第三章 光的干涉及干涉系统（8课时）
一个浑身有几何， 学书不就学兵戈。 南思北想无安着， 明镜催人白发多。
泽国江山入战图， 生民无计乐樵苏。 凭君莫话封侯事， 一将功成万骨枯。
全章概述：
单元划分：
重点与难点：
【 教学重点与难点 】光波干涉的条件，干涉图样的分析，杨氏干涉与平板干涉
的特性，典型双光束干涉系统的结构与光路。熟练掌握光波的干涉条件，干涉条纹的分析，等倾与等厚干涉特性，麦克尔逊干涉仪及法布里干涉仪的结构与光路。
光学薄膜
光学薄膜是多光束干涉的一个具体实例。所谓光学薄膜，是指在一块透明的平整玻璃基片或金属光滑表面上，用物理或化学的方法涂敷的透明介质薄膜。
它的基本作用是满足不同光学系统对反射率和透射率的不同要求。各种薄膜在近代科学校术中有广泛的应用，并已制成了各种各样的薄膜器件，研究这些薄膜系统的理论和技术已经形成了光学中约一个重要分支——薄膜光学。
三、 单层膜
η-η η-η+r =r -=110+1η0+η1
η=n cos θ, S 波
其中：
η=n /cos θ, P 波
由此可得，r 1+=-r 1- ， t 1+=
2η0
c
η0+η1
⎧cos θ0
, p 波⎪
其中：c =⎨cos θ1，
⎪1, S 波⎩
t 1-=
2η1
c 1 η0+η1
⎧cos θ1
, p 波⎪
其中：c 1=⎨cos θ0
⎪1，s 波⎩
t 1-=
2η11
η0+η1c
2
t 1+t 1-=1-(r 1+)=
2
4η0η1
(η0+η1)
，t 1+t 1-+(r 1+)=1
2
E 1=r 1+E 0 E 2=t 1+r 2+t 1-e i 2δE 0
E 3=t 1+r 2+r 1-r 2+t 1-e i 4δE 0 E 4=t 1+r 2+r 1-r 2+r 1-r 2+t 1-e i 6δE 0
E r =r E 0+t r t E 0e
+1+1
++-121
i 2δ
∑(r 2+r 1-e i 2δ)
n =0
∞
n
t 1+r 2+t 1-i 2δ
=r E 0+E e 0
1-r 2+r 1-e i 2δ
r 1++r 2+(t 1+t 1--r 1+r 1-) e i 2δr 1++r 2+e i 2δ=E 0=E 0
+-i 2δ++i 2
δ1-r r e 1+r 2r 1e
由此可得单层膜的能量反射率R 为
当光束正入射到薄膜上时，薄膜两表面的反射系数分别为
由此可得正入射时单层膜的反射率公式：
下图中给出了n 0=1, n 2=1.5时，反射率R 随位相差ϕ的变化规律。
进一步考察图中的变化曲线可以看出，当n 1
由该式可见，当镀膜材料的折射率n 1=
R m =0，此时达到完全增透的效果。
例如，在n 0=1, n 2=1.5的情况下，要实现R m =0，就应选取n 1=1.22的镀膜材料。可是实际上，折射率如此低的镀膜材料至少目前还未找到。现在多采用氟化镁(n＝1.38) 材料镀制单层增透膜，其最小反射率R m =1.3%。
对一个给定的单层增透膜，仅对某一波长才能达到最小反射率，对于其它波长，由于该膜层厚度不是它们的1／4或其奇数倍，增透效果要差一些。
下图是：n 2=1.5的玻璃基片上，涂敷光学厚度为λ0/4(λ0=0.55μm ) 的氟化镁膜时，单层膜反射率随波长的变化特性。由该曲线可见，这个单层膜对红光和蓝光的反射率较大，所以，观察该膜系时就会看到它的表面呈紫红色。
随入射角增大，反射率增加，同时反射率极小值位置向短波长方向移动。
（3）n 1>n 2时，R >R 0，该单层膜的反射率较未镀膜时增大，即该膜具有增反的作用，
称为增反膜。
当n 1>n 2，且n 1h =λ0/4时，反射率最大。
对于经常采用的增反膜材料硫化锌，其折射率为2.35，相应的单层增反膜的最大反射率为33％。
（二）多层膜
单层膜的功能有限，通常只用于增透、分束，实际上更多地采用多层膜系。下面介绍两种处理多层膜系光学特性的方法：等效界面法和短阵法。 三、 等效界面法
现有如图的双层薄膜，为确定其膜系反射率，首先考察与基片相邻的第二层膜(折射率和厚度分别为n 2和h 2) 与基片组成的单层膜系的反射系数。有
其中： 2为光束在第二层膜中的折射角。 等效界面：
由此可得双层膜的反射率（r ）为：
2
对于多层膜，可以采用类似的方法来计算：
先从第K 层计算：
然后再计算第K-1层：
2）矩阵法
矩阵法是研究多层薄膜理论的现代方法，对于基本研究和数值计算，它均具有快捷和普遍的优点。在此，仅介绍有关的基本概念和结论。
对于下图所示的多层膜系，为了能全面地描述其光学特性，对于沿Z 方向传输的光波，定义介质光学导纳为磁场强度的切向分量与电场强度的切向分量之比：
对于沿-Z 方向传输的光波，介质的光学导纳为：
根据麦克斯韦电磁理论，第j 界面的边界条件可写成
式中，E zjt , E -zjt 和E zjt , E -zjt 分别为第j 界面左侧和右侧、沿Z 方向和-Z 方向传输的切向分量场。定义导纳矩阵V j 为
'
'
则上述的边界条件可写为：
其中：W (j -1), j =V j -1V j ，为第j 界面的传递矩阵。 考虑光在膜层中传输的相移，有：
-1
令：
为第j 层膜的相位矩阵，则整个膜系的传递矩阵为：
进一步，如果定义第j 层膜的特征矩阵为
将导纳矩阵、透射矩阵的关系式代入，可得
这样整个膜系的传递行为可写为：
其中：M =∏M j 为多层膜系的特征矩阵，S =V 0-1MV k +1为膜系的传递矩阵，描述了光波
j =1k
电场切向分量从一端到另一端的特性。
如果多层膜基底材料的折射率为n K +1，根据光的电磁理论，可得
3．多层高反射膜
目前，经常采用的多层高反射膜是一种由光学厚度均为λ0/4的高折射率膜层和低折射率膜层交替的膜系，如图所示。这种膜系称为λ0/4膜系，通常采用下面的符号表示：
其中,G 和A 分别代表玻璃基片和空气，H 和L 分别代表高折射率和低折射率层，P 表示一共有P 组高低折射率交替, 总膜层数为(2P+1)。半波长的光学厚度应写为HH 或LL 。
原理：当膜层两侧介质的折射率大于(或小于) 膜层的折射率对，若膜层的诸反射光束中相继两光束的相位差等于π，则该波长的反射光获得最强烈的反射。
工艺和优缺点：
λ0/4膜系的优点是计算和制备工艺简单，镀制时容易采用极值法进行监控；缺点是层
数多，R 不能连续改变。目前发展了一种非λ0/4膜系，即每层膜的光学厚度不是λ0/4，具体厚度要由计算确定。其优点是只要较少的膜层就能达到所需要的反射率，缺点是计算和制备工艺较复杂。
样例：
当膜层为偶数(2p)层时，(HL )
2p
膜系的等效折射率为：
当膜层为偶数(2p+1)层时，(HL )
2p +1
膜系的等效折射率为：
三、 要获得高反射率，膜系的两侧最外层均应为高折射率层(H层) ，因此，高反射率膜
一定是奇数层。 二、λ0/4膜系为奇数层时，层数愈多，反射率R 愈大。
三、上述膜系的全部结果只对一种波长λ0成立，这个波长称为该膜系的中心波长。当入射光偏离中心波长时，其反射率要相应地下降。
相干性的定量描述
1、 复相干函数和复相干度
在t 时刻P 点的总光场为:
其中：t 1=r 1/c , t 2=r 2/c
P 点的平均光强为：
考虑到实际情况，可以假设光场是稳定的，即它们的统计性质不随时间变化，或者说上式中各个量的时间平均值与时间原点的选择无关，可令t =t 1, τ=t 1-t 2，上式可改写为：
**
其中：E 1(0)E 1(0)=I 1, E 2(τ) E 2(τ) =I 2，
**
令： E 1(0)E 2(τ) +E 1(0)E 2(τ) =2Re Γ12(τ)
*
Γ12=E 1(0)E 2(τ) ，是光场E 1, E 2的互相干函数，是相干理论中的一个基本量。
所以：
当S 1和S 2两点重合时，互相干函数Γ12(τ) 变成自相干函数：
将互相干函数归一化，可以得到：
通常称γ12(τ) 为复相干度。复相干度一般是τ的复数周期函数，它满足0≤它来描述光场的相干性更为方便。γ12=1时，表示光场完全相干；0
该式就是稳定光场的普通于涉定律。
条纹的可见度为：
γ12(τ) ≤1，用
γ12
当I 1=I 2时，V =
γ12
2、光的相干性
1）时间相干性
在上图所示的干涉装置中，如果S 是一个非单色的点光源，并且S 到S 1和S 2的距离相
等，因而S 1和S 2的光场相同，均为E (t ) ，则所考察的光的相干性仅为光的时间相干性。P 点的干涉效应由取决于光场的互相干函数，变为取决于光场的自相干函数，相应的光场归一化自相干函数为
通常称γ(τ) 为时间相干度。 A) 平面单色波
B) 完全不相干光
C) 准单色光
对于高斯分布型的准单色波，其光场为：
D) 具有不同频率的两个谐波相互叠加
γ(τ) =cos
⎛ω1-ω2⎫
⎪τ
⎝2⎭
2）空间相干性
在上图所示的干涉装置中，如果S 是一个单色扩展光源，并且仅考察观察屏中距S 1和S 2等距离P 0点附近的干涉条纹，则光的空间相干性将起主要作用。此时，复相干度为
它实际上是S 1和S 2两点光场空间相干性的量度，称为这两点的空间相干度。
由于单色扩展光源S 可以看作是大量同频率的单色点光源的集合，所以在S 1和S 2点处的光场分别为
式中，s 是扩展光源上各点的坐标；a(s)是各点的振幅；ρ1(s ) 和ρ2(s ) 分别是各点到S 1和S 2的距离；ϕ(s ) 是典型的随机相位；积分域是全部扩展光源。于是
3) 光的时间与空间相干性