第十一章 三角形
教材内容
本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。
三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实验让学生了解三角
形的稳定性，在知道三角形的内角和等于180的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用.
11.1.1三角形的边
[教学目标]1、了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ； 2、理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. [重点难点] 三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 [教学过程]一、情景导入
三角形是一种最常见的几何图形，如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。
B
c
A那么什么叫做三角形呢？ C(1)二、三角形及有关概念
不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须：①不在一条直线上，②首尾顺次相接。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
三、三角形三边的不等关系 探究：任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？
有两条路线：（1）从B→C，（2）从B→A→C；不一样， AB+AC＞BC ①；因为两点之间线段最短。 同样地有 AC+BC＞AB ② AB+BC＞AC ③
由式子①②③我们可以知道什么？ 三角形的任意两边之和大于第三边. 三、三角形的分类
我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。
按角分类:
三角形 ⎧ 直角三角形 ⎨ 斜三角形 ⎧ 锐角三角形 ⎩⎨ ⎩ 钝角三角形
底角 那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。 底角
底边 三边都相等的三角形叫做等边三角形；有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。 显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。
按边分类:
三角形 ⎧ 不等边三角形
⎨ 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形
⎧⎩
⎨ 等边三角形
⎩
四、例题
例 用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？
分析：（1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为x㎝，则腰长是多少？（2）“边长为4㎝”是什么意思？
解：（1）设底边长为x㎝，则腰长2 x㎝。
x+2x+2x=18 解得x=3.6
所以，三边长分别为3.6㎝，7.2㎝，7.2㎝. （2）如果长为4㎝的边为底边，设腰长为x㎝，则
4+2x=18 解得x=7
如果长为4㎝的边为腰，设底边长为x㎝，则
2×4+x=18 解得x=10
因为4+4＜10，出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4㎝的等腰三角形。 由以上讨论可知，可以围成底边长是4㎝的等腰三角形。
五、课堂练习
1.下图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
2.下列说法：
（1）等边三角形是等腰三角形；
（2）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； （3）三角形的两边之差大于第三边；
（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.若三线段a,b，c满足a＞b＞c，若能构成一个三角形，则只需满足条件( ).
A.a+b＞c B.b+c＞a C.c+a＞b D.b+c≠a
222
4.若三角形三边a,b,c满足a+b+c-ab-ac-bc=0.则此三角形为( ).
A.不等边三角形 B.一般等腰三角形 C.等边三角形 D.B、C都有可能
5.现有两根木棒，它们的长分别为40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架（•不计接头），则在下列四根木棒中应选取（ ）A．10cm长的木棒 B．40cm长的木棒 C．90cm长的木棒 D．100cm长的木棒 6.下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，12cm，8cm B．6cm，8cm，15cm C．2.5cm，3cm，5cm D．6.3cm，6.3cm，12.6cm 7.已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（ ） A．12 B．12或15 C．15 D．15或18
8.三角形两边长为2和9，周长为偶数，则第三边长为( ).
A.7 B.8 C.9 D.10
9.等腰三角形的底边长为8 cm，则腰长的范围是( )
A．大于4 cm且小于8 cm B．大于4 cm且小于16 cm C．大于8 cm且小于16 cm D．大于4 cm
10.若三角形三边长是三个连续自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有()个.
A．2 B．3 C．4 D．5 11.a,b,c为△ABC的三边，化简a-b-c+b-c-a+c-a-b=___________. 12.如图，在△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，试说明AC>
1
（BD+CD）． 2
六、课堂小结
1、三角形及有关概念；2、三角形的分类；3、三角形三边的不等关系及应用。
11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
〔教学目标〕1、经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；
2、会画三角形的高、中线与角平分线；
3、了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点.
〔重点难点〕三角形的高、中线与角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高是难点.
〔教学过程〕一、导入新课：我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究。 二、三角形的高
请你在图中画出△ABC的一条高并说说你画法。
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高，表示为AD⊥BC于点D。
注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。
请你再画出这个三角形AB 、AC边上的高，看看有什么发现？ 三角形的三条高相交于一点。
A如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？
现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。
E
C
BD
A
C
显然，上面的结论成立。请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。
BCD上面的结论还成立。
三、三角形的中线
如图，我们把连结△ABC的顶点A和它的对边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC＝1/2BC或2BD=2DC=BC.
请你在图中画出△ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？ 三角的三条中线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。 上面的结论还成立。 四、三角形的角平分线
如图，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD或∠BAD=∠CAD＝1/2∠BAC或2∠BAD=2∠CAD＝∠BAC。
A思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。
请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？ 三角形三个角的平分线相交于一点。
如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。
BCD
上面的结论还成立。
想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？
三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。 五、课堂练习1、填空题
1．如下图，AD是△ABC的角平分线，则∠_______=∠________=
1
__________； 2
E在AC上，且AE=CE，则BE是△ABC的_________；CF是△ABC的高， 则∠________=∠_________=90°，CF___________AB。
2．如下图，△ABC中，BC边上的高是___________；在△ACD中，DC边上的高是_________，在△EBC中，BC边上的高是_________，以CF为高的三角形是___________。
3．如图10，BD是△ABC的中线，AB=6cm，BC=4cm，则△ABD和△BCD的周长差为____________cm。
4．如图11，已知∠1=
1
∠BAC，∠2=∠3，则∠BAC的角平分线为_____，∠ABC的角平分线为_____。 2
二、选择题
5．下列说法中正确的是 （ ）
（1）平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 （2）三角形的中线、高和角平分线都是线段
（3）一个三角形有三条高、三条角平分线和三条中线 （4）三角形的中线是经过顶点和对边中线的直线 A．（1）（2）（3）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（4） D．（2）（3）
6．如图12，∠ABC>90°，AD⊥BC，交BC的延长线于D，BE⊥AC，交AC的延长线于E，CF⊥AB于点F，△ABC中BC边上的高为（ ）
A．FC B．BE C．AD D．AE
7．至少有两条高在三角形的内部的三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 三、解答题
8．等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6cm和15cm的两部分，求此三角形的底边的长。
9．如下图所示，在△ABC中，BD是AC边上的中线，AB=6cm，BC=5cm ，求△ABD的周长与△DBC的周长差。
六、课堂小结
1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。
2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。
11.1.3三角形的稳定性
[教学目标] 1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。
[重点难点] 三角形稳定性及应用。 [教学过程] 一、情景导入
盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？
二、三角形的稳定性
1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
不会改变。
2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 会改变。
3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 不会改变。
从上面的实验中，你能得出什么结论？
三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。 三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用
三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。如：
（2）
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。 你还能举出一些例子吗？ 四、课堂练习
1、下列图形中具有稳定性的是（ ）
A正方形 B长方形 C直角三角形 D平行四边形 2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？
三角形的稳定性应用与了解
1．现在盖高楼时要用专门铁管搭起矩形脚手架，如图3，其主要作用是：使建筑厂人有地方立脚且能在上面施工，为什么矩形脚手架外，还要用较长的铁管斜着和遇见的每一根矩形的边都要加以固定?不加这些长的斜铁管行吗?不与每一根遇到的边固定行吗
?
2．矩形虽然不稳定，但它外形整齐，且容易向人们所需要的方向整齐地伸展；三角形稳定，但它有尖有棱，不易向人们所需的方向伸展，所以很多用钢条组合成的建筑（大桥、大型起重机、修建房屋的脚手架）都让这二者结合起来，用矩形作为外形，把矩形再加上—条或几条线化分为几个三角形，使其结构稳定而结实．你能再举出既达到美观实用，又能有很好的稳定性，且结实耐用的四边形（主要是矩形）与三角形相结合的例子吗?
3．四边形的不稳定性是它的缺点，但我们仍可利用其”缺点”为我们服务。课本中提到的菱形挂衣架、放缩尺是两个很好的例子．
金池教育（初高中辅导）
11.2.1三角形的内角
[教学目标]掌握三角形内角和定理。
[重点难点] 三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。 [教学过程]一、导入新课
我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？ 二、三角形内角和的证明
回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出
∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+
∠ACB=180
图1
想一想，还可以怎样拼？
①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=180。
图（2）
②把∠B和∠C剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=180。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于180的方法吗？
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180。
证明：过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM，
00
又∠ACB+∠ACM+∠DCM=180∴∠A+∠B+∠ACB=180。
即：三角形的内角和等于180。
由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。 三、例题
例 如图，C岛在A岛的北偏东500方向，B岛在A岛的北偏东800方向，C岛在B岛的北偏西400
方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
分析：怎样能求出∠ACB的度数？
根据三角形内角和定理，只需求出∠CAB和∠CBA的度数即可。 ∠CAB等于多少度？怎样求∠CBA的度数？ 解：∠CBA=∠BAD-∠CAD=800-500=300 ∵AD∥BE ∴∠BAD+∠ABE=1800
∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000 ∴∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600
∴∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900 答：从C岛看AB两岛的视角∠ACB=1800是900。
四、课堂练习 一、选择题
1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形 2.下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中最多有一个锐角; B.三角形的内角中最多有两个锐角 C.三角形的内角中最多有一个直角; D.三角形的内角都大于60°
3.已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的,则这个三角形各内角的度数分别为( ) A.60°,90°,75° B.48°,72°,60° C.48°,32°,38° D.40°,50°,90°
4.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为( ) A.100° B.120° C.140° D.160° 5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 6.在△ABC中,∠A=
11
∠B=∠C,则此三角形是( ) 23
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
二、填空题
1．三角形中最大的内角不能小于_______度，最小的内角不能大于______度． 2. 三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________.
3.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B
三、基础训练
1.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC(∠C>∠B),试说明∠EAD=
2.在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数.
1
(∠C-∠B). 2
11.2.2三角形的外角
[教学目标] 1、理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角的性质解决问题。 [重点难点] 三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。 [教学过程] 一、导入新课
如图，△ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？
是∠A、∠B、∠C，它们的和是1800。
若延长BC至D，则∠ACD是什么角？这个角与△ABC的三个内角有什么关系？ 二、三角形外角的概念
∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 想一想，三角形的外角共有几个？ 共有 个。
注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。
研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角. 三、三角形外角的性质
容易知道，三角形的外角∠ACD与相邻的内角∠ACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系？ 如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？ ∵CM∥AB， ∴∠A=∠1，∠B=∠2 又∠ACD=∠1+∠2 ∴∠ACD=∠A+∠B
你能用文字语言叙述这个结论吗？
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（叫三角形的外角性质1）。
由加数与和的关系你还能知道什么？
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角（叫三角形的外角性质2）。
即 ∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。 四、例题
例1．如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少？ 分析：∠1与∠BAC、∠2与∠ABC、∠3与∠ACB有什么关系？∠BAC、ABC、∠ACB有什么关系？
000
解：∵∠1+∠BAC=180，∠2+∠ABC=180，∠3+∠ACB=180， ∴∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+∠3+∠ACB=5400 又∠BAC+∠ABC+∠ACB=1800
∴∠1+∠2+∠3==3600。
你能用语言叙述本例的结论吗？
三角形外角的和等于3600（叫三角形外角和定理）。 五、课堂练习
1.已知：D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于O，∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°
求：(1)∠BDC的度数．(2)∠BOC的度数． 2. 一个三角形的两内角分别55°和65°，它的外角不可能是（ ）
A. 115° B. 120° C. 125° D. 130°
3. 已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上三种情况都有可能 4. 已知，如图，在△ABC中，D是三角形内一点，求证：∠BDC>∠BAC。
11.3.1 多边形
[教学目标] 1、了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念．2、区别凸多边形与凹多边形． [教学过程]一、情景导入：看下面的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？
二、多边形及有关概念
这些图形有什么特点？
由几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接．
这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段（三边以上）首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。
与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（如图虚线AD）
四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看。 你能猜想n边形有多少条对角线吗？说说你的想法。
因为从n边形的一个顶点可以引n－3条对角线，n个顶点共引n（n－3）条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线被重复计算了一次，所以，n边形有 条对角线。 三、凸多边形和凹多边形
如图，右边的两个多边形有什么不同？
在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。
注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形． 四、正多边形的概念
我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
下面是正多边形的一些例子。
练习：过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形对角线条数等于边数，
则m= ，n= ，k= .
11．3．2 多边形的内角和
[教学目标]1、了解多边形的内角、外角等概念；2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算． 一、复习导入
我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？ 二、多边形的内角和
如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形； D 因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和
=2×180°=360°。
C 类似地，你能知道五边形、六边形…… n边形的内角和是多少度吗？
观察下面的图形，填空：
五边形 六边形
从五边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将五边形分成 三角形， 五边形的内角和等于 ；
从六边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将六边形分成 三角形， 六边形的内角和等于 ；
从n边形一个顶点出发，可以引 对角线，它们将n边形分成 三角形， n边形的内角和等于 n边形的内角和等于（n一2）·180°．
B三、例题
例1．如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
C如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360° 又∵∠A＋∠C＝180° ∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°
D这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角， 求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
A 6
B
F
5
C
E
D
4
解：∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BAD=180° ∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°
∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180° 又∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°
∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360° 这就是说，六边形形的外角和为360°。
如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果： n边形的外角和等于360°。
对此，我们也可以这样来理解。如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回
到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
巩固练习： （一）、填空题．
1．n边形的外角和等于____________________.
2．多边形的外角和与它的边数_______ （填“有”或“无”）关系．
3．一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是_____边形。 4．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为 5．内角和为1440°的多边形是． 6． 内角和等于外角和的多边形是
7．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为边形． （二）、判断题．
1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．（ ） 2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．（ ） 3．三角形的外角和与其他多边形的外角和相等．（ ）
4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（ ）
（三）、选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角 2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（ ） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（ ） A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ） A．增加 B．减小 C．不变 D．不定
5．若多边形的外角和等于内角和，它的边数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．7 6．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是（ ） A．五边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 7．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（ ） A．四边形 B，五边形 C．六边形 D．七边形 8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的内角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1080°
11．4课题学习：镶嵌
）
一、情景导入
回想一下，你家屋内铺设的地板是什么图形？街道两边的便道是用什么形状的砖铺设的？为什么这样的砖能铺成无缝隙的地面呢？ 二、平面镶嵌及条件
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌 ．．．．．．．怎样的多边形才能进行平面镶嵌呢？
任意剪一些形状、大小相同的三角形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。
能镶嵌成平面图案。
任意剪一些形状、大小相同的四边形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。
能镶嵌成平面图案。
任意剪一些形状、大小相同的五边形纸板，拼一拼，看它们能否镶嵌成平面图案。
为什么有的多边形可以镶嵌成平面图案，有的又不能呢？
仔细观察我们镶嵌成的平面图案，在拼接的同一个顶点处各个角有什么关系？ 同一个顶点处的各个角的和等于360°，且相邻的多边形有公共边.。 也就是说，只要满足这条件就能进行平面镶嵌。 正五边形在同一个顶点处各角的和不能等于360°，所以正五边形不能进行平面镶嵌。同样的道理，其它多边形也不能单独进行平面镶嵌。
因此，能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形和正六边形。 三、平面镶嵌的设计
既然只要满足“同一个顶点处的各个角的和等于360°”就能进行平面镶嵌，那么多种多边形只要满足这个条件也应该能进行平面镶嵌。
试一试，哪些多边形可以在一起进行平面镶嵌？ 1、正三角形和正方形
2、正三角形与正六边形
3、正八边形与正方形
4
除此之外，还有很多，大家可以在课外搜集一些其他用多边形镶嵌的平面图案，或者设计一些地板的平面镶嵌图，相互交流一下。 四、课堂练习
1.能够用一种正多边形铺满地面的是____。
A、正五边形 B、正六边形 C、正七边形 D、正八边形 2.如果用正三角形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有__个正三角形。
3.如果用正三角形和正六边形进行镶嵌，那么在每个顶点的周围有____个正三角形和____个正六边形或 ____个正三角形和____个正六边形。
本章小结
一、知识结构
二、回顾与思考
1、什么是三角形？什么是多边形？什么是正多边形？三角形是不是多边形？ 2、什么是三角形的高、中线、角平分线？什么是对角线？三角形有对角线吗？n边形的的对角线有多少条？ 3、三角形的三条高，三条中线，三条角平分线各有什么特点？
4、三角形的内角和是多少？n边形的内角和是多少？你能用三角形的内角和说明n边形的内角和吗？ 5、三角形的外角和是多少？n边形的外角和是多少？你能说明为什么多边形的外角和与边数无关吗？ 6、怎样才算是平面镶嵌？平面镶嵌的条件是什么？能单独进行平面镶嵌的多边形有哪些？ 你能举一个几个多边形进行平面镶嵌的例子吗？
能力提高
1、下列说法正确的是〔 〕
A、直角三角形只有一条高 B、三角形的三条中线相交于一点 C、三角形的三条高相交于一点 D、三角形的角平分线是射线 2、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.钝角或直角三角形 3、现有两根木棒,它们的长度分别为20cm和30cm,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 〔 〕的木棒
A.10cm B.20cm C.50cm D.60cm
4、任何一个三角形的三个角中至少有〔 〕A、一个锐角 B、两个锐角 C、一个直角 D、一个钝角 5、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为〔 〕 A.13 B.15 C. 14 D. 13或15
6、在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形.
7、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________; 若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b的取值范围是_______. 8、在△ABC中,AD是BC上的中线,且S△ACD=12,S△ABC＝ . 9、若三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 10、如图，∠CAB的外角为120°,∠B为40°,则∠C 的度数是. 11、如图，AB∥CD，∠A= 38°∠C= 80°，则∠M为（ ） A、52° B、42° C、10° D、40°
C
1
MBD
B
2
AE
2
1
3
AH
EC
D
︒
120︒
D
C
B
10题 11题 12、如图，在△ABC中，E是AC延长线上的一点，D是BC上的一点，∠1 与∠A的大小关系是.
A
C
13、若从一个多边形的一个顶点最多可以引10条对角线,则它是( ) A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形 14、下列可能是n边形内角和的是（ ）
A、300° B、550° C、720° D、960° 15、一个多边形的每一个外角都等于24°,则这个多边形是.
16、一个多边形的内角和与外角和的比是7∶2，则这个多边形是. 17、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，
他购买的瓷砖形状不可以是( )
A、三角形 B、矩形 C、正八边形 D、正六边形 18、如图,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
AFB
E
A
B
D
1
CE
A
D
DB
C
18题 15题
19、如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.
A20、如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线，∠2=350,∠4=65°, 求∠ADB的度数.
4
BCD21、如图，线段AB、CD相交于点O，能否确定AB+CD与AD+BC的大小，并加以说明．
22、如图所示,△ABC两外角的平分线BP、CP交于点P,已知∠A=500，求∠P的度数.
A
A C
C P
(3)
23、 如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，探索∠A与∠1＋∠2有什么数量关系？并说明理由。
BAC
ED