20**年高中数学竞赛--凸函数与琴生不等式

高中数学竞赛选讲——凸函数与琴生不等式

作者 阿道夫 2012.10.12

1.定义：设f(x)在区间I上有定义,如果对任意x1,x2I和实数(0,1)总有

f(x1(1)x2)f(x1)(1)f(x2) (1)

成立，则称f(x)在区间I上为下凸函数。如果x1x2，（1）式严格不等式成立，则称f(x)在间区I上为严格下凸函数。若（1）式中不等号反向，则称f(x)在区间I上为上凸函数。 1）.从图像上认识、理解，几何意义。弦的中点总在曲线上或一侧。

凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点A1与A2之间的部分位于弦A1A2的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点A1与A2之间的部分位于弦A1A2的上方。

简记为：形状凹下凸

2）.从导数的角度来理解。

凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=f(x)随x增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=f(x)随x增大而减小；

简记为：斜率凹增凸减。

3）.正项函数的变形。f(x1)f(x2)f(xn)f(奥数教程中的练习题3.

4）.琴生不等式：(琴生（Jensen）不等式)若f为[a,b]上凸函数，则对任意

x1x2xn

) （取对数的结果） ….

n

nn

xi[a,b],i0(i1,2,,n),i1,有 fixiif(xi).

i1i1i1

n

证 应用数学归纳法，当n2时，由定义1命题显然成立，设nk时命题成立，即对任意x1,x2,,xk[a,b]及i0,i1,2,,k,



i1

k

i

1，都有

kk

fixiif(xi). i1i1

现设x1,x2,,xk,xk1[a,b]及

i0(i1,2,,k1),i1

i1

k

i

令i,i1,2,,k,则i1由数学归纳法假设可推得

1k1i1

k1

f(1x12x2kxkk1xk1)

=f(1k1)

1x12x2kxk

k1xk11k1

(1k1)f(1x12x2kxk)k1f(xk1)

(1k1)1f(x1)2f(x2)kf(xk)k1f(xk1)

k2

(1k1)1f(x1)f(x2)f(xk)

1k11k11k1

k1f(xk1)if(xi)。

i1k1

这就证明了对任何正整数n(2)，凸函数f总有不等式成立。 □

2. 理论补充：

引理 f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上的任意三点x1x2x3，总有

f(x2)f(x1)f(x3)f(x2) （3）

x2x1x3x2

(分析) 必要性 要证(3)式成立, 需证

(x3x2)f(x2)(x2x1)f(x2)(x3x2)f(x1)(x2x1)f(x3)

即. (x3

x1)f(x2)(x3x2)f(x1)(x2x1)f(x3),

记

x3x2

，则x2x1(1)x3，由f的凸性易知上式成立.

x3x1

I

上任取两点x1,x3(x1x3),在[x1,x3]上任取一点

充分性 在

x2x1(1)·x3,(0,1),即

x3x2

，由必要性的推导逆过程，可证得

x3x1

f(x1(1)x3)f(x1)(1)f(x3),

故f为I上的凸函数。 □

注 同理可证，f为I上的凸函数的充要条件是：对于I上任意三点x1x2x3，有

f(x2)f(x1)f(x3)f(x1)f(x3)f(x2)

（4） 

x2x1x3x1x3x2

定理1.设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：

1 f为I上凸函数； 2 f'为I上的增函数； 3 对I上的任意两点x1,x2，有

f(x2)f(x1)f'(x1)(x2x1) （5）

(分析) (12) 要证f'为I上的递增函数, 只需任取I上两点x1,x2(x1x2)及充

分小的正数h，证明

f(x1)f(x1h)f(x2h)f(x2) 成立,

hh

由f是可导函数，令h0时便可得结论.

由于x1hx1x2x2h，根据f的凸性及引理有



f(x1)f(x1h)f(x2)f(x1)f(x2h)f(x2)

. 

hx2x1h

(23)在以x1,x2(x1x2)为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和f'递增条件，有

f(x2)f(x1)f'()(x2x1)f'(x1)(x2x1)

移项后即得（5）式成立，且当x1x2时仍可得到相同结论

(31)设以x1,x2为I上任意两点，x3x1(1)x2,01。由3，并利用x1x3(1)(x1x2)与x2x3(x2x1)，

f(x1)f(x3)f'(x3)(x1x3)f(x3)(1)f'(x3)(x1x2)， f(x2)f(x3)f'(x3)(x2x3)f(x3)f'(x3)(x2x1)

分别用和1乘上列两式并相加，便得

f(x1)(1)f(x2)f(x3)f(x1(1)x2)

从而f为I上的凸函数。



注1 论断3的几何意义是：曲线yf(x)总是在它的任一切线的上方（图6-14）。这是可导凸函数的几何特征。

定理2 设f

为区间I上的二阶可导函数，则在I上f为凸（凹）函数的充要条件是

f(x)0(f(x)0),xI.

3.例题选讲：

1.若函数ysinx在区间(0,)上是凸函数，那么在ABC中， sinAsinBsinC的最大值为

2.若a1,a2,an是一组实数，且a1a2ank(k为定值)，试求：a1a2an的最小值

分析：f(x)x2在(,)上是凸函数

a1a2an2k21222

(a1a2an)()2

nnn

k2222

a1a2an

n

当且仅当a1a2an时，取等号

222

3.已知xi0,(i1,2,,n)，n2,x1x2xn1， 111求证：(1)n(1)n(1)nn(n1)n

x1x2xn

1111111证：[(1)n(1)n(1)n](1)n(1)n(1)n

nx1x2xnx1x2xn

11

bnnb1b2b1b2bnn

(利用结论：[(1)(1)(1)]1());

a1a2ana1a2an

111111n111n1([(1(1)n1[(1)()()]1xxxx1x1x2x2xnxnx1x2xn

12n

1x1x21xn1(1n又x12xnx1x2nnn

(1

11

1n11

)(1)n(1)nn(n1)n x1x2xn

4.若P为ABC内任一点，求证PAB、PBC、PCA中至少有一个小于或等于30；证：设PAB、PBC、PCA，且PAC'、PBA'、PCB';PAsinPBsin'



依正弦定理有：PBsinPCsin'sinsinsinsin'sin'sin'

PCsinPAsin'(sinsinsin)2sinsinsinsin'sin'sin'

sinsinsinsin'sin'sin'6

)

6

'''1sin6()()6

62

1

sinsinsin()3

2

1

在、、,中必有一个角满足sin

2

30,否则150时，、中必有一个满足30

(

xy

)xlnxylny(x1,y1). 2

f(t)tlnt,t1，则

5.证明 ：(xy)ln(

证明 ：构造函数 则

f(t)f(t)(f(t))2(ln2tlnt1)0.

f(t)tlnt,t1为对数性上凸函数，则

xyxy()ln()[(xlnx)(ylny)]2 222

1

而

[(xlnx)(ylny)](

1

2

xlnxylny

2

故

xyxyxy)ln()lnxlny 22222

xlny

y ln

xy(xy)l)x即

2

6. 证明不等式(abc)

证 设

abc3

aabbcc，其中，a,b,c均为正数。

f(x)xlnx,x0.由f(x)的一阶和二阶导数

f(x)

1 x

f'(x)lnx1,

可见，

f(x)xlnx,x0.时为严格凸函数，依詹森不等式有

abc1f(f(a)f(b)f(c)),

33

从而

abcabc1ln(alnablnbclnc), 333

即

abc

3

abc

aabbcc

abc

3

abcabc,所以(abc)又因

3

7.奥数教程中的补例1 8. 奥数教程中的补例8 9. 奥数教程中的练习题2

补充练习：

aabbcc

1.若xiR(1in),xi1，求证：(x1



i1

n

1111

)(x2)(xn)(n)n; x1x2xnn

2.已知x0,y0,x2y21，求证:x3y32xy;

3.A、B、C为ABC的三个内角，求证：cosAcosBcosC

3

; 2