电脑算命”是非常可笑和荒唐的，是不能相信的鬼把戏。（板书课题）
教师：通过学习，你想解决哪些问题？
通过学生回答后，教师把学生提出的问题归结为：（板书）
抽屉原理是怎样的？这里的“抽屉”是指什么？ 抽屉原理能解决哪些问题？
怎样应用抽屉原理解决实际问题？
认识抽屉原理
1、出示三个例子。
A、3个苹果放到2个抽屉里，那么一定有1个
抽屉里至少有2个苹果。
B、5块手帕分给4个小朋友，那么一定有1个
小朋友至少拿了2块手帕。
C、6只鸽子飞进5个鸽笼，那么一定有一个鸽
笼至少飞进2只鸽子。
学生读一读上面三个例子，想一想并说一说这三个例子中各说了一件怎样的事？
教师指出：以上三个问题，同学们不难看出其中的道理，但要完全清楚地说明白，就需给出证明。下面以第一个问题为例，随老师一起用两种方法进行证明。
2、 证明上例A。
列举法证明。
教师带领学生以小组为单位边操作边填表：
根据上表中操作的结果，让学生回答说明下面的问
题：（教师提问，学生个别回答。）
把3只苹果放在2只纸盒（抽屉）里共有几种不同的放法？（3个苹果放在2只抽屉里，共有4种不同的放法。）
第①、②两种放法在第几只抽屉里，至少有几只苹果？（第①、②两种放法在第1只抽屉里，至少有几只苹果。）
第③、④两种放法在第几只抽屉里，至少有几只苹果？（第③、④两种放法在第2只抽屉里，至少有2只苹果。）
这样你可以证明什么？（可以肯定地说，3个苹果放到2个抽屉里，那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。）
反证法证明。
教师指出：
如果命题的结论不成立，这就是说，每个抽屉里至多放一只苹果。那么，2只抽屉里至多共有2只苹果。而已知有3只苹果放在2个抽屉里，这样与假设相矛盾。这样，命题便得到证明。
3、 证明上例B。
让学生在组内讨论，用上面的列举法证明例B。分工（谁主持讨论、谁分手绢、谁当“抽屉”、谁记录等）合作完成。各组选派一人在全班交流汇报。
4、 证明上例C。
让学生用反证法在组内讨论证明，各组派一人汇报。
5、 揭示规律
提问：
上面所证明的三个例子有什么共同的特点？（引导学生填表后回答。）
学生：上面三个例子的共同特点是：物体个数比抽屉个数多一个，那么有一个抽屉至少有2个这样的物体。
教师指出：上面我们所证明的数学原理就是抽屉原理。（板书下面原理1）
原理1 ：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
再看下面的两个例子。（师生共同讨论解答）
（1）把30个苹果放到6个抽屉中,问:是否存在这样一种放法(使每个抽屉中的苹果数都小于等于5)。
（2）把30个以上的苹果放到6个抽屉中,问:是否存在这样一种放法(使每个抽屉中的苹果数都小于等于5)。 解答:（1）存在这样的放法。即:每个抽屉中都放5个苹果。
（2）不存在这样的放法。即:无论怎么放,都会找到一个抽屉,它里面至少有6个苹果.
从上述两例中我们还可以得到如下规律:（板书） 原理2 ：把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。
让学生想一想“原理1”和“原理2”的区别在什么地方。（使学生认识“原理1”和“原理2”的区别是：原理1物体多，抽屉少，数量比较接近；原理2虽然也是物体多，抽屉少，但是数量相差较大，物体个数比抽屉个数的几倍还多几。）
7、 基础训练。
（1）三只鸽子飞进了两个鸟巢，，则总有一个鸟巢中至少有（ ）只鸽子；（答案：2）
（2）把三本书放进两个书架，则总有一个书架上至少放着（ ）本书；（答案：2）
（3）把三封信投进两个邮筒，则总有一个邮筒投进了不止（ ）封信。（答案：1）
（4）1000只鸽子飞进50个巢，无论怎么飞，我们一定能找到一个含鸽子最多的巢，它里面至少含有（ ）只鸽子。（答案：1000÷50=20，所以答案为20。 ）
（5）从8个抽屉中拿出17个苹果，无论怎么拿。我们一定能找到一个拿苹果最多的抽屉，从它里面至少拿出了（ ）个苹果。（答案：17÷8=2„„1，2+1=3，所以答案为3。）
（6）从（ ）个抽屉中（填最大数）拿出25个苹果，才能保证一定能找到一个抽屉，从它当中至少拿了7个苹果。（答案：25÷□=6„„□，可见除数为4，余数为1，抽屉数为4，所以答案为4。）
教师指出：抽屉原理又称为鸟巢原理、书架原理或邮筒原理。如上面（1）、（2）、（3）题，讲的就是这些原理。由于在西方首先是狄里希莱提出的这个原理，所以，又称为狄里希莱原理。不管叫什么名字，都反映的是同一个数学事实。上面（4）、（5）、（6）题的规律是：物体数比抽屉数的几倍还多几的情况，可用“苹果数”除以“抽屉数”，若余数不为零，则“答案”为商加1，若余数为零，则“答案”为商。其中第（6）题是已知“苹果数”和“答案”来求“抽屉数”。通过上面的练习，我们基本上认识了抽屉原理。现在我们就可以用抽屉原理来证明电脑算命，是完全不可信的了。（教师讲解：如果以70年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×2＝51100，我们把它作为“抽屉”数。我国现有人口11亿，我们把它作为“物体”数。由于1.1×10的9次方=21526×51100+21400，根据原理2，存在21526个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同，但他们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！ 所谓“电脑算命”不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里，谁要算命，即根据出生的年月、日、性别的不同的组合按不同的
编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命运的句子。这种在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的勾当，是对科学的亵渎。）
抽屉原理的用处很广，如果能灵活运用，可以解决一些看上去相当复杂、觉得无从下手，然而却是相当有趣的数学问题。
抽屉原理的应用
师生共同讨论分析解答。
Ⅰ、简单题：
例1、 在某校数学乐园中，五年级学生共有400人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这400个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？
解：因为年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，所以这400名学生出生的日期总数不会超过366天，把400名学生看作400个苹果，366天看作是366个抽屉，（若两名学生是同一天出生的，则让他们进入同一个抽屉，否则进入不同的抽屉）由抽屉原则知“无论怎么放这400个苹果，一定能找到一个抽屉，它里面至少有两个苹果”即：一定能找到两个学生，它们是同年同月同日出生的。
例2：有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，如果让你闭上眼睛去摸，你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为什么？至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？
解：1、把三种颜色的的筷子当作三个抽屉，2、 根据抽屉原则：
（1）至少拿4根筷子，才能保证有2根同色筷子；（2）从最特殊的情况想起，假定三种颜色的筷子各拿了3根，也就是在三个“抽屉”里各拿了三根筷子，不管在哪个“抽屉”里再拿1根筷子，就有4根筷子是同色的，所以一次至少应拿出3×3+1=10根筷子，就能保证有4根筷子同色。
例3、证明：在任意的37人中，至少有四人的属相相同。 解：将37人看作37个苹果，12个属相看作是12个抽屉，由抽屉原则知“无论怎么放一定能找到一个抽屉，它里面至少有4个苹果”即在任意的37人中。至少有四人属相相同。
例4、某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书。
分析：从问题“有一个同学能借到两本或两本以上的书”我们想到，此话对应于“有一个抽屉里面有两个或两个以上的苹果”。所以我们应将40个同学看作40个抽屉，将书本看作苹果，如某个同学借到了书，就相当于将这个苹果放到了它的抽屉中。
解：将40个同学看作40个抽屉，书看作是苹果，由抽屉原则知：要保证有一个抽屉中至少有两个苹果，苹果数应至少为40+1=41个。即：小书架上至少要有41本书。 归纳小结：解与抽屉原则有关的问题，最关键的是要找到谁为“苹果”，谁为“抽屉”，上述四题称为简单题的原因就在于“苹果”和“抽屉”很容易找到。
Ⅱ、划分图形
例1、在边长为1的正三角形中，任意放入5个点，证明：其中至少有两个点的距离不大于1。 2
分析：本题与前面所做的题相比难在苹果和抽屉不够明显。把5个点看作5个苹果，那么抽屉又在哪呢？如把这个边长为1的三解形看作抽屉，此题仅有一个抽屉，无法解释结论，所以本题摆在我们面前的一个重要问题就是要造出抽屉来。我们可以联想一下日常生活中与此类似的问题“如果你去家俱店订做抽屉，你应告诉老板1.订做的抽
屉的性质(即:大小、形状、材料等)2、订做的数量，这样老板才能给你制作抽屉。”与此类似，在本题中我们要造抽屉，就必须要知道所造抽屉的特征及数量。分析题中的最后一句话“两个点的距离不大于”对应于“抽屉中任1”即我们所造的抽屉应2
1满足“抽屉的最长部分小于或等于”，从题中还应由2意两点间的长度都小于或等于
“把5个苹果放到几个抽屉中，才能保证有一个抽屉至少放了两个苹果”。想到应造四个抽屉。
解：将边长为1的正三角形按图1分割成4块，作为4个抽屉。（其中D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点），则这4个抽屉的最大长度为1，把5个点（5个苹果）放2
1。（得证）
2到4个抽屉中，由抽屉原则知一定有一个抽屉中，至少放了两个点，那么这两个点的距离就不大于
练一练、（学生独立完成做在练习本上）在一个长宽分别为4米和3米的长方形中，且已知此长方形的对角线长为5米，任意放5个点，试证明：至少有两个点的距离不大于2.5米。（学生做完后让学生说一说是怎样想的，解答过程是怎样的。教师评价时，强调思考的突破口和怎样制造抽屉。）
分析：由最后一句话“两个点的距离不大于2.5米”作思考的突破口，由此可知我们要造的抽屉应满足的条件为“抽屉的最大长度小于或等于2.5米”；由5个点想到应造4个抽屉。
解：将长方形按图2的方式分割成4块（E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点）作为4个抽屉，则这4个抽屉的最大长度为2.5米，将5个点放到这4个抽屉中，由抽屉原理得至少有两点在一个抽屉中，那么这两点的距离必不大于2.5米。
注：按图3的方式分割成4块是不合理的，如：抽屉三角形AOD中，最大长度为AD,AD>2.5米。
归纳小结：将上述两题归结为划分图形问题，是因为它们均是通过将一个图形分割成几块的方式来造抽屉的。
Ⅲ、整数分组.
例1、在从1开始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。
分析：本题与前几题的不同之处在于：前面几题均是向空抽屉中放苹果，本题是从已有苹果的抽屉中拿苹果；本题与划分图形中的两题相同之处在于：题中均没直接给出抽屉，需要我们根据给出的抽屉的特征来自己造抽屉。由题
中最后一句话“两个数的和为20”由此可知我们要造的抽屉应是“里面已含有两个数，且它们的和为20” 解：把前10个奇数按如下分组，构成5个抽屉：
（1，19）；（3，17）；（5，15）；（7，13）；（9，
11）。从这5个抽屉中取出6个数，由抽屉原理知：有一个抽屉中至少取了两个数，则这两个数的和必为20。所以无论怎样取，一定有两个数的和是20。
练一练、（学生独立完成做在练习本上）从1，3，5，7，„„，37，39这20个奇数中任取出14个。证明：其中至少有两个数一个是另一个的倍数。（学生做完后让学生说一说是怎样想的，解答过程是怎样的。教师评价时，强调思考的突破口和怎样制造抽屉。）
分析：由最后一句话“其中一个是另一个的倍数”知我们要造的抽屉中已含有数，且抽屉中的任意两数均为倍数关系；从抽屉中取出14个数就可保证有两个数在一个抽屉中取出，可知我们要造出的抽屉数小于14。
解：将1，3，5，7，„„37，39这20个奇数按如下分组，构造出13个抽屉：（1，3，9，27）；（5，15）；（7，
21）；（11，33）；（13，39）；（17）；（19）；（23）；
（25）；（29）；（31）；（35）；（37）。从20个奇数中任取14个数就相当于从这13个抽屉中任取14个数，
由抽屉原理知至少有两个数是从一个抽屉中取出的，那么这两个数必满足一个是另一个的倍数这一条件（得证）。 归纳小结：上面关于“整数分组”的两道题的共同特点是：均是从抽屉中取苹果，抽屉却没有告诉我们，也需要我们去根据具体情况造抽屉。
Ⅳ 状态分类
例1、在任意的10个人中，至少有两个人，他们在这10个人中认识的人数相等。
分析：本题我们可以将10个人看作是10个苹果，而抽屉需要我们来造，由题意知我们要造的抽屉应满足：在同一抽屉中的人认识的人数应相同，所以我们很易造出如下10个抽屉：[认识0个人]、[认识1个人]、[认识2个人]„„[认识9个人]。下面我们要证明的是至少有两个人在同一抽屉中，困难在于10个人，10个抽屉无法保证至少有两个人在同一抽屉中，进一步分析我们会发现，第1个抽屉与第10个抽屉不可能同时有人，所以实际上是9个抽屉。
解:1）在这10个人中，如果有人认识所有的人，那么每个人所认识的人数从1至9共9种可能，即可构造9个抽屉，由抽屉原理知至少有2人认识的人数相等。
2）在这10个人中，若没有人认识所有的人，那么每个人所认识的人数有从0至8共9种可能，由抽屉原理知至少有2人认识人数相等。
例2、如图4，三行九列共27个小方格，将每小方格染上红色或蓝色，证明：不论怎样染色，其中至少有两列，它们的染色方式相同。
解：按列染色的方式只有以下八种：（红、红、红）；（蓝、蓝、蓝）；（红、红、蓝）；（红、蓝、红）；（蓝、红、红）（蓝、蓝、红）；（蓝、红、蓝）；（红、蓝、蓝）。我们把每种染色方式看作是一个抽屉，那么九列小方格放入八个“抽屉”里，一定有一个抽屉中至少有两列小方格，即：至少有两列的染色方式相同。
练一练、（学生独立完成做在练习本上）图5中，3行7列的方格网，对每一格进行黑白染色，求证：对任意的染法棋盘上至少有一个长方形它的四个角着色相同。（学生在练习时会根据例2制造抽屉的方法去思考，教师要适当
加以提示。学生做完后让学生说一说是怎样想的，解答过程是怎样的。教师评价时，强调思考的突破口和怎样制造抽屉。）
分析：本题如果用第2题的抽屉，显然已行不通。我们可对每一行利用抽屉原则进行分析。
解：因为只有两种颜色，由抽屉原则知第一行的7个格中至少有4个格着色相同，为确定起见，不妨设前4个格着色相同均着白色。现考虑第二行，若第二行的前4个格中有2个格着白色，则四个角同色的矩形已经存在，所以我们假定第二行的前4个格中至少有3个着黑色，不妨假定前三个格着黑色。又第三行的前3个格至少有2个同色，当有两个白色时与第一行构成四角同色的矩形，当有2个黑色时与第二行构成四角同色的矩形。
〈四〉 巩固练习
习题：
1、从1，4，7„„，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有两个数的和是41。
2、在一个半径为10米的圆形旱冰场上有7个人溜冰，那么至少有2个人之间的距离不大于10米，为什么？
3、有一批四种颜色的小旗，任意取出三面排成一行，表示各种信号，证明：在200个信号中至少有4个信号完全相同。
4、一副扑克牌有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，问最少要抽几张牌，才能保证有四张牌是同一花色的？
5、证明：在自然数1至100中任取21个数，其中一定有两个数的差（大数减小数）小于5。
答案：
1、对这14个人按如下分组（1，40）；（4，37）；（7，
34），（10，31）；（13，28）；（16，25）；（19，22）共7组，从这7组中任取8个数，则必有两数是从同一组中取出的所以它们的和是41。
2、如图6，把旱冰场分成6个相同的小扇形，把每个小扇形看作是一个抽屉，则7个人中至少有两个人在同一抽屉里，而每个小扇形中任意两点间的距离不超过圆的半径10米，所以至少有2个人之间的距离不大于10米。
3、四种颜色的小旗取出三面共可组成4×4×4=64种信号（注三面可以是同色的），则将200看作苹果，64种信号看作64个抽屉，由抽屉原则知至少有4个苹果在同一抽屉中，即至少有4个信号完全相同。
4、分析：每种花色看成是一个抽屉，共有4个抽屉，放入1至4张牌，可能每种花色至多各一张，从而不能保证一定有同花色的牌出现，放入5至8张牌，可能每种花色至多两张牌，放入19至12张牌，可能每种花色至多3张牌，但放入13张牌，就一定有四张牌是同花色的。 解：4-1＝3（相当于m＝3，n＝4）
抽出3×4+1张牌，一定有保证有3+1张牌是同花色的，故至少要抽出十三张牌。
5、分析：由最后一句话“两个数的差小于5”可以知道我们要造的抽屉应满足：“抽屉中已有数，且任意两数之差小于5”。由“取21个数就可保证有2个数是在一个抽屉中取出的” 由此可知我们应造出20个抽屉。
解：将1—100按如下分组，构成20个抽屉：（1，2，3，4，5）；（6，7，8，9，10）；（11，12，13，14，15）；
（16，17，18，19，20）；（21，22，23，24，25）；（26，27，28，29，30）；（31，32，33，34，35）；（36，37，38，39，40）；（41，42，43，44，45）；（46，47，48，49，50）；（51，52，53，54，55）；（56，57，58，59，
60）；（61，62，63，64，65）；（66，67，68，69，70）；（71，72，73，74，75）；（76，77，78，79，80）；（81，82，83，84，85）；（86，87，88，89，90）；（91，92，93，94，95）；（96，97，98，99，100）。从1——100这100个数中任取21个数即为：从这20个抽屉中任取21个数，由抽屉原理知至少有两个数是在同一个抽屉中取出的，那么这两个数的差必小于5（得证）。
六：全课总结。
让学生说说学到了什么，什么是抽屉原理？根据你所知道的说说抽屉原理能解决那些实际问题，应用抽屉原理解决实际问题时的关键是什么？解题步骤是怎样的？
根据学生回答，教师板书解题思路和步骤：
（1） 构造抽屉；
（2） 把物体放入抽屉或从抽屉中取物体；
（3） 说明理由；
（4） 描述结论。
解题关键：合理、正确地构造抽屉。要抓住主要的基本关系进行分类，设计抽屉的性质和个数。
七、课后作业。
一、填空。
买回3本书，全部放入2个抽屉中，如果规定每个抽
屉至少有一本书，则肯定有一个抽屉放入（ ）本书；四个苹果放入3个盘子中，则至少有一个盘子中至少放（ ）个或更多苹果；一年有53个星期，班上有54个同学，则肯定至少有（ ）个同学的生日在同一星期。
二、解答问题。
1、黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根筷子才能保证达要求？
2、 一个袋中放有100个小球，其中28个红球，20个绿球，12个黄球，20个蓝球，10个白球，10个黑球，问应从袋中摸出最少多少只小球，才能确保有15个同色的球。
3、 证明：
（1）任取12个整数，证明一定有两数之差是11的倍数。
（2）任取3个自然数，证明一定有两个数之和是偶数。
4、用黑、白两种颜色把一个2×5（即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色.证明：必有两列，它们的涂色方式完全相同。
答案：
二、1、分析：黑色、白色黄色可以看成3个抽屉，筷子则看为苹果，每抽出4根筷子，放进3个抽屉，必有
某个抽屉中至少有两根，就是有一双，取出这一双筷子再补充2根筷子，则又有四根筷子，又可取出一双，但已取出的两双可能同色，最不利的情况下，可能取出四双同色的，此时这种颜色的筷子已经没有了，抽屉减少一个，故只要再放三根筷子，就又可得出一双与前不同色的筷子。 解：至少要取8+3=11根筷子
二、2、最少摸出(10+10+12)+43=75个球
二、3、（1）全体整数被11除，余数有0、1、2、3„„10共11种，这12个数按各自的余数的大小，分别放入这12个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个数，这两个数的差能被11整除。
（2）三个数中至少有两个同为奇数或者同为偶数，它们之和为偶数。
二、4、
因为每列只有两格，而这两格的染法只有（上图）四种，将这4种染色方式当作4个抽屉，题中所有的方格共有5列，根据抽屉原理，至少有两列的染色方式完全相同。 教学理念与反思：
为了开拓小学生数学学习的视野，理解数学问题并不全都是由数量和数量关系组成，解决问题有时却不用算术和几何知识，而是用推理的知识来解答，体验数学原理的工具性特点，从而提高同学们解决数学问题的能力和兴
趣。
在课的引入部分紧密联系学生的生活实际，把学生的学习放到揭示“电脑算命”的“鬼把戏”的强烈的目标动机中，有效地调动和激发了学生的学习的主动性和兴趣。通过“你想学到什么？”的问题讨论，比较好地规导了学生的学习行为，为下面认识原理、应用原理两个教学层次的讨论活动作好铺垫。遗憾的是没有让学生说说自己对“抽屉”有什么想法，以利于学生认识这一概念在解决实际问题中的作用，这对于学生利用抽屉原理解决实际问题。
在认识抽屉原理这一教学层次中，首先通过师生互动，对物体多，抽屉少，数量比较接近的三个简单例子的证明，让学生从不同的角度去正确认识抽屉原理一：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。然后通过解答两个关于物体多，抽屉少，但是数量相差较大，物体个数比抽屉个数的几倍还多几的两个简单例子的解答，得出抽屉原理二 ：把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。虽然原理比较简单，靠教师讲解学生也能比较轻松地掌握，但是学生无法获得对数学方法的体验，所学的知识也不牢靠。最后，让学生通过想一想“原理1”和“原理2”的区别在什么地方。加深对原理的理解，为下面运用原理创造“抽屉”，创造性地解决问题提供了必要的基础知识。
抽屉原理好理解，但是利用它解决问题则需要有一定的创造性意识作为支撑，所以在下面的教学中我安排了多种层次的练习，使学生能在容易找到抽屉的情况下，进一步让他们跳一跳去创造抽屉解决问题。因为练习题所创设的情景能结合学生的生活实际，形式比较活泼，内容比较
丰富，有些处理问题的手段还采用了染色方法，所以学生对有些比较难的问题的探究，还能保持比较浓厚的兴趣，使这种对于小学生来说极富有挑战性的活动开展的比较顺利，达到了预期的目标。