中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题
一、选择题(共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分)
1．已知实数x ，y 满足；424442-=3，y +y=3，则+y的值为( )． x 4x 2x 4
(A)7 (B)1+7+ (C) (D)5 22
2. 把一枚六个面编号分别为王，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y=x+mx+n的图象与x 轴有两个不同交点的概率是( )．
(A)5/12 (B)4/94 (c)17/36 (D)1/2
3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有( )．
(A)6条 (B) 8条 (C)10条 (D)12条
4．已知AB 是半径为1的圆0的一条弦，且AB=a
5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有( )．
(A)2种 (B)3种 (C)4种 (D)5种
二、填空题(共5小厦，每小题6分，满分30分)
6. 对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v．若关于x 的方程x* (a*x)=-个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．
- 1 - 1有两4
7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．
8．如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M 是BC 的中点， AD是∠BAC
的平分线，MF∥AD，则FC 的长为 ．
9．△ABC中，AB=7，BC=8，CA=9，过△ABC 的内切圆圆心，作DE ∥BC ，
分别与AB ，A C相交于点D ，E ，则DE 的长为
10．关于x ，y 的方程x +y=208(x-y)的所有正整数解为 ．
三、解答题(共4题，每题15分，满分60分)
11. 在直角坐标系xOy 中，一次函数y =kx+b(k≠0)的图象与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3
(1) 用b 表示k ；
(2) 求△OAB面积的最小值．
- 2 - 22
12. 是否存在质数p ．q ，使得关于x 的一元二次方程px -qx+p=O有有理数根?
13，是否存在一个兰边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一内角2倍的△ABC 证明你的绪论，
- 3 - 2
14．从1，2，„，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数(至少一个，也可以是全部) ，它们的和能被10整除，求n 的最小值．
- 4 -
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）
1．已知实数x ，y 满足 42442-=3，y +y =3+y 4的值为（ ），则． 424x x x
（A ）7 （B ）
【答】（A ） 17+ （C ）
（D ）5 22
2解：因为x >0，y ≥0，由已知条件得
2
12+1-1-1+2，
， ==y ==2x 8422
所以 422422+y =+3+3-y =-y +6=7． 422x x x
2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y =x 2+mx +n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．
（A ）54171 （B ） （C ） （D ） 129236
【答】（C ）
解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知
∆＝m 2-4n ＞0，即m 2＞4n .
通过枚举知，满足条件的m ，n 有17对. 故P =
3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( ) ．
- 5 - 17. 36
（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条
【答】（B ）
解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，
两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，
F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的
交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于
A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线
不少于8条．
当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．
所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．
4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB =a
（A
（第3题）
（D ）a （B ）1 （C
【答】（B ）
解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设∠D =α，
则
∠ECA =120︒-α=∠EAC ．
又因为
∠ABO =11∠ABD =(60︒+180︒-2α) 22
=120︒-α，
所以△ACE ≌△ABO ，于是AE =OA =1．
（第4题）
5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连
- 6 -
续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．
（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种
【答】（D ）
解：设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．
首先，对于a 1，a 2，a 3，a 4，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．
又如果a i （1≤i ≤3）是偶数，a i +1是奇数，则a i +2是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3；
4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1．
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
u *v =uv +v ．6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：若关于x 的方程x *(a *x ) =-
有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．
【答】a >0，或a
解：由x *(a *x ) =-141，得 4
(a +1) x 2+(a +1) x +1=0， 4
依题意有 ⎨
解得，a >0，或a 0，
7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．
【答】4．
- 7 -
解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x -6y =s ． ①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x +3y =s ． ②
由①，②可得 s =4x ，所以 s =4． x
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．
8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ．
【答】9．
解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ．
又MF //AD ，
所以 ∠FMN =∠BAD =∠DAC =∠MFN ，
1AB ． 2
11因此 FC =FN +NC =AB +AC =9． 22所以 FN =MN =
9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ． 【答】16． 3
解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ，BC 边上的高为h a ，则
11ah a =S △ABC =(a +b +c ) r ， 22
所以 r a =． h a a +b +c
- 8 -
因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此
h a -r DE ， =h a BC
所以 DE =a (b +c ) h a -r r a ， ⋅a =(1-) a =(1-) a =a +b +c h a h a a +b +c
8⨯（7+9）16=． 8+7+93故 DE =
10．关于x ，y 的方程x 2+y 2=208(x -y ) 的所有正整数解为
【答】⎨⎧x =48，⎧x =160， ⎨y =32，y =32. ⎩⎩
解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．
设x =2a , y =2b ，则
a 2+b 2=104(a -b ) ，
同上可知，a ，b 都是偶数．设a =2c , b =2d ，则
c 2+d 2=52(c -d ) ，
所以，c ，d 都是偶数．设c =2s , d =2t ，则
s 2+t 2=26(s -t ) ，
于是 (s -13) +(t +13) ＝2⨯13，
其中s ，t 都是偶数．所以 222
(s -13) 2=2⨯132-(t +13) 2≤2⨯132-152
- 9 - 22⎧s =6，⎧s =20， ⎨⎩t =4；⎩t =4，
⎧x =48，⎧x =160，因此 ⎨ ⎨y =32，y =32. ⎩⎩
三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）
（k ≠0）11．在直角坐标系xOy 中，一次函数y =kx +b 的图象与x 轴、y 轴的正半
轴分别交于A ，B 两点，且使得△OAB 的面积值等于OA +OB +3．
（1） 用b 表示k ；
（2） 求△OAB 面积的最小值．
解：（1）令x =0，得y =b ，b >0；令y =0，得x =-b >0，k
（-，0) ，B (0，b ) ，于是，△OAB 的面积为 所以A ，B 两点的坐标分别为A b
k
1b S =b ⋅(-) ． 2k
由题意，有
1b b b ⋅(-) =-+b +3， 2k k
2b -b 2
解得 k =，b >2． 2(b +3)
„„„„„„ 5分（2）由（1）
知
1b b (b +3) (b -2) 2+7(b -2) +10S =b ⋅(-) == 2k b -2b -
2
=b -2+102+7=) +7+b -2≥7+2， 当且仅当b -2=
等号成立． 10时，有S =b =2+，k =-1时，不等式中的b -
2
- 10 -
所以，△OAB 面积的最小值为7+2． „„„„„„ 15分
12．是否存在质数p ，q ，使得关于x 的一元二次方程
px 2-qx +p =0
有有理数根？
解：设方程有有理数根，则判别式为平方数．令
∆=q 2-4p 2=n 2，
其中n 是一个非负整数．则
(q -n )(q +n ) =4p 2．
„„„„„„ 5分
由于1≤q -n ≤q +n ，且q -n 与q +n 同奇偶，故同为偶数．因此，有如下几种可能情形：
⎧q -n =2， ⎨2q +n =2p ，⎩
2⎧q -n =4， ⎨2q +n =p ，⎩p ⎧q -n =， ⎨q +n =4，p ⎩p ⎧q -n =p 2，⎧q -n =2， ⎨ ⎨q +n =2，p q +n =4. ⎩⎩p 25p p 2
， q =2+， q =， q =2p ， q =2+消去n ，解得q =p +1． 222
„„„„„„ 10分
对于第1，3种情形，p =2，从而q ＝5；对于第2，5种情形，p =2，从而q ＝4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q 是合数（不合题意，舍去）．
2又当p =2，q ＝5时，方程为2x -5x +2=0，它的根为x 1=1，x 2=2，它们都2
是有理数．
综上所述，存在满足题设的质数． „„„„„„ 15分
13．如图，△
ABC 的三边长
BC =a ，CA =b ，AB =c ，a ，b ，c 都是整数，且a ，b 的最大公约数为2．点G 和点I 分别为△ABC 的重心和内心，且∠GIC =90︒．求△ABC 的周长．
解：如图，延长GI ，与边BC ，CA 分别交
于点P ，Q ．设重心G 在边BC ，CA 上的投影
分别为E ，F ，△ABC 的内切圆的半径为r ，
BC ，CA 边上的高的长分别为h a ，h b ，易知CP
＝CQ ，由 （第13题答案）
S △PQC =S △GPC +S △GQC ，
可得 2r =GE +GF =
即 2⨯1(h a +h b )， 32S △ABC 1⎛2S △ABC 2S △ABC =⨯ +a +b +c 3⎝a b
6ab ． a +b ⎫⎪， ⎭从而可得 a +b +c =
„„„„„„ 10分
因为△ABC 的重心G 和内心I 不重合，所以，△ABC 不是正三角形，且b ≠a ，否则，a =b =2，可得c =2，矛盾．
不妨假设a >b ，由于(a ，b )=2，设a =2a ，于是有，b =2b ，a b (，)1111=1
6ab 12a 1b 1=为整数，所以有(a 1+b 1) 12，即(a +b ) 24． a +b a 1+b 1
于是只有a =14，b =10时，可得c =11，满足条件．
因此有a +b +c =35．
所以，△ABC 的周长为35．
„„„„„„ 15分
14．从1，2，„，9中任取n 个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n 的最小值．
解：当n ＝4时，数1，3，5，8中没有若干个数的和能被10整除．
„„„„„„ 5分
当n ＝5时，设a 1，a 2， ，a 5是1，2，„，9中的5个不同的数．若其中任意若干个数，它们的和都不能被10整除，则a 1，a 2， ，a 5中不可能同时出现1和9；2和8；3和7；4和6．于是a 1，a 2， ，a 5中必定有一个数是5．
若a 1，a 2，，故含6；于是不含 ，a 5中含1，则不含9．于是不含4（4＋1＋5＝10）
3（3＋6＋1＝10），故含7；于是不含2（2＋1＋7＝10），故含8．但是5＋7＋8＝20是10的倍数，矛盾．
若a 1，a 2，，故含4；于是不含 ，a 5中含9，则不含1．于是不含6（6＋9＋5＝20）
7（7＋4＋9＝20），故含3；于是不含8（8＋9＋3＝10），故含2．但是5＋3＋2＝10是10的倍数，矛盾．
综上所述，n 的最小值为5．
„„„„„„ 15分