过程能力分析

过程能力分析

连续型数据的过程能力离散型数据的过程能力

9 二项分布(合格率) 9 泊松分布(缺陷)

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过程能力分析

过程能力指数Cp 实际过程能力指数Cpk 过程性能指数Pp与Ppk

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1. 过程能力指数Cp

基本假设

A1过程受控，即过程的质量特性X的波动仅由正常波动源引起，过程的质量特X服从某个正态分布N（µ，σ2） A2双边规范限LSL和USL能准确表达顾客要求。这里讲的质量特性x是连续（随机）变量。它服从正态分布N（µ，σ2）可通过下面二个方法之一进行检验。使用控制图确认过程受控。使用正态概率纸确认质量特性服从正态分布

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2 过程能

过程能力（Process Cabability，PC）是指过程加工质量方面（注意：不是产量方面）的能力。此种能力可用标准差σ来度量，σ愈小，过程愈稳定，特别是受控过程的99.73%的产品质量特性值散布在区间内，该区间的宽度6σ愈小，过程能力就愈强。若把过程能力记为PC，则过程能力定义为 [µ − 3σ , µ + 3σ ]

PC=6σ

99.73% μ-3σ PC μ+3σ

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过程能力指数Cp

过程能力指数（Process Cabability index，PC）是用来度量一个过程满足顾客要求的程度。在规范中心M与受控过程中心（即正态均值）µ重合时，过程能力指数定义为：

Cp =

顾客要求 USL − LSL T = = 过程能力 6σ 6σ

规范限（LSL，USL）是顾客要求。所以Cp与σ成反比，Cp是愈大愈好的指数。

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Process Capability

-3σ

+3σ

−6σ −5σ −4σ −3σ −2σ −1σ

1σ

2σ 3σ

4σ

5σ

6σ

→

By Definition

±3σ

←

This would represent an Cp = 1.00

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例:在用钢材弯曲成钢夹的产品中，其间隙的上、下规范限分别为（单位： cm）, USL=0.9， LSL=0.5, 生产过程中钢夹间隙大小X服从正态分布N（0.7 0.0752）。即该过程中心恰与规范中心重合，µ=M=0.7，而标准差σ=0.075这时的过程能力指数为

T 0.9 − 0.5 0.4 = = 0.89 Cp = = 6σ 6 × 0.075 0.45

其中T=0.4是公差，6σ=0.45是过程能力，它表示99.73%的钢夹间隙散布在长度为0.45cm的区间上。如今Cp

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LSL CP

USL

LSL

USL

LSL

USL

0.5

M=μ 6σ

0.9

0.5

M=μ 6

0.9

0.5

M=μ 6σ

0.9

a. σ=0.075

b. σ=0.067

c. σ=0.050

典型的三种情况

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Cp与不合格品率之间关系

在规范中心M与过程中心µ重合的情况下，不合格品率 p=pL+pU=2pL,可以从Cp值导出

p = 2P(X

(

)

(

)

(

)]

譬如: Cp=0.67时，Φ(3Cp)=Φ(2)=0.9772 ， p=2[1- Φ(2)]=2[1-0.9772]=0.0456 可算得各种Cp值所对应的不合格品率，所得结果于下表。

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Cp 0.2 0.4 0.6 0.67 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.33 1.4 1.5 1.6 1.67 2

Cp 与不合格品率 p 间关系及评价与措施 p 评价措施 0.5486 能力过小不宜生产 0.2302 能力过小不宜生产 0.0718 能力过小不宜生产 0.0456 能力不足减少标准差 0.0164 能力不足减少标准差 0.007 能力不足减少标准差 0.0027=2700ppm 能力尚可加强检验，不断改进 0.0096 能力尚可加强检验，不断改进 0.000320 能力尚可加强检验，不断改进 0.0001 能力尚可加强检验，不断改进 0.000065=6.0ppm 能力充足维持或放宽 0.000027 能力充足维持或放宽 0.0000068 能力充足维持或放宽 0.0000016 能力充足维持或放宽 0.00000062=0.62ppm 能力非常充足放宽或免检能力非常充足放宽或免检 2×10-9=0.002ppm

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Cp的点估计

选用σ的无偏估计是较好的，即

ˆ S = S c4 , σ

n   1 2  (x − x )  S= n−1∑ i i=1   1 2

ˆ R = R d2 , σ

R = X (n ) − X (1)

其中x1，x2，…，xn是来自受控过程的一个样本，C4和 d2是修偏系数，由此可得Cp的估计

其中第二个估计常在样本量n

ˆ = C p T ˆS 6σ

或

ˆ = C p

T ˆR 6σ

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2.实际过程能力指数Cpk

（1）Cp的缺点

当M=μ时，Cp与不合格品率p间有一一对应关系当M≠μ时，Cp与不合格品率p间的对应关系失去了

例

钢夹间隙的规范限定为USL=0.9，LSL=0.5

 0 .9 − 0 .7  p U = p (x > 0 .9 ) = 1 − Φ   = 1 − Φ (2 .67 ) 0 . 075  

= 1 − 0.9962 = 0.0038

并把结果标在图上，其它的pU亦类似计算并标在图

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Process Capability

-3σ

+3σ

−6σ −5σ −4σ −3σ −2σ −1σ

1σ

2σ 3σ

4σ

5σ

6σ

→

By Definition

±3σ

←

This would represent an Cpk is less than 1.00

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LSL M=μ USL a. σ=0.075 CP=0.89

LSL M μUSL

p U = 0.0038

6σ 6σ

p′U = 0.1423

b. σ=0.067 CP=1.00 6σ

p U = 0 . 00135

6σ

p ′U = 0 .1170

c. σ=0.050 CP=1.33 0.5 6σ 0.9

pU = 0.000032

0.5 0.7 6σ

p ′U = 0 .0548

当M≠μ，μ=0.82时，cP不变，不合格品率pU增加 Cp值不能真实反映过程满足顾客要求

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（2）实际过程能力指数Cpk

过程中心在规范限（LSL，USL）之中，并把规范限分为两个小区间；（LSL，µ）和（µ，USL）。它们与3σ的比值能反映过程在左端或右端满足顾客要求的能力

C pl =

Cpu =

µ − LSL 为单侧下限过程能力指数 3σ

USL − µ 3σ

为单侧上限过程能力指数

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当M=μ时,CPU=CPL=CP 在M≠µ时，CpL≠CpU 从改进质量角度去看，我们应把注意力放在cpL和cpU中较小的一个获得Cpk的计算,同时我们还得到了单侧下限（或上限）过程能力指数,它们分别适用于只有下规范限和上规范限场合。

C pk = min CpL , CpU

Cp =

{

}

为实际过程能力指数为潜在过程能力指数

USL − LSL T = 6σ 6σ

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（3）Cpk的另一种形式

C pk = (1 − k )C p ，

k = M − µ 2 M − µ = T /2 T

T=USL-LSL M=（USL+LSL）/2 k>0称为偏离度

Cpk≤Cp

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提高Cpk的途径

减少偏离度k，即减少|M- µ | 减少标准差σ 与顾客商议，能否扩大规范限

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例螺纹钢板的切割过程经使用已达到受控状态，从控制图上可获得一些统计量：而其规格限为210±3，现要计算 R = 1.2, n=5 Cpk值。 x = 212.5,

LSL USL μ

207 208

209 210 211 212 213 214 215

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R 1.2 ˆ= σ = = 0.516 d 2 2.326

x − LSL 212.5 − 207 CpL = = = 3.553 ˆ 3σ 3 × 0.516

USL − x 213 − 212.5 CpU = = = 0.323 ˆ 3 × 0.516 3σ

Cpk = min{CPL , CPU } = 0.323

Cpk=0.323，过程能力严重不足。

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Cp =

T 213 − 207 = 1.938 = ˆ 6σ 6 × 0.516

过程的潜在能力是巨大的关键在于把过程中心µ从212.5调节到M=210附近找到了调节因子很快把过程中心调节到210.5 实际过程能力指数Cpk从0.323提高到1.614

M−µ 210 − 210.5 K= = = 0.1667 T/2 6/ 2

Cpk = (1 − K )CP = (1 − 0.1667) × 1.938

= 0.8333 × 1.938 = 1.615

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Visualizing Process Capability

Lower Spec. Limit 0.4

0.3 0.2 0.1 0.0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Cust. Tolerance

Upper Spec. Limit

Lower Spec 0.4 Limit

0.3 0.2 0.1 0.0 -8 -6

Cust. Tolerance

Upper Spec. Limit

-4

-2

Process Capability

Cp=1

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Cp=2

A Problem with the Process Capability Ratio Cp

Lower Spec Limit

0 .4

Cust. Tolerance

Upper Spec. Limit

0 .4

Lower Spec Limit

Cust. Tolerance

Upper Spec. Limit

0 .3

0 .2

0 .1

0 .0 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

0 .0 8

Process Capability

Cp=2

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If the Process is Off Target

0.4

Lower Spec. Limit

Cust. Tolerance

Upper Spec. Limit

Cp = 1.33 Cpk = 1.33

0.3 0.2 0.1 0.0 -5.33 -4.0 -2.

67 -1.33 0 1.33 2.67 4.0 5.33

0.4

Lower Spec. Limit

Cust. Tolerance

Upper Spec. Limit

Cp = 1.33 Cpk = 0.83

0.3 0.2 0.1 0.0 -5.33 -4.0 -2.67 -1.33 0 1.33 2.67 4.0 5.33

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性能 vs. 能力

CO2 Levels for 55 Time Points

13 CO2-Shrt

Ppk

11 10

Index

这些数据显示：过程控制得好就能产生很好的绩效.

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长期的过程能力指数： (1) 潜在的过程性能指数Pp ：

USL − LSL Pp = ˆ LT 6σ

ˆ LT 是长期标准差的估计：其中 σ

ˆ LT σ 1 k n 2 = ( x − x ) ∑∑ ij nk − 1 i =1 j =1

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(2) 单侧规范的过程性能指数：上过程性能指数PpU ：仅规定上规范USL 时，用

USL− x PpU = 3σLT

下过程性能指数PpL ：仅规定下规范LSL 时，用

x − LSL PpL = ˆ LT 3σ

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(3) 实际的过程性能指数Ppk ：

Ppk = min P , P pL PU

{

}

当ε=0时， Ppk =Pp ，一般情况下Ppk

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性能和能力矩阵

性能满足能力吗?

No (Ppk

能力满足顾客需求吗?

改进过程 No (Cp

改进过程

改进过程控制 Yes (Cp >> Goal)

没有改进空间

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案例

1、打开文件CAMSHAFT.MTW( Minitab自带文件 ) 2、Stat-Quality Tools-Capability Analysis(normal) 3、在Single column中输入supp1 4、在subgroup size中输入5

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Process Capability of Supp1

LSL

Process Data LSL 598 Target * USL 602 Sample Mean 599.548 Sample N 100 StDev(Within) 0.576429 StDev(Overall) 0.620865

USL Within Overall

Potential (Within) Capability Cp 1.16 CPL 0.90 CPU 1.42 Cpk 0.90 Overall Capability Pp PPL PPU Ppk Cpm 1.07 0.83 1.32 0.83 *

597.75 598.50 599.25 600.00 600.75 601.50

Observed Performance PPM USL 0.00 PPM Total 10000.00 Exp. Within Performance PPM USL 10.51 PPM Total 3631.57 Exp. Overall Performance PPM USL 39.19 PPM Total 6367.35

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Process Capability Sixpack of Supp1

Xbar Chart

UCL=600.321 Sample Mean 600.0 599.5 599.0 LCL=598.775 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

597.75 598.50 599.25 600.00 600.75 601.50

Capability Histogram

LSL USL

_ _ X=599.548

Specifications LSL 598 USL 602

R Chart

3.0 Sample Range UCL=2.835 _ R=1.341

Normal Prob Plot AD: 0.844, P: 0.029

1.5

0.0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

LCL=0 598 600 602

Last 20 Subgroups

601.5 Values 600.0 598.5

Capability Plot Within StDev 0.576429 Cp 1.16 Cpk 0.9 Within Overall StDev 0.620865 Pp 1.07 Ppk 0.83 Cpm *

Overall Specs

10 Sample

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案例:见黑带教材P344文件“P344”,假如 USL=15,LSL=2

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Process Capability of x1, ..., x5

LSL

Process Data LSL 2 Target * USL 15 Sample Mean 7.704 Sample N 125 StDev(Within) 3.09252 StDev(Overall) 3.18402

USL Within Overall

Potential (Within) Capability Cp 0.70 CPL 0.61 CPU 0.79 Cpk 0.61 Overall Capability Pp PPL PPU Ppk Cpm 0.68 0.60 0.76 0.60 *

2.4

Observed Performance PPM USL 0.00 PPM Total 16000.00

4.8

7.2

9.6

12.0

14.4

Exp. Within Performance PPM USL 9156.24 PPM Total 41715.12

Exp. Overall PPM USL PPM Total

Performance 36610.69 10968.82 47579.51

样本

观察值合格率

能力合格率

绩效合格率

总体

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案例:见黑带教材P347文件“P347”,假如 LSL=8

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Process Capability of 测量值

LSL

Process Data LSL 8 Target * USL * Sample Mean 10.5667 Sample N 24 StDev(Within) 1.16019 StDev(Overall) 1.69493

Within Overall

Potential (Within) Capability Cp * CPL 0.74 CPU * Cpk 0.74 Overall Capability Pp PPL PPU Ppk Cpm * 0.50 * 0.50 *

Observed Performance PPM USL * PPM Total 41666.67

Exp. Within Performance PPM USL * PPM Total 13473.69

Exp. Overall Performance PPM USL * PPM Total 64971.84

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案例三：见黑带教材P351文件“P351”

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Binomial Process Capability Analysis of 不合格品数 n p i

P Chart 0.15 Proportion 0.10 0.05 0.00 1 4 7 10 13 16 Sample 19 22 25

Rate of Defectives 15

UCL=0.1159 _ P=0.0599 LCL=0.0038

%Defective

10 5 0 140 150 160 Sample Size

Tests performed with unequal sample sizes Cumulative %Defective Summary Stats (using 95.0% confidence) 7 %Defective %Defective: Lower CI: Upper CI: Target: PPM Def: Lower CI: Upper CI: Process Z: Lower CI: Upper CI: 5.99 5.26 6.78 0.00 59851 52604 67767 1.5560 1.4926 1.6201 8 6 4 2 0 Dist of %Defective Tar

5 5 10 15 Sample 20 25

10 12 14

SIGMA水平=1.556+1.5=3.056

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缺陷模型

缺陷与缺陷数泊松分布与DPU DPO与DPMO

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1.缺陷模型

缺陷（defect）是指残损或不圆满的地方 – 如金属抛光后表面遗留的凹痕、班点等缺陷都是随机地、孤立地、间断地出现在研究缺陷产品时，关心的是单位产品上的缺陷数，一件产品就是一个单位产品，如一个螺丝、一个电阻等有些产品的单位产品划分需要人为地规定 – 一公尺导线、一疋布，一平方米玻璃等

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2.缺陷数

单位产品上的缺陷往往用来作为质量特性

一个铸件上的缺陷（砂眼等）数；一疋布上的缺陷

（疵点）数；一平方米玻璃上的缺陷（气泡）数；一只螺栓上的缺陷（裂缝）数；一盘录象带上的缺陷（疵点）数；一公尺金属丝外层绝缘材料上的缺陷（伤痕）数；一双球鞋上的缺陷（伤痕、脱胶、污染等）数；

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泊松分布与DPU

设X表示单位产品上的缺陷数，则x是一个随机变量，它可能取0，1，2…等一切非负整数。经研究，x取这些值的概率可用泊松分布给出，即：

λx − λ P( X = x ) = e ， x!

x=0,1,2,……

泊松分布仅含一个未知数λ λ是X的均值E(X)，所以λ的实际含义是单位产品的平均缺陷数，国外文献上常把它记为DPU。 λ=E（X）=DPU

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例：对某产品的四种型号分别抽样，然后逐一检查样品上的缺陷，统计缺陷数，结果如下：

型号 A B C D 总和产品数 ni nA=304 nB=112 nC=411 nD=2419 n=3246 缺陷数 dA=12 dB=6 dC=5 dD=105 d=128

DPU =

d d A + d B + dC + d D 128 = = = 0.0394 n n A + n B + n C + n D 3246

这就是λ的估计值

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λ=0.0943，求X取0，1，2，……等值的概率：

P( X = 0) = e − λ = e −0.0394 = 0.9614 P( X = 1) = λ e − λ = 0.0394e − 0.03941 = 0.0379 λ2 − λ (0.0394)2 − 0.0394 P( X = 2) = e = e = 0.0007 2 2 λ3 − λ (0.0394)3 − 0.0394 P( X = 3) = e = e = 0.0000 3! 6

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分布图

1.0

0.9614

0.8

0.6 y 0.4 0.2

0.0379 0.0007 0.0000

0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 x

2.0

2.5

3.0

λ=0.0394的泊松分布的线条图

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随着DPU的增加，单位产品上的缺陷数愈来愈多，合格品率逐渐下降

λ=0.1时，P（X=0）=е-0.1=0.9048 λ=0.5时，P（X=0）=е-0.5=0.6065 λ=1.0时，P（X=0）=е-1.0=0.3679 λ=5.0时，P（X=0）=е-5.0=0.0067 λ=10.0时，P（X=0）=е-10.0=0.000045

这一现象表明：要提高合格品率，就要降低DPU

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0.95

0.35

0.90

0.17

0.60

0.12 5

六种DPU的泊松分布的线条图

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例:在一个过程的输出端检查了5个产品（或半成品），发现了3个缺陷，这时DPU为：

3 缺陷数 d DPU = = = 0.6 被查产品数 n 5

于是可算得合格率： P=P（X=0）=е-DPU=е-0.6=0.5488 不合格率= 1-P = 0.5488 = 0.4512,这表明100个产品中大约有45个产品上有缺陷，有的产品上可能还不止一个缺陷，不经返工修理就报废对企业来说是一个很大的损失，为了减少损失，常在此种过程的末端加上检查点和反馈线，目的是为了修复部分或大部分缺陷，以提高最终合格率。

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DPO：每个机会的（平均）缺陷数（defect per opportunity）例：设有一种产品，它有10个位置上可能会出现缺陷，并且每

个位置上最多一个缺陷，即不可能在一个位置上出现二个或二个以上缺陷，这种对产品的划分是可以办到的，譬如一只球鞋在生产中会出现缺陷的位置可能在鞋跟、鞋尖、鞋腰两侧脱胶，也可能在鞋面若干处会受污染等，这里10个位置是例子，具体几个位置为宜要根据实际产品划分。又如，一块印刷电路板上有50个焊点，那未虚焊只在这50个点上出现，这时很自然把一块印刷电路板划分为50个位置。

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如今抽取60个产品，每个产品10个机会，共600个机会。

产品与机会示意图（·=缺陷

=机会

=单位产品）

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缺陷的分布是随机的，共有60个缺陷：每个机会的（平均）缺陷数DPO= 缺陷数 d = 60 = 0.1

机会总数 o 600

若把DPO乘以106，即为DPMO DPMO=0.1×106=105

DPU = 缺陷数 d 60 = =1 产品数 n 60

DPO（或DPMO）是以机会为单位测定能力 DPU是以产品为单位测定能力

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案例四：见黑带教材P355页“P355”

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P o i s s o n C a p a b i l i t y A n a l y s i s o f 缺陷数 c i

Sample Count Per Unit U Chart 7.5 5.0 2.5 0.0 1 3 5 7 9 11 13 Sample 15 17 19 _ U=2.953 LCL=0 UCL=6.907 DPU 4.5 3.0 1.5 0.0 1.00 1.25 1.50 Sample Size Defect Rate

Tests performed with unequal sample sizes Cumulative DPU Summary Stats 4.5 4.0 DPU 3.5 3.0 2.5 0.0 5 10 Sample 15 20 0.0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8 (using 95.0% confidence) Mean DPU: Lower CI: Upper CI: Min DPU: Max DPU: Targ DPU: 2.9528 2.3225 3.7013 0.0000 5.0000 0.0000 4.8 3.6 2.4 1.2 Tar Dist of DPU

DPU=2.953

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