高中数学公式及知识点速记
一、函数、导数
1、函数的单调性
(1)设x 1、x 2∈[a , b ],x 1
f (x 1) -f (x 2) 0⇔f (x ) 在[a , b ]上是减函数.
(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，若f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；若f '(x )
函数换元法
例：g （x+2)=3x+3 求g(x) 令x+2=t x=t-2代入 g(t）=2(t-2)+3
g(t)=2t-1 g(x)=2x-1
2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的x ，都有f (-x ) =f (x ) ，则f (x ) 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有f (-x ) =-f (x ) ，则f (x ) 是奇函数。 若x=0有意义，则f(0)=0
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。
y =x 为奇 y=x 为偶 y=x
3、函数在点x 0处的导数的几何意义
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数是曲线y =f (x ) 在P (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率
n
f '(x 0) ，相应的切线方程是y -y 0=f '(x 0)(x -x 0) .
4、几种常见函数的导数
' α-1α' '
①C =0；②x =αx ； ③(sinx ) =cos x ；④(cosx ) =-sin x ；
()'
x ' x x ' x
⑤(a ) =a ln a ；⑥(e ) =e ； ⑦(loga x ) =
'
11'
；⑧(lnx ) = x ln a x
5、导数的运算法则
u ' u ' v -uv '
(v ≠0) . （1）(u ±v ) =u ±v . （2）(uv ) =u v +uv . （3）() =2
v v
'
'
'
'
'
'
6、会用导数求单调区间、极值、最值
7、求函数y =f (x )的极值的方法是：解方程f '(x )=0．当f '(x 0)=0时： (1) 如果在x 0附近的左侧f '(x )>0，右侧f '(x )0，那么f (x 0)是极小值． 导数：f '(x 0) =lim
∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x )f (x 0+∆x ) -f (x )∆x
=lim k =lim = f '(x 0)
∆x →0∆x ∆x ∆y ∆x →0
f (x 0+∆x ) -f (x )
∆x
导函数：f '(x ) =y 'lim
∆x →0
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
8、同角三角函数的基本关系式
sin 2θ+cos 2θ=1，tan θ=
sin θ
. cos θ
9、正弦、余弦的诱导公式
k π±α的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；
k π+
π
2
±α的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的
符号。
10、和角与差角公式
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β) =cos αcos βsin αsin β;
tan α±tan β
tan(α±β) =.
1tan αtan β
11、二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α
cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.
2tan α
tan 2α=.
1-tan 2α
1+cos 2α
; 2
公式变形：
1-cos 2α
2sin 2α=1-cos 2α, sin 2α=;
2
1
sinA·cosA = sin2A
2cos 2A +12
cos A =
2
2cos 2α=1+cos 2α, cos 2α=
a sinA + b cosA = a +b sin(A +) 例：3sin A +cos A =2(
2
2
sin A +cos A ) 2
=2(sinA ⋅cos =2sin(A +
π
+cos A ⋅sin ) 66
π
π
6
)
12、三角函数的周期
函数y =sin(ωx +ϕ) ，x ∈R 及函数y =cos(ωx +ϕ) ，x ∈R(A,ω, ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =
2π
ω
；函数y =tan(ωx +ϕ) ，x ≠k π+
π
2
, k ∈Z (A,ω, ϕ为常
数，且A ≠0，ω＞0) 的周期T =
π. ω
三角函数值
公式一 公式二
sin(k ⋅2π+α) =sin x sin(π+α) =-sin α
cos(k ⋅2π+α) =cos x cos(π+α) =-cos α tan(k ⋅2π+α) =tan x tan(π+α) =tan α
公式三 公式四
sin(-α) =-sin α sin(π-α) =sin α
cos(-α) =cos α cos(π-α) =-cos α tan(-α) =-tan α tan(π-α) =-tan α
公式五 公式六
sin(-α) =cos α sin(+α) =cos α
22
ππ
cos(-α) =sin α cos(+α) =-sin α 22
13、 函数y =sin(ωx +ϕ) 的周期、最值、单调区间、图象变换
14、辅助角公式
ππ
y =a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +ϕ) 其中tan ϕ=
15、正弦定理
b a
a b c
===2R . sin A sin B sin C
a =sin A ⋅2R b =sin B ⋅2R c =sin C ⋅2R
b 2+c 2-a 2c 2+a 2-b 2a 2+b 2-c 2
cos B = cos C = cos A =
2bc 2ac 2ab
16、余弦定理
a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C .
推广:
a 2=b 2+c 2⇔∠A 是直角 a 2> b 2+c 2⇔∠A 是钝角 a 2
17、三角形面积公式
S =
111
ab sin C =bc sin A =ca sin B . 222
18、三角形内角和定理
在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B ) 19、a 与b 的数量积(或内积)
⋅=||⋅||cos θ
20、平面向量的坐标运算
(1)设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) , 则AB =OB -OA =(x 2-x 1, y 2-y 1) . (2)设=(x 1, y 1) , =(x 2, y 2) ，则⋅=x 1x 2+y 1y 2. a ⋅b =a ⋅b ⋅cos θ (3)设=(x , y ) ，则a =
21、两向量的夹角公式
设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则
x 2+y 2 a =x 1+y 1 b =x 2+y 2
2222
cos θ=
a ⋅b a b
=
x 1x 2+y 1y 2x 1+y 1⋅x 2+y 2
2
2
2
2
22、向量的平行与垂直
//⇔=λ ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
⊥(≠) ⇔⋅=0⇔x 1x 2+y 1y 2=0.
三、数列
23、数列的通项公式与前n 项的和的关系
n =1⎧s 1,
( 数列{a n }的前n 项的和为s n =a 1+a 2+a n =⎨
⎩s n -s n -1, n ≥2
24、等差数列的通项公式
+a n ).
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ；
25、等差数列其前n 项和公式为
s n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n . 2222
26、等比数列的通项公式
a n =a 1q n -1=
a 1n
⋅q (n ∈N *) ； q
27、等比数列前n 项的和公式为
⎧a 1(1-q n ) ⎧a 1-a n q
, q ≠1, q ≠1⎪⎪
s n =⎨1-q 或 s n =⎨1-q .
⎪na , q =1⎪na , q =1⎩1⎩1
四、不等式
x +y
≥xy ，当x =y 时等号成立。 2
（1）若积xy 是定值p ，则当x =y 时和x +y 有最小值2p ；
12
（2）若和x +y 是定值s ，则当x =y 时积xy 有最大值s .
4
五、解析几何
28、已知x , y 都是正数，则有
29、直线的五种方程
（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ． （2）斜截式 y =kx +b (b为直线l 在y 轴上的截距).
y -y 1x -x 1
(y 1≠y 2)(P =1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) (x 1≠x 2)).
y 2-y 1x 2-x 1x y
(4)截距式 +=1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，a 、b ≠0)
a b
（5）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).
（3）两点式
30、两条直线的平行和垂直
若l 1:y =k 1x +b 1，l 2:y =k 2x +b 2
①l 1||l 2⇔k 1=k 2, b 1≠b 2;
②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1. 31、平面两点间的距离公式
d A , B
=A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).
32、点到直线的距离
d =
(点P (x 0, y 0) , 直线l ：Ax +By +C =0).
2
2
2
33、 圆的三种方程
（1）圆的标准方程 (x -a ) +(y -b ) =r .
22
（2）圆的一般方程 x +y +Dx +Ey +F =0(D +E -4F ＞0).
2
2
⎧x =a +r cos θ
（3）圆的参数方程 ⎨.
y =b +r sin θ⎩
34、直线与圆的位置关系
222
直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种:
d >r ⇔相离⇔∆
d =r ⇔相切⇔∆=0;
d 0. 弦长=2r 2-d 2
Aa +Bb +C
其中d =.
22A +B
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
c x 2y 2222
椭圆：2+2=1(a >b >0) ，a -c =b ，离心率e =
a a b
⎧x =a cos θ
. ⎨
⎩y =b sin θ
c x 2y 2222
双曲线：2-2=1(a>0,b>0)，c -a =b ，离心率e =>1，渐近线方程
a a b
是y =±
抛物线：y 2=2px ，焦点(
b
x . a
p p
, 0) , 准线x =-。抛物线上的点到焦点距离等于它
22
到准线的距离.
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
x 2y 2x 2y 2b
(1）若双曲线方程为2-2=1⇒渐近线方程：2-2=0⇔y =±x .
a b a a b
x y x 2y 2b
(2)若渐近线方程为y =±x ⇔±=0⇒双曲线可设为2-2=λ.
a b a a b
x 2y 2x 2y 2
(3)若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ（λ>0，焦点在
a b a b
x 轴上，λ
37、抛物线y =2px 的焦半径公式
2
抛物线y =2px (p >0) 焦半径|PF |=x 0+
2
p
. （抛物线上的点到焦点距离等于它到2
准线的距离。）
38、过抛物线焦点的弦长AB =x 1+
p p
+x 2+=x 1+x 2+p . 22
六、立体几何
39、证明直线与直线平行的方法
（1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等） 40、证明直线与平面平行的方法
（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行） （2）先证面面平行
41、证明平面与平面平行的方法
平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行） ．．．．42、证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 43、证明直线与平面垂直的方法
（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直） ．．．．
（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）
44、证明平面与平面垂直的方法
平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）
45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=2πrl ，表面积=2πrl +2πr 圆椎侧面积=πrl ，表面积=πrl +πr
2
2
1
V 柱体=Sh （S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.
31
V 锥体=Sh （S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.
3
432
球的半径是R ，则其体积V =πR , 其表面积S =4πR ．
3
46、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算 47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算
平均数:x =方差:s =
2
x 1+x 2+ x n
n
1
[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ (x n -x ) 2] n
标准差:s =
1
[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+ (x n -x ) 2] n
50、回归直线方程
n n
⎧
(x i -)(y i -)∑x i y i -nx y ∑⎪
⎪b =i =1n =i =1n
2y =a +bx ，其中⎨22. x -x -()∑∑i i
⎪i =1i =1⎪
⎩a =-n (ac -bd ) 22
51、独立性检验 K =
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
52、古典概型的计算（必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出．．．．．．．．．来，不重复、不遗漏）
八、复数
53、复数的除法运算
a +bi (a +bi )(c -di ) (ac +bd ) +(bc -ad ) i
==. 22
c +di (c +di )(c -di ) c +d
54、复数z =a +bi 的模|z |=|a +
bi |
九、参数方程、极坐标化成直角坐标
⎧ρ2=x 2+y 2
⎧ρcos θ=x ⎪55、⎨ ⎨ y
⎩ρsin θ=y ⎪tan θ=(x ≠0)
x ⎩