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全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案 ( 2011年5月22日！！！第八届)
一、看似简单的小试验（30 分）
（1）小球1 P 不可能直接击中A 点，证明见详细解答。
（2）小球P2与圆盘开始分离时的角度ϕ= arcsin( 3 −1) ≈47°。
（3）碰撞结束后瞬时小球3 P 与半圆盘的动能之比为5：4。
二、组合变形的圆柱体（20 分）
（1）1 3
32 πT s M = Dτ。
（2）在柱B端同时施加σ= 3τs 的轴向拉伸应力不产生屈服。
（3）圆柱体的体积改变量1 2 ( )
4 ΔV = σπD L 1−2ν/ E。
三、顶部增强的悬臂梁（30 分）
（1）组合截面形心的位置：0 C z = ，1 0.592 C y = h 。
（2）使梁B 端下表面刚好接触C 台面所需的竖向力为3 3
1 1 0.4 / PF = E bhΔL 。
（3）不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为top 2 2
Q 1 1 F = 0.28E bhΔ/ L 。
（4）梁的剪应力为3
2 1 C ( ) 2 2 3 / τ= E Δy −y L ，沿梁截面高度的分布图见详细解答。
四、令人惊讶的魔术师（20 分）
（1）力学原理：沿不同方向推动木条时，需要的推力大小不同，木条运动的方式也不同：沿
AB 推，推力1 F 最大，木条平动；垂直AB 在不同位置推动木条，木条绕不同的点转动， 且推力2 F 的大小、转动位置均与推力位置有关。
（2）根据滚动小球的号码信息，推力位置位于[num, num+1] 号小球之间，且 2 2
max
max
2
4 2
num n Q
n Q
−
=
−
取整。（注意Q = N, or N −1, or N +1均算正确）。
（3）设2 1 F / F =η，η∈[0, 0.414)不可能出现。当η∈[0.414, 0.828)时，观众如果故意把
2 F 错报为1
F ，一定会被魔术师发现。若η∈[0.828, 1]时，观众故意报错不会被发现。 2 2
五、对称破缺的太极图（20 分）
（1）x z x' z ' I = I = I = I 成立，见详细解答。
（2）在x = −r, z = 0处粘上质量为1
4 m 的配重，图形就可以在空中绕Z 轴稳定地转动。
2
详细解答及评分标准
总体原则：
（1）计算题的某一小问，只要最后结果正确且有适当的步骤，就给全分。
（2）如结果不正确，则参考具体的评分标准。
（3）如结果不正确且方法与参考答案不一样，各地自行统一酌情给分。
（4）证明题需要看过程。
一、看似简单的小试验（30 分）
【解】：（1）小球出手后开始作抛物线运动，可以证明，在题目所给条件下，小球击中A 点之
前，一定会和圆盘边缘上其它点碰撞，即小球不可能直接击中A 点。
证明：如果想求出抛物线与圆的交点表达式，会很复杂。下面采用很简单的方法。
圆盘的边界轨迹为x2 + y2 = r2，在A 点__________右边的x = −r + Δx处（设Δx为一阶小量），圆
盘的高度为2 2 2
1 (−r + Δx) + y = r ，2 2
1
1 y = 2rΔx −Δx ，略去高阶小量，即0.5 y ∼Δx ；
小球的抛物线轨迹方程一定可以写为y = −a(x −b)2 + c的形式（a、b、c 与初始条件有 关且均为正值）。在x = −r + Δx处，抛物线的高为2
2 y = −a(−r + Δx −b) + c。假设抛物线过
A点，则有0 = −a(−r −b)2 + c。因此有2
2 y = 2a(r + b)Δx −aΔx ，略去高阶小量，即2 y ∼Δx。
即在A点之前（x = −r + Δx处），抛物线的高度是1 阶小量，而圆盘的高是0.5 阶小量， 所以圆盘比抛物线高。因此小球在击中A 点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞，不可能直接
击中A 点。
（2）建立惯性坐标系与初始时刻的Oxy 重合。
可以用不同的方法求解。系统水平方向动量守恒
mx+ m(x−rϕsinϕ) = 0 （1－1）
结论3 分
证明方法不
限。
结论错误，0
分；
结论正确且能
够证明，3 分；
结论正确但证
明不完善，1
分。
1 分
3
系统机械能守恒
1 2 1 2 2 2
2 2 mx+ m(x−2xrϕsinϕ+ r ϕ) + mgrsinϕ= mgr（1－2）
拆开系统，对小球由水平方向质心运动定理
mx= −N cosϕ（1－3）
由（1－1）和（1－2）得到
1
2
2 x= −rϕsinϕ，2
4(1 sin )
(2 sin )
g
r
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
−
（1－4）
对（1－4）中的速度和角速度求导有
1 1 2
2 2
2
2 2 x= −rϕ