基本不等式
方法:
1． 凑系数
当0
2． 凑项。 当x
3． 拆项。 x (6-3x ) 的最大值。511, 求f (x ) =4x -2++x , (x >3) 的最小值。 的最大值 [练一练]求y =44x -5x -3
x 2+7x +10x 2+8, (x ≠-1) 的值域。 [练一练]求函数y =, (x >1) 的最小值。 求y =x +1x -1
4． 整体代换（遇到1了）
a>0, b>0, a +2b =1, 求t =1111+的最小值。 [练一练]x >0, y >0, 且+=9, 求x +y 最小值。 a b x y
5． 换元法 x 2+8x +2, (x >1) 的最小值。 求函数y =的最大值 [练一练]求函数y =x -12x +5
6． 试着取平方看看： 求函数y =
【练习】
1．若a 、b ∈R ，ab -(a +b ) =1，则152x -1+5-2x , (
2．函数y =49+的最小值是（ ） 22cos x sin x
A.24 B.13 C.25 D.26
3. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）
A ．y =x +
C ．44 B ．y =sin x + (0
14．已知f (x ) ＝x ＋－2(x ＜0) ，则f (x ) 有( ) x
A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4
5．下列不等式一定成立的是( )
11x 2＋⎫＞lg x (x ＞0) B ．sin x ＋A ．lg ⎛2(x ≠k π，k ∈Z ) 4⎭⎝sin x
1C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D. ＞1(x ∈R ) x ＋1
→→→6．设OA ＝(1，－2) ， OB ＝(a ，－1) ，OC ＝(－b, 0) ，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，12则的最小值是( ) a b
A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
x 7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为天，8
且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件
8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b ) ，其全程的平均时速为v ，则( )
a ＋b a ＋b A ．a ＜v ＜ab B ．v ab C. ab ＜v ＜ D ．v ＝22
9．已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．
1110．已知a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b ) ＝0，则的最小值是________． a b
11．已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．
x 2－x －512．当x －2x ＜8时，函数y ＝的最小值是________． x ＋22
13. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围是14. x,y,z ∈R +，x-2y+3z=0,y 2的最小值为 . xz
21+的最小值是 . a b 15. 若直线2ax +by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y2-2x-4y-6=0，则
16. 函数y=log2x+logx (2x)的值域是 .
17. 若实数a,b 满足ab-4a-b+1=0 (a ＞1), 则(a+1)(b+2) 的最小值为 .
18. 已知x 、y ∈R ，则使+x +y ≤t x +y 恒成立的实数t 的取值范围是____________.
19. 已知关于x 的方程9x +(4+a ) ⋅3x +4=0有实数根，则实数a 的取值范围是____________.
b 2
20. 已知a >0, b >0且a +=
1，求________. 32
a ＋1c ＋121．已知二次函数f (x ) ＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R ) 的值域为[0，＋∞) ，则__________． c a
22. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围; （2）求ab +
1的最小值. ab
23．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略
1改革，并提高定价到x 元．公司拟投入x 2－600) 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投6
1入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的5
销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
基本不等式训练题答案：
1. A 2. C 3. C 4．C 5．C 6．C
800x 800x 7．B 若每批生产x x 8x 8
≥2800x ＝20，当且仅当x ＝80. x 8x 8
8．A 设甲乙两地相距为s ，则v 2112＝由于a ＜b ，＋，∴v ＞a ，s s 11a b a a b a b 2s 11a b 1ab ∴v ＜ab . 故a ＜v ＜ab ，故选A. 9．3. 10． 4.
11．解析： 依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号) ，因此|a ＋2b |的最小值是20.
12．解析： 由x 2－2x ＜8得x 2－2x －8＜0，即(x －4)(x ＋2) ＜0，得－2＜x ＜4，∴x ＋2＞0，
x 2－x －5(x ＋2)2－5(x ＋2)＋11而y ＝＝(x ＋2) ＋5≥2－5＝－3. 等号当且仅当x ＝－1时取得． x ＋2x ＋2x ＋2
13. a ≥-5 14. 3 15. 3+22 16. （-∞，-1］∪［3，+∞） 17. 27
18. t ≥
19. （-∞，-8］
21．解析： ∵f (x ) ＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R ) 的值域为[0，＋∞) ， 11a ＋1c ＋1a ＋1a 111a 2＋⎫＋⎛a ＋≥4(当且仅当a ＝1∴a ＞0且Δ＝4－4ac ＝0，∴c ＝，∴＝⎛a ⎭⎝a ⎝a c a 1a
a a ＋1c ＋117⎛1⎤时取等号) ，∴＋4. 22. (1) 0, ⎥ (2) c a 4⎝4⎦
t －2523．解析： (1)设每件定价为t 元，依题意，有⎛8－×0.2⎫t ≥25×8， 1⎝⎭整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40. ∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．
11(2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋(x 2－600) ＋有解，等价于x ＞25时， 65
150111501a x 有解，∵≥x 65x 6＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立) ，∴a ≥10.2 x 6
∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．