异面直线所成角的解法

专题一：异面直线所成角的求法

【学习目的】1、巩固对异面直线所成角的理解； 2、掌握常见的异面直线所成角的求法 【学习重点】异面直线所成角的求法 【学习难点】异面直线所成角的求法 【学习过程】 一、复习回顾

1、异面直线所成角的定义： 2、求异面直线所成角的步骤： 二、异面直线所成角的求法

（一）平移法：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，

求异面直线所成的角，关键是平移点的选择及平移面的确定。 平移点的选择：一般在其中一条直线上的特殊位置，但有时选在空间适当位置会更简便。

平移面的确定：一般是过两异面直线中某一条直线的一个平面，有时还要根据平面基本性质将直观图中的部分平面进行必要的伸展，有时还用“补形”的办法寻找平移面。 例1、设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC、BC、DB、DA的中点，若AB＝122，CD＝4 2，且四边形EFGH的面积为12 3，求AB和CD所成的角.

注：本例两异面直线所成角在图中已给，只需指出即可。

A

D

H

G

E

B

练习：点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=

注：本题的平移点是AC中点G，按定义过G分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG中求角。通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系。

例2.已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。

注：作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作

C

答时，这个角的余弦值必须为正。

例3.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7，

AAFBE1

。求异FDEC3

D

2

AD，求异面直线AD和BC所成的角。 2

面直线AB与CD所成的角。

（二）“补形法”：是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例1 、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．

解：（补形法）

DE

D

A

C

B

C1

B1

例2、在正方体ABCD－A1B1C1D中，各棱长为a，M为A1B1的中点，求异面直线AM与BD1所成的角。

例3、长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。

（三）．利用两个向量的夹角公式（

cos,空间两条直线所成的角。

例 1、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D F分别是BB1、CD的中点. 求AE与D1F解：如右图建立空间直角坐标系：D—

设正方体的棱长为2，则有A（2，0，0）、A1（2，0，2） D（0，0，0）、D1（0，0，2）、F（0，1，0）、E（2，2，1）

（I）∵=（0，2，1），D1=（0，1，－2） ∴AED1F=（0，2，1）•（0，1，－2）= 0 ∴AED1F，∴AE与D1F所成的角为90 即直线AE与D1F所成角为直角.

例2．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且

PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。求AC与PB所成的角； 解：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，).因(1,1,0),(0,2,1),

故||2,||,2,所以cosAC,PB.

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空间向量的引入，给传统的立体几何内容注入了新的活力，向量是既有大小又有方向的量，既具有图形的直观性，又有代数推理的严密性，是数形结合的一个很好的桥梁。而空间向量是处理空间问题的重要方法，通过将空间元素间的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，为学生处理某些立体几何问题提供了的新视角。借助空间向量这一工具，可以降低思维难度，增加了可操作性，从而减轻了学生负担，使他们对立体几何更容易产生兴趣。 【小结】

【课后作业】