思考题与习题
1．指出在下列情况下，各会引起哪种误差？如果是系统误差，应该采用什么方法减免？
（1） 砝码被腐蚀；
（2） 天平的两臂不等长；
（3） 容量瓶和移液管不配套； （4） 试剂中含有微量的被测组分； （5） 天平的零点有微小变动；
（6） 读取滴定体积时最后一位数字估计不准； （7） 滴定时不慎从锥形瓶中溅出一滴溶液；
（8） 标定HCl 溶液用的NaOH 标准溶液中吸收了CO 2。
答:（1）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （2）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （3）系统误差中的仪器误差。减免的方法：校准仪器或更换仪器。 （4）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。 （5）随机误差。
（6）系统误差中的操作误差。减免的方法：多读几次取平均值。 （7）过失误差。
（8）系统误差中的试剂误差。减免的方法：做空白实验。
2．如果分析天平的称量误差为±0.2mg ，拟分别称取试样0.1g 和1g 左右，称量的相对误差各为多少？这些结果说明了什么问题？
解：因分析天平的称量误差为±0. 2mg 。故读数的绝对误差Ea =±0. 0002g 根据Er =
Ea T
⨯100%可得
Er 0. 1g =
±0. 0002g 0. 1000g
±0. 0002g 1. 0000g
⨯100%=±0. 2%
Er 1g =⨯100%=±0. 02%
这说明，两物体称量的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，相对误差就比较小，测定的准确程度也就比较高。
3．滴定管的读数误差为±0.02mL 。如果滴定中用去标准溶液的体积分别为2mL 和20mL 左右，读数的相对误差各是多少？从相对误差的大小说明了什么问题？
解：因滴定管的读数误差为±0. 02mL ，故读数的绝对误差Ea =±0. 02mL
根据Er =
Ea T
⨯100%可得
±0. 02mL 2mL ±0. 02mL 20mL
Er 2mL =
⨯100%=±1%
Er 20mL =
⨯100%=±0. 1%
这说明，量取两溶液的绝对误差相等，但他们的相对误差并不相同。也就是说，当被测定的量较大时，测量的相对误差较小，测定的准确程度也就较高。
4．下列数据各包括了几位有效数字？
（1）0.0330 (2) 10.030 (3) 0.01020 (4) 8.7×10-5 (5) pKa=4.74 (6) pH=10.00 答：（1）三位有效数字 （2）五位有效数字 （3）四位有效
数字 （4） 两位有效数字 （5） 两位有效数字 （6）两位有效数字
5．将0.089g Mg2P 2O 7沉淀换算为MgO 的质量，问计算时在下列换算因数（2MgO/Mg2P 2O 7）中取哪个数值较为合适：0.3623,0.362,0.36？计算结果应以几位有效数字报出。
答:：0.36 应以两位有效数字报出。
6．用返滴定法测定软锰矿中MnO 2的质量分数，其结果按下式进行计算：
ωMnO =126. 07
2
(
0. 8000
-8. 00⨯0. 1000⨯10
0. 5000
-3
⨯
52
) ⨯86. 94
⨯100%
问测定结果应以几位有效数字报出？ 答:：应以四位有效数字报出。
7．用加热挥发法测定BaCl 2·2H 2O 中结晶水的质量分数时，使用万分之一的分析天平称样0.5000g ，问测定结果应以几位有效数字报出？ 答:：应以四位有效数字报出。
8．两位分析者同时测定某一试样中硫的质量分数，称取试样均为3.5g ，分别报告结果如下：
甲：0.042%,0.041%；乙：0.04099%,0.04201%。问哪一份报告是合理的，为什么？
答:：甲的报告合理。因为在称样时取了两位有效数字，所以计算结果应和称样时相同，都取两位有效数字。
9．标定浓度约为0.1mol ·L -1的NaOH ，欲消耗NaOH 溶液20mL 左右，应称取基准物质H 2C 2O 4·2H 2O 多少克？其称量的相对误差能否达到0. 1%？若不能，可以用什么方法予以改善？若改用邻苯二甲酸氢钾为基准物，结果又如何？ 解：根据方程2NaOH+H2C 2O 4·H 2O==Na2C 2O 4+3H2O 可知，
需H 2C 2O 4·H 2O 的质量m 1为： m 1= 相对误差为 Er 1=
0. 1⨯0. 020
2
⨯126. 07=0. 13g
0. 0002g 0. 13g
⨯100%=0. 15%
则相对误差大于0.1% ，不能用H 2C 2O 4·H 2O 标定0.1mol ·L -1的NaOH ，
可以选用相对分子质量大的作为基准物来标定。 若改用KHC 8H 4O 4为基准物时，则有：
KHC8H 4O 4+ NaOH== KNaC8H 4O 4+H2O 需KHC 8H 4O 4的质量为m 2 ，则 m 2= Er 2=
0. 1⨯0. 020
2
⨯204. 22=0. 41g
0. 0002g 0. 41g
⨯100%=0. 049%
相对误差小于0.1% ，可以用于标定NaOH 。
-1
10．有两位学生使用相同的分析仪器标定某溶液的浓度（mol ·L ），结果如下：
甲：0.12,0.12,0.12（相对平均偏差0.00%）；
乙：0.1243,0.1237,0.1240（相对平均偏差0.16%）。 你如何评价他们的实验结果的准确度和精密度？
答：乙的准确度和精密度都高。因为从两人的数据可知，他们是用分析天平取样。所以有效数字应取四位，而甲只取了两位。因此从表面上看甲的精密度高，但从分析结果的精密度考虑，应该是乙的实验结果的准确度和精密度都高。
11．当置信度为0.95时，测得Al 2O 3的μ置信区间为（35.21±0.10）%，其意义是（ ）
A. 在所测定的数据中有95%在此区间内；
B. 若再进行测定，将有95%的数据落入此区间内； C. 总体平均值μ落入此区间的概率为0.95； D. 在此区间内包含μ值的概率为0.95； 答：D
12. 衡量样本平均值的离散程度时，应采用（ ）
A. 标准偏差
B. 相对标准偏差 C. 极差
D. 平均值的标准偏差 答：D
13. 某人测定一个试样结果应为30.68%，相对标准偏差为0.5%。后来发现
计算公式的分子误乘以2，因此正确的结果应为15.34%，问正确的相对标准偏差应为多少？ 解：根据S r 1=
S
-
⨯100%
S 30. 68%
x
得 0. 5%=
⨯100%
则S=0.1534%
0. 1534%15. 34%
⨯100%=1. 0%
当正确结果为15.34%时， S r 2=
S
-
⨯100%=
x
14. 测定某铜矿试样，其中铜的质量分数为24.87%。24.93%和24.69%。真
值为25.06%，计算：（1）测定结果的平均值；（2）中位值；（3）绝对误差；（4）相对误差。
解：（1）x =
-
24. 87%+24. 93%+24. 69%
3
-
=24. 83%
（2）24.87%
（3）Ea =x -T =24. 83%-25. 06%=-0. 23% （4）E r =
E a T
⨯100%=-0. 92%
15. 测定铁矿石中铁的质量分数（以W Fe
2O 3
表示），5次结果分别为：67.48%，
67.37%，67.47%，67.43%和67.40%。 计算：（1）平均偏差（2）相对平均偏差 （3）标准偏差；（4）相对标准偏差；（5）极差。
解：（1）
-
x =
67. 48%+67. 37%+67. 47%+67. 43%+67. 40%
5
d =
--
=67
1n
∑
-
|d i |=
0. 05%+0. 06%+0. 04%+0. 03%
5
=0. 04%
（2）d r =（
S =
d x
⨯100%=
0. 04%67. 43%
⨯100%=0. 06%
3
(0. 05%)
2
）
+(0. 03%)
2
∑
d i
2
n -1
=
+(0. 06%)
2
+(0. 04%)
2
5-1
=0. 05%
（4）S r =
S
-
⨯100%=
0. 05%67. 43%
⨯100%=0. 07%
x
（5）X m =X大-X 小=67.48%-67.37%=0.11%
16. 某铁矿石中铁的质量分数为39.19%，若甲的测定结果（%）是：39.12，
39.15，39.18；乙的测定结果（%）为：39.19，39.24，39.28。试比较甲乙两人测定结果的准确度和精密度（精密度以标准偏差和相对标准偏差表示之）。 解：甲：x 1=
-
∑
-
x n
=
39. 12%+39. 15%+39. 18%
3
=39. 15%
Ea 1=x -T =39. 15%-39. 19%=-0. 04% S 1=
∑d
2i
n -1
=
(0. 03%)
2
+(0. 03%)
2
3-1
=0. 03%
S r 1= 乙：x 2=
-
S 1
-
⨯100%=
0. 03%39. 15%
⨯100%=0. 08%
x
39. 19%+39. 24%+39. 28%
3
-
=39. 24%
Ea 2=x =39. 24%-39. 19%=0. 05% S 2= Sr 2=
∑d
S 2
-
2i
n -1
=
(0. 05%)
2
+(0. 04%)
2
3-1
0. 05%39. 24%
=0. 05%
⨯100%=
⨯100%=0. 13%
x 2
由上面|Ea1|
综上所述，甲测定结果的准确度和精密度均比乙高。
22
17. 现有一组平行测定值，符合正态分布（μ=20.40，σ=0.04）。计算：
（1）x=20.30和x=20.46时的u 值；（2）测定值在20.30 -20.46区间出现的概率。 解：（1）根据u = u1=
x -μ
σ
0. 04
得
=-2. 5 u 2=
20. 46-20. 40
0. 04
=1. 5
20. 30-20. 40
（2）u 1=-2.5 u2=1.5 . 由表3—1查得相应的概率为0.4938，0.4332
则 P(20.30≤x ≤20.46)=0.4938+0.4332=0.9270 18. 已知某金矿中金含量的标准值为12.2g •t -1（克·吨-1），δ=0.2，求测
定结果大于11.6的概率。 解： u =
x -μ
σ
=
11. 6-12. 2
0. 2
=-3
-1
查表3-1，P=0.4987 故，测定结果大于11.6g ·t 的概率为： 0.4987+0.5000=0.9987
19. 对某标样中铜的质量分数（%）进行了150次测定，已知测定结果符
合正态分布N （43.15，0.23²）。求测定结果大于43.59%时可能出现的次数。 解： u =
x -μ
σ
=
43. 59-43. 15
0. 23
≈1. 9
查表3-1，P=0.4713 故在150次测定中大于43.59%出现的概率为： 0.5000-0.4713=0.0287
4 因此可能出现的次数为 150⨯0.0287≈（次）
20. 测定钢中铬的质量分数，5次测定结果的平均值为1.13%，标准偏差
为0.022%。计算：（1）平均值的标准偏差；（2）μ的置信区间；（3）如使μ的置信区间为1.13% ±0.01%，问至少应平行测定多少次？置信
度均为0.95。
解：（1） σ=
-
σn
=
0. 022%
5
≈0. 01%
-
x
（2）已知P=0.95时，u =±1. 96，根据 μ=x ±u σ
-
x
得μ=1. 13%±1. 96⨯0. 01%=1. 13%±0. 02% 钢中铬的质量分数的置信区间为1. 13%±0. 02% （3）根据μ=x ±t p , f s =x ±t p , f
-
--
s n
x
得x -μ=±t p , f
-
s n
=±0. 01%
已知s =0. 022% ， 故
t n
=
0. 01%0. 022%
=0. 5
t 0. 95, 20=2. 09 此时 查表3-2得知，当f =n -1=20 时，
2. 0921
≈0. 5
即至少应平行测定21次，才能满足题中的要求。 21. 测定试样中蛋白质的质量分数（%），5次测定结果的平均值为：34.92，
35.11，35.01，35.19和34.98。（1）经统计处理后的测定结果应如何
表示（报告n ，x 和s ）？（2）计算P=0.95时μ的置信区间。
解：（1）n=5
-
x =
∑
x n
=
34. 92%+35. 11%+35. 01%+35. 19%+34. 98%
5
2
=35. 04%
s =
∑
d i
n -1
=
0. 12
2
+0. 07
2
+0. 03
2
+0. 15
2
+0. 06
2
5-1
-
=0. 11%
经统计处理后的测定结果应表示为：n=5, x =35. 04%, s=0.11%
（2）x =35. 04%, s=0.11% 查表t 0.95,4=2.78
因此 μ=x ±t p , f
-
-
s n
=35. 04%±2. 78⨯
0. 11%
5
=35. 04%±0. 14%
22. 6次测定某钛矿中TiO 2的质量分数，平均值为58.60%，s=0.70%，计算：（1） 的置信区间；（2）若上述数据均为3次测定的结果， 的置信区间又为多少？比较两次计算结果可得出什么结论（P 均为0.95）？ 解：（1）x =58. 60%, s=0.70% 查表t 0.95,5=2.57
-
因此 μ=x ±t p , f
-
-
s n
=58. 60%±2. 57⨯
0. 70%
6
=58. 60%±0. 73%
（2）x =58. 60%, s=0.70% 查表t 0.95,2=4.30
因此 μ=x ±t p , f
-
s n
=58. 60%±4. 30⨯
0. 70%
3
=58. 60%±1. 74%
由上面两次计算结果可知：将置信度固定，当测定次数越多时，置信区间越小，表明x 越接近真值。即测定的准确度越高。
23. 测定石灰中铁的质量分数（%），4次测定结果为：1.59，1.53，1.54
和1.83。（1）用Q 检验法判断第四个结果应否弃去？（2）如第5次测定结果为1.65，此时情况有如何（Q 均为0.90）？ 解：（1）Q =
x n -x n -1x n -x 1
=
1. 83-1. 591. 83-1. 53
=0. 8
-
查表3-3得Q 0.90,4=0.76,因Q>Q0.90,4 , 故1.83这一数据应弃去。 （2）Q =
x n -x n -1x n -x 1
=
1. 83-1. 651. 83-1. 53
=0. 6
查表3-3得Q 0.90,5=0.64,因Q
0.1029，0.1056，0.1032和0.1034。（1）用格鲁布斯法检验上述测定值中有无可疑值（P=0.95）；（2）比较置信度为0.90和0.95时μ的置信区间，计算结果说明了什么？ 解：(1) x =
-
0. 1029+0. 1032+0. 1034+0. 1056
4
2i
=0. 1038
2
2
s =
∑d
-
n -1x -x 1
s
-
=
0. 0009
2
+0. 0006
2
+0. 0004+0. 0018
4-1
0. 1038-0. 1029
0. 0011
=0. 0011
G 1=
=
=0. 82
G 1=舍去。
(2) x =
-
x -x 4
s
=
0. 1056-0. 1038
0. 0011
=1. 64
查表3-4得, G0.95,4=1.46 , G1G0.95, 4故0.1056这一数据应
0. 1029+0. 1032+0. 1034
3
=0. 1032
2
s =
∑d
2i
n -1
=
0. 0003
2
+0. 0002
3-1
=0. 00025
当 P=0.90时，t 0. 90, 2=2. 92 因此 μ1=x ±t p , f
-
s n
=0. 1032±2. 92⨯
0. 00025
3
=0. 1032±0. 0004
当 P=0.95时，t 0. 95, 2=4. 30 因此
μ1=x ±t p , f
-
s n
=0. 1032±4. 30⨯
0. 00025
3
=0. 1032±0. 0006
由两次置信度高低可知，置信度越大，置信区间越大。 25. 已知某清洁剂有效成分的质量分数标准值为54.46%，测定4次所得的
平均值为54.26%，标准偏差为0.05%。问置信度为0.95时，平均值与标准值之间是否存在显著性差异?
-
解：根据t =
|x -T |s x
=
|54. 26%-54. 46%|
0. 05%
=4
查表3-2得t 0.95,3=3.18 , 因t>t0.95,3 ，说明平均值与标准值之间存在显著性差异。
26. 某药厂生产铁剂，要求每克药剂中含铁48.00mg. 对一批药品测定5次，
结果为（mg ·g -1）：47.44，48.15，47.90，47.93和48.03。问这批产品含铁量是否合格（P=0.95）？
解：
-
x =
1
x ∑n
i
=
47. 44+48. 15+47. 90+47. 93+48. 03
5
=47. 89
s =
(0. 45) +(0. 26) +(0. 01) +(0. 04) +(0. 14)
5-1
22222
=0. 27
-
t =
|x -T |s
=
|47. 89-48. 00|
0. 27
=0. 41
查表3-2, t0.95,4 =2.78 , t
27. 分别用硼砂和碳酸钠两种基准物标定某HC1溶液的浓度（mol ·l -1），
结果如下： 用硼砂标定 x 1=0.1017，s 1=3.9×10，n 1=4
-4
用碳酸钠标定 x 2 =0.1020，s 2=2.4×10-4，n 2=5
当置信度为0.90时，这两种物质标定的HC1溶液浓度是否存在显著性
差异？
解：n 1=4 x 1=0. 1017 s 1=3. 9⨯10-4 n2=5 x 2=0. 1020 s 2=2. 4⨯10-4 F =
s 1s 2
22
-
-
=
(3. 9⨯10(2. 4⨯10
-4-4
) )
22
=2. 64
查表3-5, fs 大=3， fs 小=4 ， F表=6.59 ， F
s =
s 1(n 1-1) +s 2(n 2-1) (n 1-1) +(n 2-1)
-
-
2
2
=
(3. 9⨯10
-4
) (4-1) +(2. 4⨯10(4-1) +(5-1)
2-4
) (5-1)
2
=3. 1⨯10
-4
t =
|x 1-x 2|
s
n 1n 2n 1+n 2
=
|0. 1017-0. 1020|
3. 1⨯10
-4
4⨯54+5
=1. 44
查表3-2 , 当P = 0.90, f = n1 + n2 – 2 = 7 时, t 0.90 , 7 = 1.90 , t
故以0.90 的置信度认为x 1与x 2无显著性差异。
28. 根据有效数字的运算规则进行计算：
（1）7.9936÷0.9967-5.02=？
（2）0.0325×5.103×60.06 ÷139.8=？ （3）（1.276×4.17）+1.7×10-4 -（0.0021764×0.0121）=？ （4） pH=1.05，[H+]=？
解：(1) 7.9936÷0.9967-5.02=7.994÷0.9967-5.02=8.02-5.02=3.00
(2) 0.0325×5.103×60.06÷139.8=0.0325×5.10×60.1÷
140=0.0712
(3) （1.276×4.17）+1.7×10-4-（0.0021764×0.0121）
=（1.28×4.17）+1.7×10-4-（0.00218×0.0121） = 5.34+0+0 =5.34
(4) pH=1.05 ,[H+]=8.9×10-2
29. 用电位滴定法测定铁精矿中铁的质量分数（%），6次测定结果如下： 60.72 60.81 60.70 60.78 60.56 60.84
（1） 用格鲁布斯法检验有无应舍去的测定值（P=0.95）； （2） 已知此标准试样中铁的真实含量为60.75%，问上述测定方法是否
准确可靠（P=0.95）？
解：(1)
-
-
-
x =
60. 72%+60. 81%+60. 70%+60. 78%+60. 56%+60. 84%
6
=60. 74%
2
2
s =
∑d
2i
n -1
=
0. 02%+0. 07%+0. 04%+0. 04%+0. 18%+0. 10%
6-1
-
2222
=0. 10%
G 1=
x -x 1
s
-
=
60. 74%-60. 56%
0. 10%60. 84%-60. 74%
0. 10%
=1. 8
G 2=
x 6-x s
=
=1. 0
查表3-4得, G0.95,6=1.82 , G1
-
（2） t =
|x -T |s
=
|60. 74%-60. 75%|
0. 10%
=0. 10
查表3-2得，t 0.95,5=2.57 , 因t