2014年四川省高考数学试卷（理科）
2014年四川省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2
5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为（ ）
6
3
7．（5
分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m ∈R ），且与的夹角等于与的夹角，
8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段CC 1上，
直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）
9．（5分）（2014•四川）已知f （x ）=ln（1+x）﹣ln （1﹣x ），x ∈（﹣1，1）．现有下列命题： ①f （﹣x ）=﹣f （x ）； ②f
（
）=2f（x ）
③|f（x ）|≥2|x|
2
10．（5分）（2014•四川）已知F 为抛物线y =x的焦点，点
A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014•四川）复数
=
•=2（其
12
．（5分）（2014•四川）设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=
，则f （）=．
13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 _________ m ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
14．（5分）（2014•四川）设m ∈R ，过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m+3=0交于点P （x ，y ）．则|PA|•|PB|的最大值是 15．（5分）（2014•四川）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ（x ）组成的集合：
3
对于函数φ（x ），存在一个正数M ，使得函数φ（x ）的值域包含于区间[﹣M ，M ]．例如，当φ1（x ）=x，φ2（x ）=sinx时，φ1（x ）∈A ，φ2（x ）∈B ．现有如下命题： ①设函数f （x ）的定义域为D ，则“f （x ）∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f （a ）=b”； ②函数f （x ）∈B 的充要条件是f （x ）有最大值和最小值； ③若函数f （x ），g （x ）的定义域相同，且f （x ）∈A ，g （x ）∈B ，则f （x ）+g（x ）∉B ． ④若函数f （x ）=aln（x+2）+
（x ＞﹣2，a ∈R ）有最大值，则f （x ）∈B ．
其中的真命题有 _________ ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）（2014•四川）已知函数f （x ）=sin（3x+（1）求f （x ）的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，f （
）=cos （α+
）cos2α，求cos α﹣sin α的值．
）．
17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 18．（12分）（2014•四川）三棱锥A ﹣BCD 及其侧视图、俯视图如图所示，设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP
．
（1）证明：P 是线段BC 的中点； （2）求二面角A ﹣NP ﹣M 的余弦值．
19．（12分）（2014•四川）设等差数列{an }的公差为d ，点（a n ，b n ）在函数f （x ）=2的图象上（n ∈N ）． （1）若a 1=﹣2，点（a 8，4b 7）在函数f （x ）的图象上，求数列{an }的前n 项和S n ； （2）若a 1=1，函数f （x ）的图象在点（a 2，b 2）处的切线在x 轴上的截距为2﹣
20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构
，求数列{
}的前n 项和T n ．
x
*
成正三角形．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x=﹣3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ． ①证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； ②当
21．（14分）（2014•四川）已知函数f （x ）=e﹣ax ﹣bx ﹣1，其中a ，b ∈R ，e=2.71828…为自然对数的底数．
x
2
最小时，求点T 的坐标．
（1）设g （x ）是函数f （x ）的导函数，求函数g （x ）在区间[0，1]上的最小值； （2）若f （1）=0，函数f （x ）在区间（0，1）内有零点，求a 的取值范围．
2014年四川省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2
63
5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为（ ）
7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2）
，=m+（m ∈R ），且与的夹角等于与的夹角，
8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）
9．（5分）（2014•四川）已知f （x ）=ln（1+x）﹣ln （1﹣x ），x ∈（﹣1，1）．现有下列命题： ①f （﹣x ）=﹣f （x ）；
②f （
）=2f（x ）
③|f（x ）|≥2|x|
10．（5分）（2014•四川）已知F 为抛物线y =x的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2
•=2（其
菁优网
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014•四川）复数=
12．（5分）（2014•四川）设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=
，则f （）=．
13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 60 m ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）
14．（5分）（2014•四川）设m ∈R ，过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m+3=0交于点P （x ，y ）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．
15．（5分）（2014•四川）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ（x ）组成的集合：对于函数φ（x ），存在一个正数M ，使得函数φ（x ）的值域包含于区间[﹣M ，M ]．例如，当φ1（x ）=x，φ2（x ）=sinx时，φ1（x ）∈A ，φ2（x ）∈B ．现有如下命题： ①设函数f （x ）的定义域为D ，则“f （x ）∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f （a ）=b”； ②函数f （x ）∈B 的充要条件是f （x ）有最大值和最小值； ③若函数f （x ），g （x ）的定义域相同，且f （x ）∈A ，g （x ）∈B ，则f （x ）+g（x ）∉B ． ④若函数f （x ）=aln（x+2）+
（x ＞﹣2，a ∈R ）有最大值，则f （x ）∈B ．
3
其中的真命题有 ①③④ ．（写出所有真命题的序号）
菁优网
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（12分）（2014•四川）已知函数f （x ）=sin（3x+（1）求f （x ）的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，f （）．
）=cos （α+）cos2α，求cos α﹣sin α的值．
17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100
分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
18．（12分）（2014•四川）三棱锥A ﹣BCD 及其侧视图、俯视图如图所示，设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP ．
（1）证明：P 是线段BC 的中点； （2）求二面角A ﹣NP ﹣M 的余弦值．
19．（12分）（2014•四川）设等差数列{an }的公差为d ，点（a n ，b n ）在函数f （x ）=2的图象上（n ∈N ）． （1）若a 1=﹣2，点（a 8，4b 7）在函数f （x ）的图象上，求数列{an }的前n 项和S n ； （2）若a 1=1，函数f （x ）的图象在点（a 2，b 2）处的切线在x 轴上的截距为2﹣x *
，求数列{
}的前n 项和T n ．
菁优网
菁优网
20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构
成正三角形．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x=﹣3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ． ①证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； ②当
最小时，求点T 的坐标．
21．（14分）（2014•四川）已知函数f （x ）=e﹣ax ﹣bx ﹣1，其中a ，b ∈R ，e=2.71828…为自然对数的底数． （1）设g （x ）是函数f （x ）的导函数，求函数g （x ）在区间[0，1]上的最小值； （2）若f （1）=0，函数f （x ）在区间（0，1）内有零点，求a 的取值范围．
x 2
菁优网
参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss ；尹伟云；翔宇老师；szjzl ；caoqz ；清风慕竹；静定禅心；maths （排名不分先后）
菁优网
2014年6月24日
2010-2014 菁优网