作业(3)
第4章 勒贝格可测函数
一、单项选择题
1. 设E 是[0, 1]中的不可测子集，令f (x ) =⎨
⎧x , ⎩-x ,
x ∈E x ∈[0, 1]\E
，则在[0, 1]上，
（ ）．
(A) f (x ) 可测 (B) -f (x ) 可测 (C) f (x ) 可测 (D) f (x ) 是简单函数 2. 设f (x ) 是E 上的可测函数，则（ ）． (A) f (x ) 是E 上的连续函数
(B) f (x ) 是E 上的勒贝格可积函数 (C) f (x ) 是E 上的简单函数
(D) f (x ) 可表为一列简单函数的极限
3. 设mE
(C) 充分必要条件 (D) 无关条件
4. 设mE =0，f (x ) 是E 上的任一函数，则f (x ) 是E 上的（ ）． (A) 连续函数 (B) 简单函数
(C) 不可测函数 (D) 可测函数 二、填空题
1. 设f (x ) 是E 上的可测函数，mA =0，则f (x ) 是E A 上的 函数．
2. 设f 1(x ) , f 2(x ) , , f m (x ) , 是E ⊂R n 上一列几乎处处有限的可测函数，如果对任意ε>0，有 ，则称{f m (x )}在E 上依测度收敛于f (x ) ．
3. 设在E 上，{f n (x )}依测度收敛于f (x ) ，则存在{f n (x )}的子列{f n (x )}，
k
使得在E 上，{f n (x )} 收敛于f (x ) ．
k
4. 鲁金定理是说：设mE 0，存在闭集F ⊂E ，使得m (E \F )
1. 设f (x ) 是E 上的可测函数，并且f (x ) =g (x ) a.e. 于E ，证明g (x ) 也是E 上的可测函数．
2. 设f (x ) 是测度有限的可测集E 上的几乎处处有限的可测函数，证明对任意ε>0，存在E 上的有界可测函数g (x ) ，使得
mE [f (x ) ≠g (x )]
1
3. 设在可测集E 上，f n (x ) ⇒f (x ) ，且f n (x ) ≤g (x ) a.e. 于E (n =1, 2, ) ，证明f (x ) ≤g (x ) a.e. 于E ．
4. 设在可测集E 上，f n (x ) ⇒f (x ) ，且f n (x ) ≤f n +1(x ) a.e. 于E (n =1, 2, ) ，证明lim f n (x ) =f (x ) a.e. 于E ．
n →∞
5. 证明叶果洛夫定理的逆定理：设mE 0，存在子集E δ⊂E ，使得在E δ上{f n (x )}一致收敛于f (x ) ，且m (E \E δ)
lim f n (x ) =f (x )
n →∞
a.e. 于E ．
6. 证明鲁金定理的逆定理：设mE 0，恒有闭集F ⊂E ，使得m (E \F )
7. 设E 是R 1上的有界可测集，f (x ) 是E 上几乎处处有限的函数，证明f (x ) 在
1
E 上可测的充分必要条件是存在R 上的连续函数列{f n (x )}，使得lim f n (x ) =
n →∞
．
8. 设f (x ) 是[a , b ]上几乎处处有限的函数，并且对任何[α, β]⊂(a , b ) ，f (x ) 是[α, β]上的可测函数，试证：f (x ) 是[a , b ]上的可测函数．
f (x ) a.e. 于E
2