老马弟子专供
第一讲 一元一次不等式和一元一次不等式组
一、选择题(每小题2分，共16分)
1. “x 的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是( ) A.2x －3≤8 B.2x －3≥8 C.2x －3＜8 D.2x －3＞8 2. 下列不等式一定成立的是( ) A.5a ＞4a B. x +2＜x +3
C. －a ＞－2a D. 42
a >a
3. 如果x ＜－3，那么下列不等式成立的是( ) A. x 2＞－3x B. x 2≥－3x C. x 2＜－3x D. x 2≤－3x 4. 不等式－3x +6＞0的正整数有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D. 无数多个 5. 若m 满足|m |＞m ，则m 一定是( ) A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 任意有理数 6. 在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x 满足( ) A. －8＜x ＜8 B. x ＜－8或x ＞8 C. x ＜8 D. x ＞8
7. 若不等式组⎧⎨x ≤m ⎩
x >11无解，则m 的取值范围是( )
A. m ＜11 B. m ＞11
C. m ≤11 D. m ≥11
8. 要使函数y =(2m －3) x +(3n +1)的图象经过x 、y 轴的正半轴，则m 与n 的取值应为( A. m ＞32，n ＞－1
3 B. m ＞3，n ＞－3
C. m ＜32，n ＜－13 D. m ＜312，n ＞－3
9、当a
A 、2a
3
a C、2a 3. 14a
10、已知三角形的两边长分别是3、5，则第三边a 的取值范围是（ ） A 、22 D、a
x
中自变量x 的取值范围是（ ） A 、x ≤
12且x ≠0 B、x >-12且x ≠0 C、x ≠0 D、x
2
且x ≠0 12、若a
A 、a >-a B、a b ，下列各不等式中正确的是（ ）
)
11
A 、a -1
88
14、如果a
11a a
A 、1
a b b b
15、三个连续自然数的和小于15，这样的自然数组共有（ ） A 、6组 B、5组 C、4组 D、3组
16、当x 取下列数值时，能使不等式x +10都成立的是（ ） A 、-2.5 B 、-1.5 C 、0 D 、1.5 二、填空题(每小题2分，共16分) 1. 不等式6－2x ＞0的解集是________.
3x -2
2. 当x ________时，代数式的值是非正数.
-5
3不等式-3x
4使代数式x-1和x+2的值符号相反的x 应为______________。 5是非正数，可表示为________________。
1
6若x 2m -1-8>5是一元一次不等式，则m=______________。
2
7当m__________时，有6m
8当x
1
1
103x >-6的解集是___________,-x ≤-8的解集是___________。
4
8
11. 当m ________时，不等式(2－m ) x ＜8的解集为x ＞.
2-m
a +3a +2
12. 若x =，y =，且x ＞2＞y ，则a 的取值范围是________.
32
13. 已知三角形的两边为3和4，则第三边a 的取值范围是________.
9如果
⎧x
14. 不等式组⎨的解集是x ＜m －2，则m 的取值应为________.
⎩x
15. 已知一次函数y =(m +4)x －3+n (其中x 是自变量) ，当m 、n 为________时，函数图象与y 轴的交点在x 轴下方.
16. 某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了(m －5)%(m ＞5) 后，仍不低于原价，则m 的值应为________.
三、解答题(17~20小题每小题10分，21、22小题每小题14分，共68分) 17. 解不等式(组)
⎧5x -6≤2(x +3) ⎪
(1)－2(x －3) ＞1 (2)⎨x x -3
-1
18. 画出函数y =3x +12的图象，并回答下列问题：
2
(1)当x 为什么值时，y ＞0？
(2)如果这个函数y 的值满足－6≤y ≤6，求相应的x 的取值范围.
⎧2x +y =1-m
19. 已知方程组⎨的解x 、y 满足x +y ＞0，求m 的取值范围.
⎩x +2y =2
20. 某校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘费）；若学校自己刻录，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘费），问刻录这批光盘到电脑公司刻录费用省，还是自己刻录省？请说明理由。
21、有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按100页40元计费。现乙复印社表示：若先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费。两复印社每月收费情况如图所示。根据图象回答问题： （1）、乙复印社的每月承包费是多少？ （2）、分别求出在每月内甲、乙两复印社复印收费与复印页书数之间的函数关系式。 （3）、当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？“收费相同”在图形上怎样反映出来？ （4）、如果每月复印页数在1200页左右，那么应选择哪个复印社？如何在图形上看出函数值的大小？
22. 某批发商欲将一批海产品由A 地运往B 地. 汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务. 已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时、100千米/时. 两货
冷藏费.
(1)设该批发商待运的海产品有x (吨) ，汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y 1(元) 和y 2(元) ，试求y 1和y 2与x 的函数关系式；
(2)若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选择哪个货运公司承担运输业务？
3
22. 某童装厂，现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L 、M 两种型号的童装共50套. 已知做一套L 型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元，做一套M 型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L 型号的童装套数为x (套) ，用这些布料生产两种型号的童装所获得利润为y (元).
(1)写出y (元) 关于x (套) 的代数式，并求出x 的取值范围.
(2)该厂生产这批童装中，当L 型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大？最大利润是多少？
第二讲 因式分解
一、因式分解（要求有过程，并发现每一道题目中用了那些方法）
4
1．m 2(p－q) －p ＋q ； 2．a(ab＋bc ＋ac) －abc ； 3．x 4－2y 4－2x 3y ＋xy 3；
4．abc(a2＋b 2＋c 2) －a 3bc ＋2ab 2c 2； 5．a 2(b－c) ＋b 2(c－a) ＋c 2(a－b) ； 6．(x2－2x) 2＋2x(x－2) ＋1； 7．(x－y) 2＋12(y－x)z ＋36z 2； 8．x 2－4ax ＋8ab －4b 2；
9．(ax＋by) 2＋(ay－bx) 2＋2(ax＋by)(ay－bx) ； 10．(1－a 2)(1－b 2) －(a2－1) 2(b2－1) 2； 11．(x＋1)2－9(x－1) 2； 12．4a 2b 2－(a2＋b 2－c 2) 2； 13．ab 2－ac 2＋4ac －4a ； 14．x 3n ＋y 3n ； 15．(x＋y) 3＋125；
16．(3m－2n) 3＋(3m＋2n) 3；
5
17．x 6(x2－y 2) ＋y 6(y2－x 2) ； 18．8(x＋y) 3＋1；
19．(a＋b ＋c) 3－a 3－b 3－c 3； 20．x 2＋4xy ＋3y 2； 21．x 2＋18x －144； 22．x 4＋2x 2－8； 23．－m 4＋18m 2－17； 24．x 5－2x 3－8x ； 25．x 8＋19x 5－216x 2；
26．(x2－7x) 2＋10(x2－7x) －24； 27．5＋7(a＋1) －6(a＋1) 2； 28．(x2＋x)(x2＋x －1) －2； 29．x 2＋y 2－x 2y 2－4xy －1； 30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4) －48； 31．x 2－y 2－x －y ；
32．ax 2－bx 2－bx ＋ax －3a ＋3b ；
6
33．m 4＋m 2＋1； 34．a 2－b 2＋2ac ＋c 2； 35．a 3－ab 2＋a －b ； 36．625b 4－(a－b) 4； 37．x 6－y 6＋3x 2y 4－3x 4y 2； 38．x 2＋4xy ＋4y 2－2x －4y －35； 39．m 2－a 2＋4ab －4b 2； 40．5m －5n －m 2＋2mn －n 2． 四、证明(求值) ：
1．已知a ＋b=0，求a 3－2b 3＋a 2b －2ab 2的值．
2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数． 3．证明：(ac－bd) 2＋(bc＋ad) 2=(a2＋b 2)(c2＋d 2) ．
4．已知a=k＋3，b=2k＋2，c=3k－1，求a 2＋b 2＋c 2＋2ab －2bc －2ac 的值． 5．若x 2＋mx ＋n=(x－3)(x＋4) ，求(m＋n) 2的值．
6．当a 为何值时，多项式x 2＋7xy ＋ay 2－5x ＋43y －24可以分解为两个一次因式的乘积．
7．若x ，y 为任意有理数，比较6xy 与x 2＋9y2的大小．
7
8．两个连续偶数的平方差是4的倍数．
第三讲 分式
一、填空题：
2a 2-3ab +b 2
1、已知3a =4b ，则＝ 。 22
a -b a 2+b 2
2、若a +b =7， ab =12，则＝ab
8
3、若
2x +1A B
恒成立，则A ＋B ＝ 。 =+
x +1x +2x +1x +2
4、若x 2-5x +1=0，则x 2+x +5、已知
11
+＝ 2
x x
a b c
===k ，且k ＜0，则直线y =kx +k 与坐标轴围成的三角形面积b +c a +c a +b
为 。 二、选择题：
1、已知x 、y 满足等式x = A 、y =
y -1
，则用x 的代数式表示y 得（ ） y +1
x -11-x 1+x x +1
B 、y = C 、y = D 、y = x +11+x 1-x x -1
11
2、甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成
m n
新盐水的含盐量为（ ）
m +n m +n 1
A 、 B 、 C 、 D 、随所取盐水重量
2mn mn mn
三、计算
4232x +15
（1） -x -2 （2）++2
2-x 2x +33-2x 4x -9
b b 3ab +b 2113x
+÷（3）( （4） -) ÷
a -b a 3-2a 2b +ab 2b 2-a 2x +11-x 2x +1
⎡m -n mn +n 2⎤mn
-2⋅（5）⎢2； 22⎥m -n ⎦n -1⎣m -2mn +n
⎛a a 2
四、当a +4b -4a +4b +5=0时，求 a -b -a 2-2ab +b 2
⎝
2
2
⎫⎪⎪的值。 ⎭
9
五、先阅读下面一段文字，然后解答问题：
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款。现有学生小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，则只能按零售价付款，需用(m 2-1)元（m 为正整数，且m 2-1＞100），如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用(m 2-1)元。
（1）设初三年级共有x 名学生，则①x 的取值范围是 ；②铅笔的零售价每支应为 元（用含x 、m 的代数式表示）；③批发价每支应为 元（用含x 、m 的代数式表示）。
（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少1元，试求初三年级共有多少学生？并确定m 的值。
第四讲 相似
一．选择题（6*4′）
1. 如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，过D 作BC 的平行线交AC 于M ，若BC=m，AC=n，则DM=（ ）
m n A 、 B、
m +n m +n
mn m +n C 、 D、
m +n mn 2. 下列命题中不正确的是（ ）
A ．如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似。
B ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等。 C ．如果两个三角形与第三个三角形相似，那么这两个三角形相似。
10
D ．如果两个三角形相似，那么这两个三角形全等。 3. 给出下列四个命题，其中真命题有（ ）
（1）等腰三角形都是相似三角形 （2）直角三角形都是相似三角形 （3）等腰直角三角形都是相似三角形 （4）等边三角形都是相似三角形 A ．1个 B ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个
4. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
5. 如图，作PE ⊥AB 于E ，Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AB =3，AC =4，PD ⊥AC P 是BC 上一点，
D 于D ，设BP =x ，则PD +PE =（ ） C
x
A ．+3
5
x
B ．4-
5
7C ．
2
12x 12x 2
D ． -
525
E
A 、BF=
（第5题图）
6. 如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确的是( ) ．．．
1DF B 、S △FAD =2S△FBE
2
C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC
（第6题
图）
二．填空题（12*4′） 7．若
x -2y 2x
=, 则=_____； y 3y
AE 交CD 于F ，则CE :CF 的值为____. 8. 已知：如图，延长正方形ABCD 的边长BC 至E ，使CE =AC ，连结
D ′
A D F B E B
B C
(图8) (图5)
9. 边长为2的正三角形，被平行于一边的直线分成等积的两部分，其中一部分是梯形，则这个梯形的中位线的长为_____.
10. 要把相距30km 的两个城市画在比例尺为1:500000的地图上，那么图上这两个城市之间的
距离应该是______cm.
11. 已知线段AB 上点P 是它的黄金分割点，AP 是较短线段且AP=4，则BP 的长度为 __________.
12. 如图，把菱形ABCD 沿着对角线AC 的方向移动到A 'B 'C 'D '的位置，它们重叠部分的面积是菱形ABCD 的面积的1/2，若AC= ,
2AA ' 是 __________.
CE BD 1AF
13、在△ABC 中，D 、E 为AB 、BC 上两点，若的值为 。 ==，则
BC AB 3FE 14．△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，AB ＝4cm ，AC ＝cm 。
cm ，则AD ＝________
15. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于O ，E 是CD 的中点，AE 交BD 于F ，则DF:FO＝_____。
16. 如图，AF ∥BE ∥CD ，AB:BC＝1:2，AF ＝15，CD ＝21，则BE ＝________。
17．如图，DC ∥MN ∥PQ ∥AB ，DC ＝2，AB ＝3.5，DM ＝MP ＝PA ，则MN ＝_____；PQ ＝_____。 18．如图∠DAB ＝∠CAE ，请补充一个条件： ，使△ABC ∽△ADE ．
A
E
B F C
第11题 （第12题图） 图）19. 如图，DE ∥ BC, 则△ ∽△ ,若AD=3，BD=2，AF ⊥BC ，交DE 于 G , ，则
三．解答题
20. 已知：如图，矩形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点，EG ⊥AD 于G ，FH ⊥BC 于H ，AB =5，BC =12，且EF =EG +FH ，求EF 的长.
G D A
E
B H C
21. 如图，AD ∥BC , AB
、CD 相交于点E
三角形，并说明理由。
第五讲 证明（1）
一、 精心选一选：（5分×5）
1、下列命题是真命题的是（ ）
A 、同旁内角互补 B、直角三角形的两锐角互余 C、 三角形的一个外角等于它的两个内角之和 D、三角形的一个外角大于内角
2、命题“垂直与同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（ ） A 、垂直 B、两条直线 C、同一条直线 D、两条直线垂直于同一条直线 3、已知△ABC 的三个内角度数比为2∶3∶4，则个三角形是（ ） A 、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 4、如图，一个任意的五角星，它的五个内角的度数和为（ ） A 、90° B、180° C、360° D、120°
5、如图，AB ∥EF ， ∠C=90°，则α、β、γ的关系为（ ）
A 、β=α+γ B、α+β+γ=180° C、β+γ-α=90° D、α+β-γ=90° 二、 耐心填一填：（5分×7）
6、把命题“对顶角相等”改写成“如果„那么„”的形式 . 7、在△ABC 中，∠C=90°，若∠A=30°，则∠B 的补角度数为 . 8、在Rt △ABC 中，∠B —∠C=40°，则∠C= . 9、在三角形中，至少有 个锐角.
10、△ABC 的三个外角度数比为3∶4∶5，则它的度数分别为 .
11、在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点A=60°，则∠BIC=
12、已知如图，平行四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，
于点F ，AF ∶FC=3∶7，则AE ∶EB= .
用心想一想：（10分×4）
13、已知如图，在△ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE 。
求证：∠1 > ∠2
14、求证：两条直线平行，同旁内角的角平分线互相垂直. （写出已知，求证，证明）
15、已知如图，O 是四边形ABCD 的两条对角线点O 作OE ∥CD ，交AD 于E ，作OF ∥ BC，交AB EF 。
求证：EF ∥BD
三个外角
I, 若∠
DE 与AC 交
的交点，过于F ，连接
16、已知如图，AB ∥DE 。（1）、∠A 、∠ACD 、∠D 有什么关系，并证明你的结论。
（2）、若点C 向右移动到线段AD 的右侧，此时∠A 、∠ACD 、∠D 之间的关系，仍然满足（1）中的结论吗？若符合请你证明，若不符，请你写出正确的结论并证明。要求画出相应的图形。
第六讲 证明（二）
目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理。
重点难点：了解所学公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式；证明等腰
三角形性质时辅助线做法。
教学过程：
导入 温故知新
1、 前置准备：请你用自己的语言说一说证明的基本步骤。
2、 列举我们已知道的公理：、
（1）公理：同位角 ，两直线平行。 （2）公理：两直线 ，同位角 。 （3）公理： 的两个三角形全等。
（简称 ，字母表示 ）
（4）公理： 的两个三角形全等。
（简称 ，字母表示 ）
（5）公理：
（简称 ，字母表示 ）
（6）公理：全等三角形的对应边 ，对应角 。
注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理。你能解决这个问题么？ 引例、已知如图，△ABC 中AB ＝AC ，点D 、E 在BC 上且AD=AE， 求证：BD=CE
一典型例题分析
B E 探索一：三角形全等的判定
1、 判定一般的三角形全等还有一种方法是什么？推论:
（简写为 ）你能证明吗？
已知：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D, ∠B=∠E,BC=EF，求证：△ABC ≌△DEF
探索二：等腰三角形的性质定理
1、等腰三角形性质：等腰三角形的两个 相等（简称：等 对等 ） 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，求证：∠B ＝∠C 证明一：取BC 的中点D ，连接AD
2、推论1：等腰三角形的顶角的 、底边上的 、底边上的 互相重合（简称： ）
3、请证明：推论2：等边三角形的三个角都是 ，并且每个角都等于 。
二、当堂过关（牛刀小试）
1、在△ABC 和△DEF 中，以下四个命题中假命题是( )
A 、由AB=DE，BC=EF，∠B=∠E ，可判断△ABC ≌△DEF ； B 、由∠A=∠D ，∠C=∠F ，AC=DF，可判断△ABC ≌△DEF ；
C 、由AB=DE，AC=DF，BC=EF，可判断△ABC ≌△DEF ； D 、由∠A=∠D ，∠B=∠E ，AC=EF，可判断△ABC ≌△DEF 。 2、下列各组几何图形中，一定全等的是（ ）
A 、各有一个角是550的两个等腰三角形；B 、两个等边三角形； C 、腰长相等的两个等腰直角三角形；D 、各有一个角是500，腰长都为6cm 的两个等腰三角形. 3、如图，已知：AB ∥CD ，AB=CD，若要使△ABE ≌△CDF, 仍需添加一个条件， 下列条件中，哪一个不能使△ABE ≌△CDF 的是（ ） A 、∠A=∠B ; B 、BF=CE; C 、AE ∥DF; D 、AE=DF.
4、若等腰三角形中有一个角等于50°，则等腰三角形的顶角度数为 。 5、如图，已知BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，且BE=CF，判断AD 是△ABC 的中线还是角平分线？ 说明你的理由。 A
三、小结：今天我们的收获：·知识与能力拓展：中考真题：已知：如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC=BE, DG ⊥CE,G 是垂足，
求证：（1）G 是CE 中点（2）∠B=2∠BCE
四、家庭作业：
1、在△ABC 和△A ' B ' C ' 中，①AB=A ' B ' ②BC=B ' C ' ③AC=A ' C ' ④∠A=∠A ' ⑤∠B=∠B ' ⑥∠C=∠
C ' ，下列条件中，不能保证△ABC ≌△A ' B ' C ' 的是（ ）
A①②③ B①②⑤ C②④⑤ D①③⑤ 2、（1）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为 。
（2）等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的腰长为 。 3、如图1线段AC 与BD 交于点O ，且OA=OC，请添加一个条件，
使△OAB ≌△OCD
4、如图2，△ABC 中AB ＝AC ，点Ｄ在AC 上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为
图1
图2
A C
5、已知等腰三角形的两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为 6、如图3，A 、B 、F 、D 在同一直线上，AB=DF，AE=BC，且AE ∥BC 。
求证：（1）△AEF ≌△BCD ，(2)EF∥CD
图A B F
D
第七讲 证明（二）
目标：关于三个知识点问题 知识点1：勾股定理及其逆定理；知识点2：互逆命题与互逆定理；知识点3：直角三角形全等的判定定理（HL ）
重点难点：利用好以上三个知识点进行证明；添加辅助线是难点。 教学过程： 导入
知识点1：勾股定理及其逆定理
（1）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）勾股定理的应用：①已知直角三角形的两边求第三边；
②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；③用于证明有关线段平方关系的问题。
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形两直角边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
（4）勾股定理的逆定理的应用：判断一个三角形是否为直角三形。
（5）勾股定理的各种表达式：在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，则有a 2=c2-b 2，b2=c2-a 2
，c 2=a2+b2，
c=
，
a=。
知识点2：互逆命题与互逆定理
（1）互逆命题：将一个命题的条件与结论互换，就得到这个命题的逆命题。相对于逆命题来说，原来的命题叫做原命题，原命题与逆命题是互逆关系，因而是相对的，我们将原命题与逆命题称为互逆命题。原命题正确，逆命题不一定正确，如命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”是正确的，而它的逆命题“如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等”是错误的。正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，所以一对互逆命题的真假性不一定一致。
（2）互逆命题定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，我们就说这两个定理为互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。如“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”是一对互逆定理。 知识点3：直角三角形全等的判定定理（HL ）
（1）定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 （2）定理的应用：判定两个直角三角形全等。
（3）判定两个直角三角形全等的方法共有五种：SAS 、AAS 、ASA 、SSS 、HL 二、典型例题分析： 例题1 如图,CD ⊥AD,CB ⊥AB,AB=AD. 求证:CD=CB.
C B
E 例题2
如图，AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交高AD 于点F ，且BF=AC，FD=CD求证：BE ⊥AC
例题3
点A 、E 、F 、C 在一条直线上，AE=CF，过点E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，若AB=CD。 （1）求证：BD 平分EF 如图
E C F
D
（2）若将△DEC 的；边EC 沿AC 方向平行移动变为如图1-2时，其余条件不变，（1）的结论是否成立？请说明理由。
E F
C
二、 当堂过关：
1、写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假。 （1）等腰三角形的两底角相等；
（2）三角形的三内角之比为1：1：2，则三角形为等腰直角三角形； （3）三内角之比为1：2：3的三角形为直角三角形； （4）矩形的两组对边相等。
2、如图，在△ABC 中，BC=AC，P 为AB 上一点，求证：PC 2+PB·PA=BC2
3、如图, 在△ABC 中,D 是BC 上的一点, 已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5,求CD 的长.
D
C
三、 小结：今天我们的收获：
·知识与能力拓展：如图，P 为等边△ABC 内一点，PC=3，PB=4，PA=5，求∠BPC 的度数。
B
四、 家庭作业：
1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=900，AB=5，BC=3，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长。
2、如图，一架2.5m 长的梯子AB ，斜靠在一坚直的墙上AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯足将向外移动多少米？ A
A1
B
B1
B C
3、如图，把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB=∠DEC=900，∠A=450，∠D=300，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转150得到△D ′CE ′(如图(2)),这时AB 与CD ’相交于点O,D ′E ′与AB 相交于点F.
（1）求∠OFE ′的度数； （2）求线段AD ′的长。
B
（1） 4、如图（2），Rt △ABC ≌Rt △CDE ，∠B=∠D=900，且B 、
C 、D 三点共线，试证明∠ACE=900。
a c
b C
图（2）
E b D
5、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的直角边OA 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转到△OA ′B ′，使点B 的对应点B ′落在y 轴的正半轴上，已知OB=2，∠BOA=300。
（1）求点B 与点A ′的坐标； （2）求经过点B 与点B ′的直线所对应的一次函数解析式, 并判断断点A ′是否在直线BB ′上.
21
第八讲 证明（2）
课题：线段的垂直平分线
重点难点：线段的垂直平分线的性质定理及逆定理。综合运用这两个定理。 教学过程： 一. 复习
1. 线段的垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 （1）推理过程：如图1所示
MN ⊥AB ，QA =QB ∴PA =PB
M P
A B
N
图1
（2）作用：证明线段相等。 2. 线段垂直平分线的判定定理
和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 （1）推理过程：如图1所示 ∵PA=PB
∴点P 在AB 的垂直平分线MN 上。
（2）作用：证明点在线段的垂直平分线上。 3. 线段的垂直平分线的两种定义
（1）垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。
（2）线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
22
注意：
线段的垂直平分线的性质定理与判定定理互为逆定理。在运用时，要分清题设和结论，合理运用。在计算和证明中，出现了线段的垂直平分线时，常连结线段垂直平分线上的点与线段的两个端点，从而得到线段相等。
一、典型例题分析
例1. 在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。
分析：由已知DE 为AB 的中垂线，故AF=BF，故建立了△BCF 的周长与AC 的联系。 解：如图所示，∵DE 垂直平分AB ， ∴FA=FB
∴△BCF 的周长=BC+CF+FB =BC+CF+FA=BC+CA =4+6=10
例2. 如图所示，AC=AD，BC=BD，AB 与CD 相交于点E 。求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
A
D E
B
证明：∵AC=AD（已知），
∴A 在CD 的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理） ∵BC=BD（已知）
∴B 在CD 的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理） ∵过A 、B 两点只有一条直线（直线的性质） ∴直线AB 是线段CD 的垂直平分线
说明：（1）本题还可运用线段的垂直平分线的定义证，先证∆ACB ≅∆ADB (SSS ) 得到
∠CAB =∠DAB ，再运用等腰三角形三线合一性质得AE ⊥CD ，CE =ED 。所以AB 是CD 的垂
直平分线。
（2）注意：CD 是AB 的垂直平分线与AB 是CD 的垂直平分线是完全不同的，其位置是不能互换的。
例3. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC，，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE ⊥AB ，FG ⊥AC ，
23
E 、G 在BC 上，BC=15cm，求EG 的长度。
A
分析：由已知：DE 、GF 分别为AB 、AC 的中垂线，通常连结AE 、AG ，利用垂直平分线性质得AE=EB，AG=GC，再利用等腰三角形性质和已知条件证得△AEG 是等边三角形即可。 解：连结AE 、AG 。
∵D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE ⊥AB ，FG ⊥AC
∴DE 、GF 分别为AB 、AC 的垂直平分线 ∴AE=EB，AG=GC。
（线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等） ∴∠EAB =∠B ，∠GAC =∠C （等边对等角） 又 AB =AC ，∠BAC =120° ∴∠B =∠C =30°（等边对等角）
∴∠EAB =∠GAC =30°∴∠EAG =60°
又∠AEG =∠B +∠EAB =30°+30°=60° 同理∠AGE =60° ∴△AEG 是等边三角形。
∴AE =EG =AG ∴BE =EG =CG BC =15cm
11
BC =⨯15=5cm 33
A
∴EG =
说明：有线段的垂直平分线时，通常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来。
例4. 如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。
24
C
E
A D B
分析：由BD=BC，要证BE 垂直平分CD ，只要证BF ⊥CD ，或证∠CBF =∠DBF 即可。 证法1： BD =BC ，
∴点B 在CD 的垂直平分线上 又∵BD=BC
=∠B D C ∴∠B C D
∠ACB =90°，DE ⊥AB ∴∠ACB =∠EDB
∴∠ACB -∠BCD =∠EDB -∠BDC 即∠EDC 、∠ECD
∴ED =EC
∴点E 在CD 的垂直平分线上 ∴BE 是CD 的垂直平分线。 证法2： ED ⊥AB
是Rt ∆ ∴∆E D B
又BD=BC，BE=BE
∴Rt ∆EDB ≅Rt ∆ECB ∴∠EBD =∠EBC ∴BE 是∠DBC 的角平分线 BD =BC
∴∆BDC 是等腰三角形
∴BF ⊥DC ，CF =DF
即BE 垂直平分CD
例5. 如图所示，AB>AC，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：BE=CF。
A
C F
25
分析：欲证BE=CF，没有全等三角形，需构造，由条件MD 垂直平分BC 可知，连结BD 、DC ，显然∆BED ≅∆FCD ，即可证BE=CF。 证明：连结BD 、DC
DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠BED =∠F =90° AD 平分∠BAF
∴DE =DF
∵DM 是BC 的垂直平分线 ∴BD=CD
在Rt △BED 和Rt △CFD 中
⎧BD =CD ⎨
⎩DE =DF
∴∆BED ≅∆CFD
∴BE =CF
二、当堂过关： 填空题
1. 如图所示，∠BAC =100°，若MP 、NQ 分别垂直平分AB 、AC ，则∠PAQ 的度数为____________。
2. 如图所示，△ABC 中，AB=AC，
AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于E ，交AC 于F ，
∠A =50°，AB +BC =6，则△BCF 的周长=__________，∠EFC =_______。
E C B
26
3. 如图所示，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，DB=10，则AC=_____________。
C D B
4. 如图所示，等腰△ABC 中，AB=AC=20，DE 垂直平分AB 。若△DBC 的周长为35，则BC=____________；若BC=13，则△DBC 的周长为___________。
A
B C
5. △ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线交边BC 于D ，连结AD 。若
∠BAD -∠DAC =22. 5°，则∠B =___________。
三、小结：今天我们的收获：·知识与能力拓展：如图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，D 是BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，且在BD 的垂直平分线上，DE 交AC 于F 。求证：E 在AF 的垂直平分线上。
A
四、家庭作业：
1. 已知：O 为锐角△ABC 的三边中垂线的交点，求证：∠BOC =2∠A 。
27
2. △ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，CE//AD交BA 的延长线于E ，CF ⊥AD 交AB 于F 。求证：
（1）△ACE 是等腰三角形； （2）AD 是CF 的垂直平分线。
28
第九讲 证明（2）
课题：角的平分线
目标：1. 经历角的平分线性质的证明过程，掌握角的平分线的性质定理及其、逆定理． 2. 能运用角的平分线性质定理及其逆定理解决有关问题.
3. 通过观察、类比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，提高解决问题的能力。
重点难点：角平分线的性质定理和逆定理的应用是重点．性质定理和判定定理的区别和灵活运用是难点． 教学过程： 导入
一、情境导航：
如图，两条小河交汇形成的三角区，土壤肥沃，气候宜人，小猪看中了这块宝地，想在这里建
一个小房子，并使房子到两条小河的距离相等，但它不知该如何选址，你能帮帮它吗？
二、复习回顾：
1、如图，点P 是的∠BAC
E ⊥AC 于点E ，已知PE=3，则点P 到AB
三、探究新知：
你能用逻辑推理的方法加以证明吗？
已知：OP 平分∠ＡＯＢ，PD ⊥OA,PE ⊥OB 垂足分别为D 、E 。求证：PD ＝PE 。
证明：
O
1、请你说出角平分线性质定理的逆命题为：
2、这个命题是否正确？你能用逻辑推理的方法加以验证吗？试一试。
已知：如图, QD⊥OA,QE ⊥OB 垂足分别为D 、E ，且QD=QE。
求证：点Q 在∠ＡＯＢ的平分线上（即OQ 平分∠ＡＯＢ）
29
证明：
四、当堂过关 基础运用：
1、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线上一点，P E ⊥AB 于点E ，P F ⊥AD 于点F, 已知PF=5，则2、如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠
能力提升：
3、如图，已知△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ， 求证：点F 在∠DAE 的平分线上
想一想：通过刚才的练习，你认为角平分线的的两个定理有什么区别？它们各有什么作用？在应用时应注意什么？
拓展延伸：
1、如图, △ABC 的角平分线BM,CN 相交于点P, 思考：点P 在不在∠BAC 的平分线上？
A
N
30
M
想一想： 通过本题的证明，你能得到关于三角形的角平分线的一个什么结论？
. 要使这个度假村到三条公路的距离相等, 应在何处修建?
2、直线表示三条相互交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 则可供选择的地址有:( )
A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处
五、小结：今天我们的收获： 通过本节的学习，你有哪些收获？与你的同伴交流一下。
·知识与能力拓展：已知:BD⊥AM 于点D,CE ⊥AN 于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F 在∠A 的平分线上. （你有几种方法？哪种方法简便？）
A
B
N
六、家庭作业：
1、关于三角形的角平分线的说法错误的是（ ）
A. 两角平分线的交点在三角形内 B. 两角平分线的交点在第三个角的平分线上
C. 两角平分线的交点到三边的距离相等 D. 两角平分线的交点到三个顶点的距离相等
2、如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AD 为∠CAB 的平分线，交BC 于D ，BC=5，BD=2则点D 到AB 的距离为 31
3、如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，且BE ＝CF 。 求证：AD 是△ABC 的角平分线。
A
D
C
变式训练：若已知AD 是△ABC 的角平分线。求证：BE ＝CF 。
第十讲 证明(2)单元测试
九年级数学（上）单元评估试卷
第一 章 证明（二）（总分：100分；时间：
32
分）
姓名 学号 成绩
A 35° B 40° C 70° D 110°
2、三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（ ） A 1 个 B 2 个 C 3个 D 不确定
1
3、适合条件∠A =∠B =∠C 的三角形一定是（ ）
3
A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形
4、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ） A ①②④ B ②④ C ①④ D ②③
5、如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B ＝∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是 （ ） A AD＝AE B ∠AEB ＝∠ADC C BE＝CD D AB＝AC
E
A (第5题图) (第6题图)
6、如图，⊿ABC ≅⊿FED ，那么下列结论正确的是 （ ） A EC = BD B EF∥AB C DE = BD D AC∥ED
7、等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（ ） A 17 B 22 C 13 D 17或22
8、有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形 （ ） A 必定全等 B 必定不全等 C 不一定全等 D 以上答案都不对
9、以下命题中，真命题的是（ ） A 两条直线相交只有一个交点 B 同位角相等
C 两边和一角对应相等的两个三角形全等 D 等腰三角形底边中点到两腰相等
10、面积相等的两个三角形 （ ） A 必定全等 B 必定不全等 C 不一定全等 D 以上答案都不对
二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。每小题
3
分，共24分）。 11、如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是.
12、⊿ABC 中，∠A 是∠B 的2倍，∠C 比∠A + ∠B 还大12︒，那么∠B 度
13、在方格纸上有一三角形ABC ，它的顶点位置如图所示，则这个三角形 是 三角形.
14、如图：△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB 。
15、等腰直角三角形一条直角边的长为1cm ，那么它斜边长上的高是 cm.
33
(第12题图) (第13题图)
16、在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC ；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题： 17、在△ABC 中，边AB 、BC 、AC 的垂直平分线相交于P ，则PA 、PB 、PC 的大小关系是 . 18、已知⊿ABC 中，∠A = 900，角平分线BE 、CF 交于点O ，则∠BOC = 三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
19、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，若BF=AC，求∠ABC 的度数是
20、如图，△ABC 中，∠C=Rt∠，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BD ∶DC=2∶1，BC=7.8cm，求D 到AB 的距离
21、已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD. 求证：OB=OC
22、已知：如图，P 、Q 是△ABC 边BC 上两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC 的度数.
23、已知：如图，等腰梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB=CD，点E 为梯形外一点，且AE=DE.求证：BE=CE．
34
四、勇敢闯一闯：（本大题共 2小题，每小题 8分，共16分）
24、已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上.
25、已知：如图，D 是等腰ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF 。当D 点在什么位置时，DE=DF？并加以证明.
证明二 单元复习讲解与测试
讲解
（一）选择题：
35
1. 设M 表示直角三角形，N 表示等腰三角形，P 表示等边三角形，Q 表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示他们之间关系的是（ ）
答案：A
2. 具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ） A. 顶角、一腰对应相等 B. 底边、一腰对应相等 C. 两腰对应相等 D. 一底角、底边对应相等 答案：C
3. △ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于点D ，若BC=a，则AD 等于（ ）
1
A . a 2
B .
a 2
3C . a 2
D . 3a
答案：C
4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 若a=b，则|a|=|b|
C. 末位是零的整数能被5整除 D. 直角三角形的两个锐角互余 答案：D
5. 如图，△ABC 中，AB=AC，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD，则∠A 的度数为（ ） A. 30° B. 36° C. 45° D. 70° 答案：B
6. 下列说法错误的是（ ）
A. 任何命题都有逆命题 B. 定理都有逆定理 C. 命题的逆命题不一定是正确的 D. 定理的逆定理一定是正确的 答案：B （二）填空题：
1. 如果等腰三角形的一个角是80°，那么另外两个角是____________度。 答案：50°，50°或80°，20°
2. 等腰三角形底角15°，则等腰三角形的顶角、腰上的高与底边的夹角分别是__________。 答案：150°，75°
3. 在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC ；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：____________。
答案：在△ABC 和△ADC 中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC ，那么BC=DC。
4. 如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知：AB=8cm，BC=10cm，则△EFC 的周长=____________cm。
答案：12cm （三）作图题：
已知：如图，△ABC 中，AB=AC。 （1）按照下列要求画出图形：
①作∠BAC 的平分线交BC 于点D ； ②过D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ； ③过D 作DF ⊥AC ，垂足为点F 。
（2）根据上面所画的图形，求证：EB=FC。 答：①②③略
36
（2）证：
AB =AC
⎫
⎬⇒∠BAD =∠DAC
AD 平分∠BAC ⎭
DE ⊥AB DF ⊥AC
⇒DE =DF ∠B =∠C ∠BED =∠DFC
⇒△EBD ≌△FCD ⇒EB =FC
（四）阅读下题及其证明过程：
已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE 。
证明：在△AEB 和△AEC 中，
⎧EB =EC ⎪
⎨∠ABE =∠ACE ⎪AE =AE ⎩
∴△AEB ≌△AEC （第一步） ∴∠BAE=∠CAE （第二步） 问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪？ 答：错 无SSA （五）解答题：
1. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=10cm，求△ODE 的周长；
解：△DOE 的周长为10cm ，提示：证OD=BD，OE=EC
2. 如图，在△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E 。
（1）已知CD=4cm，求AC 的长； （2）求证：AB=AC+CD。 解：（1） 先证DE=EB， 再求DB =42cm ，∴AC =(4+4) cm
（2） 证△ACD ≌△AED ，即得AC=AE，∴AB=AC+CD
3. 已知：如图，D 是等腰△ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF 。
（1）当D 点在什么位置时，DE=DF
？并加以证明。
（2）探索DE 、DF 与等腰△ABC 的高的关系。 解：（1）D 为BC 中点时，DE=DF，证明略。
37
（2）DE+EF＝等腰△ABC 腰上的高
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE 、DF 分别是△ABD 和△ACD 的高。 求证：AD 垂直平分EF 。
证：
先证△ADE ≌△ADF ⇒AE =AF ⎫
⎬⇒AD 为EF 的垂直平分线
再证DE =DF ⎭
5. 如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM ，△CBN 是三角形，直线AN ，MB 交于点F 。
等边
图1 图2
（1）求证：AN=BM；
（2）求证：△CEF 为等边三角形；
（3）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立。（不要求证明） 解： （1）证△ACN ≌△BCM （2）
证△CEN ≌△CBF ⇒EC =CF
⎫
⎬⇒等边△CEF
∠ECF =60°⎭
（3）（1）成立；（2）不成立
38
【模拟试题】（答题时间：60分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列判断正确的是（ ）
A. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B. 有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2. 具有下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是（ ） A. 顶角、一腰对应相等 B. 底边、一腰对应相等 C. 两腰对应相等 D. 一底角、底边对应相等 3. 在平面直角坐标系xoy 中，已知A （2，－2），在y 轴上确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三边中垂线的交点
5. 角平分线的尺规作图，其根据是构造两个全等三角形，由作图可知：判断所构造的两个三角形全等的依据是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS
6. 一架长2.5m 的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端0.7m ，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m ，那么梯子底端将滑动（ ） A. 0.9m B. 1.5m C. 0.5m D. 0.8m
7. △ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，CD ⊥AB 于点D ，若BC=a，则AD 等于（ ）
1
a 2 A.
3
a D. 3a 2
8. 如图，△ABC 中，AB=AC，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD，度数为（ ） A. 30° B. 36° C. 45° D. 70°
9. 如图，等边△ABC 中，BD=CE，AD 与BE 相交于点P ，则∠
a 2B.
C.
则∠A 的
APE 的度
数是（ ）
A. 45° B. 55° C. 60° D. 75° 二、填空题：（每小题3分，共30分）
10. 如图，已知AC=DB，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是________或________。
11. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以△ABC 的各边为边在△ABC 外作三个正方形，
S 1、S 2、S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3=225，则S 2=________。
12. 等腰三角形的腰长为2cm ，面积等于1平方cm ，则它的顶角的度数为________。
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13. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=10cm，则△ODE 的周长________。
14. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交于D 点，则∠BCD 的度数是________。
15. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD 的长为________。
16. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是________。 17. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC=DE；③
∠DBC =
1
∠DAB 2；④△ABC 是正三
角形。请写出正确结论的序号________（把你认为正确结论的序号都填上）。
三、（每小题6分，共12分）
18. 已知：如图，D 是等腰△ABC 底边BC 上一点，它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF 。当D 点在什么位置时，DE=DF？并加以证明。
19. 如图是第七届国际数学教育大会的会徽。它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的。设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且
OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=„„=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积。
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四、（每小题8分，共18分）
20. 如图，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，有下面四个论断：
（1）AD=CB；
（2）AE=CF；
（3）∠B=∠D ；
（4）AD ∥BC 。
请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编出一道题。
21. 如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD 、CD 的长。
22. 如图（1）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c 。图（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，指出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？在图（3）中画出拼后的示意图（无需证明）。
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