激光原理课程设计

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0引言

激光是20世纪人类的重大科技发明之一，它对人类的社会生活产生了广泛而深刻的影响。作为高技术的研究成果，它不仅广泛应用于科学技术研究的各个领域，而且已经在人类生产和生活的许多方面得到大量的应用。激光之所以在短期获得如此大的发展和他本身的特点即方向性好、相干性好和亮度高是分不开的。

激光区别于普通光源在于激光是光的受激辐射而普通光源是光的自发辐射。研究激光原理就是要研究光的受激辐射是如何在激光器内产生并占据主导地位而抑制自发辐射的。文中将从激光产生的物理基础出发，重点阐述谱线性质及形成条件，阐述激光谐振腔的作用和设计并研究谐振腔的稳定性，推导光与物质作用的速率方程，研究粒子数反转与光强的关系，并推导不同物质不同光强下的增益系数及其变化规律。

关键词：

受激辐射谐振腔稳定条件速率方程粒子数反转增益

一、激光产生的物理基础

光与物质的相互作用，特别是这种相互作用中的受激辐射过程是激光器的物理基础。激光区别于普通光源在于激光是光的受激辐射而普通光源是光的自发辐射。

1、光的波粒二象性

（1）波动性：

光波是一种电磁波，是E和B的振动和传播。如图（1-1）所示。习惯上常把电矢量叫做光矢量。

单色平面波：具有单一频率的平面波，实际中的单色波是不存在的。如果频率宽度∆v比光波本身频率v小很多，即∆v

简谐波是科学抽象的理想单色平面波。设真空中的电磁波和电矢量E在坐标原点O沿x

方向做简谐运动，磁矢量B在坐标原点O沿y方向做简谐运动。设光波以速度c向z方向

传播，则波场中z轴上任一点P的振动方程为：

U=U0cosω(t-τ)=U0cosω(t-zc) (1)

U称作场矢量大小，它代表电矢量E或磁矢量B的大小；U0为场矢量的振幅。

由于P点的位置是任意选取的，所以上式代表了波场中任一点的振动状态，称作简谐波方程，又叫作行波方程。

由上式可以看出：

①当P点固定即z值一定时，则上式代表场矢量在该点作时间上的周期振动。 ②如果时间t固定时，则上式代表场矢量在该时刻随位置的不同作空间的周期变化。

③如果位置时间都变化，则上式代表一个行波方程，代表两个不同时刻空间各点的振动状态。

④上式可改写成：U=U0cosω(t-zc)=U0cos(

即光波具有时间周期性和空间周期性。

平面波的复数表示式为：U=U0ei(ωt-kz)2πt2πz-) (2) Tλ (3)

光强：光强与光矢量大小的平方成正比，其表达式为：

1∝T⎰T

2T-21Udt=T2⎰T2T-22U0UCOS(ωt-kz)dt= (4) 2202

球面简谐波方程为：U=U0i(ωt-kr)U0rU=e，复数表示方法为： cosω(t-)rrc

（2）粒子性：

当光和物质作用时，如果产生原子对光的发射和吸收，那么光的粒子性就表现得较为明显。这是将光当作一个个以光速c运动的粒子流看待。光的量子学说认为，光子和其他基本

ε=hv 粒子一样，具有能量ε和动量P,它们与光波的频率v、真空中波长λ0之间的关系为：

hv h h2π P=n0=n0=n0= k (5) cλ02πλ0

2、原子能级及跃迁

（1）有原子物理学知，原子中电子的状态应该由下列四个量子数来确定：

①主量子数n：n=0,1,2,3, 主量子数大体上决定原子中电子的能量值。不同的主量子数表示电子在不同的壳层上运动，它代表电子运动区域的大小和它的总能量的主要部分。 ②辅量子数l：l=0,1,2,3, ,(n-1)，它表征电子有不同的轨道角动量。对l=0,1,2,3,等的电子顺次用字母s,p,d,f表示。

③磁量子数（即轨道方向量子数）m：m=0,±1,±2,±3, ,±l。代表轨道在空间的可能取向，即轨道角动量在某一特殊方向的分量。

④自旋量子数（即自旋方向量子数）ms：ms=±

表电子自旋角动量在某一特殊方向的分量。

电子的能级，依次用E1,E2,E3, ,En表示，基态：原子处于最低的能级状态，激发态：能量高于基态的其它能级状态，简并能级：能级有两个或两个以上的不同运动状态，简并度：同一能级所对应的不同电子运动状态的数目。

1，代表电子自旋方向的取向，也代2

（2）泡利不相容原理：多电子原子中,不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子数即没有全同电子。

（3）辐射跃迁选择定则：

a. 跃迁必须改变奇偶态。即原子发射或吸收光子，只能出现在一个偶态能级到另一个奇态能级，或一个奇态能级到另一个偶态能级之间。

b.∆J=0,±1（J=0→J=0除外）；

对于采用LS耦合的原子还必须满足下列选择定则：

c.∆L=0,±1（L=0→L=0除外）；

d.∆S=0，即跃迁时S不能发生改变。

3、光和物质的作用

（1）自发辐射

自发辐射: 高能级的原子自发地从高能级E2向低能级E1跃迁，同时放出能量为hv的光子。

自发辐射的特点：各个原子所发的光向空间各个方向传播，是非相干光。

对于大量原子统计平均来说，从E2经自发辐射跃迁到E1具有一定的跃迁速率。

对于大量原子统计平均来说，从E2经自发辐射跃迁到E1具有一定的跃迁速率。用n2表示某时刻处在高能级E2上的原子数密度（即单位体积中的原子数），用-dn2表示在dt时间间隔内由高能级E2自发跃迁到低能级E1的原子数，则有：

-dn2=A21n2dt (6)

比例系数A21称为爱因斯坦自发辐射系数，简称自发辐射系数，它是粒子能级系统的特征参量，及对应每一种粒子中的两个能级就有一个确定的A21的值。上式可改写为：

A21=-1dn2 (7) n2dt

由此可见A21的物理意义为单位时间内，发生自发辐射的粒子数密度占处于E2能级总粒子数密度的百分比。

将上式重新整理解方程得：n2(t)=n20e-A21t (8)

式中n20为t=0时处于能级E2的原子数密度。上式表明如果无外界能源补充，则由于自发辐射，激发态的原子数密度将随时间作指数衰减。

定义原子自发辐射平均寿命为原子数密度由起始值降到e所用的时间，用τ表示，则有：τ=A21。即能级寿命等于自发辐射几率的导数。

当自发辐射几率已知时，某时刻自发辐射光功率体密度为： q21=n2A21hv (10)。

（2）受激辐射

受激辐射：当受到外来的能量hv=E2-E1的光照射时，高能级E2上的原子受到外来光的激励作用向低能级E1跃迁，同时发射一个与外来光子完全相同的光子。这种原子发光的过程叫作受激辐射。

受激辐射的特点是：①只有外来光子的能量hv=E2-E1时，才能引起受激辐射。 ②受激辐射所发出的光子与外来光子的特性完全相同，即频率、相位、偏振方向相同，传播方向相同。

受激辐射的结果使外来光强得到放大，即光经受激辐射后，特征完全相同的光子数增加。光的受激辐射过程是产生激光的基本过程。

光的受激辐射过程

设外来光的光场单色能量密度为ρv，处于能级E2上的原子数密度为n2，在从t到t+dt的时间间隔内，有-dn2个原子由于受激辐射作用，从能级E2跃迁到E1，则有：

-dn2=B21n2ρvdt (11)

比例系数B21称为爱因斯坦受激辐射系数，简称受激辐射系数，它是原子能级系统的特征参量。令W21=B21ρv，则有W21=B21ρv=-1dn2，则W21称作受激辐射跃迁几率。 n2dt

受激辐射跃迁几率W21与自发辐射跃迁几率不同。自发辐射跃迁几率是自发辐射系数本

身，而受激辐射跃迁几率决定于受激辐射系数与外来光单色能量密度的乘积。

（3）受激吸收

光的受激吸收是光受激辐射反过程。处于低能级E1的原子受到外来光子（能量 ε=hv=E2-E1）的激励作用，完全吸收光子的能量而跃迁到高能级E2的过程，叫做受激吸收。

光的受激吸收过程：

设外来光的光场单色能量密度为ρv，处于低能级E1上的原子数密度为n1，在从t到t+dt的时间间隔内，由于吸收使高能级E2上粒子数密度的增加为dn2，则有：

dn2=B12n1ρvdt (12) 式中比例系数B12称为爱因斯坦受激吸收系数，简称受激吸收系数，它是原子能级系统的特征参量。令W12=B12ρv，则有W12=B12ρv=1dn1，则W12称作受激吸收几率。 n1dt

（4）自发辐射、受激辐射和受激吸收之间的关系

在光和大量原子系统的相互作用中，自发辐射、受激辐射和受激吸收三种过程是同时发生的。在单色能量密度为 ρv的光照射下，dt时间内在光和原子相互作用达到动态平衡的条件下有：

A21n2dt+B21n2ρvdt=B12n1ρvdt (13)

式中A21称为爱因斯坦自发辐射系数，简称自发辐射系数；B21称为爱因斯坦受激辐射系数；B12称为爱因斯坦受激吸收系数。

上式表明单位体积中，在dt时间内，由高能级E2通过自发辐射和受激辐射而跃迁到低能级E1的原子数应等于低能级E1吸收光子而跃迁到高能级E2的原子数。

设高能级E2（简并度为g2）的原子数密度为n2，低能级E1（简并度为g1）的原子数密度为n1，则有玻尔兹曼分布定律

-n2g2=en1g1E2-E1kT =e-hvkT (14)

将（14）式代入（13）式得：

g-(B21ρv+A21)2ekT=B12ρv (15) g1

解得热平衡空腔的单色辐射能量密度为： hv

ρv=A211 (16) hvB21B12g1kTe-1B21g2

ehv

kT8πhv3将（16）式与普朗克理论所得黑体单色辐射能量密度公式ρv=c3

斯坦各系数之间的关系为：比较得爱因-1

A21B21=8πhv3c3 (17) g1B12=g2B21 (18)

则自发辐射光功率与受激辐射光功率之间的关系为：

q激hv⨯n2(t)B21ρvB21ρvc3ρv=== (19) 3q自hv⨯n2(t)A21A218πhv

二、谱线性质

1、光谱线、线型和光谱线宽度

由于原子发光是有限波列的单频光，因而原子发光的光谱线具有有限宽度。这就意味着原子发射的不是正好为某一频率v0（满足hv0=E2-E1）的光，而是发射频率在v0附近某个范围内的光，而且就每一条光谱线而言，在有限宽度的频率范围内，光强的相对强度也不同。

设某一条光谱线的总光强为I0,在频率v附近单位频率间隔的光强为I(v)，则在频率v附近单位频率间隔的相对光强为I(v)I0，用f(v)表示，即：f(v)=I(v)I0，f(v)为频率v的函数，它表示某一谱线在单位频率间隔的相对光强分布，称作谱线的线型函数。其实验测得图像如图1所示：

图2.1 光谱线型函数曲线

由图1可以看出理想的单色光只有一种频率，且在该频率处的相对光强为1，即光强完全集中在此频率，实际中光强分布在一个有限宽度的频率范围内，相对光强在v0处最大，两边逐渐减小，v0是谱线的中心频率。对于谱线的线性函数f(v)有⎰∞

0f(v)dv=1I0⎰∞0I(v)dv=1 即f(v)满足线性归一化条件。由图可以看出，在v1或v2处11f(v0)。通常定义∆v=v2-v1，即相对光强最大值的处的频率间隔，22有f(v1)=f(v2)=

叫做光谱线的半（值）宽度，简称光谱线宽度。

引起谱线增宽的原因主要有自然增宽、碰撞增宽和多普勒增宽。

2、自然增宽

自然增宽是指作为电偶极子看待的原子作衰减振动而造成的谱线增宽。假设原子彼此孤立并且静止不动，由于电偶极子的衰减振动可展开成频率在一定范围内连续变化的简谐波，所以光强在谱线范围内随频率的分布为：

I(v)∝u(v)2=U0 (20) 2224π(v-v0)+(1/2τ)

则单位频率间隔的相对光强随频率分布函数fN(v)为：

fN(v)=A (21) 2224π(v-v0)+(1/2τ)

式中v0为谱线的中心频率，A为比例常数,fN(v)为自然增宽的线型函数。由线性归一化条件的比例常数A=1/τ（τ为原子自发辐射的平均寿命）。由此可得自然增宽的谱线线型函数为：fN(v0)==4τ (22) 2(1/2τ)

=4τ ； (1/2τ)2当v=v0时，fN(v0)=

当v=v1=v0-111和v=v2=v0+时，fN(v)=fN(v1)=fN(v2)=2τ = fN(v0) 4πτ4πτ2

2πτ,∆vN是fN(v)的值降至其最大值的由此∆vN=v2-v1=1时所对应的两个频率之差，2

称作原子谱线的半值宽度也叫自然增宽。

利用自然增宽来表达的光谱线型函数为：fN(v)=∆vN/2π，自然增宽型分布22(v-v0)+(∆vN/2)

函数也叫洛伦兹线型函数。其频率变化关系如图2

图2.2自然增宽的线型分布函数

2、碰撞增宽

自然增宽是假设原子彼此孤立并且静止不动所造成的谱线增宽。而碰撞增宽是考虑了发光原子间的相互作用造成的，碰撞使原子发光中断或光波位相发生突变，迫使发光波列缩短，如图3所示

图2.3 碰撞增宽形成机理

∆vC/2π (23) 22(v-v0)+(∆vC/2) 碰撞增宽引起的谱线线型函数为：fC(v)=

3、多普勒增宽

多普勒增宽是由于发光原子相对观察者（接收器）运动所引起的谱线增宽。当光源和接收器相对运动时，接收器接收到的光波频不等于光源与接收器相对静止时的频率，这叫做多普勒效应。

设光源与接收器在两者连线方向的相对速度为，则接收到的光的频率为：

+υ/cv01-υ/c并且光源与接收器相对趋近时， υ 取正值；两者背离时，υ 取负值。这

叫光的纵向多普勒效应。当光源与接收器之间的相对速度在垂直于两者连线方向时，此时的频率为：v=-(

多普勒效应。

大量同类原子的发光时，由于原子运动速度各不相同，不同速度的原子所发出的光被接收时的频率也各不相同，因此引起谱线频率增宽。多普勒增宽的线型函数为：υ⊥c)2v0。式中υ⊥为垂直于光源与接收器连线方向的相对速度，这叫横向

mc2(v-v0)2cm1/2fD(v)=()exp[-] (24)。 22πkTv02kTv0

当v=v0时，线型函数取最大值为：fD(v0)=(

2m1/2c)； 2πkTv022kTv02kTv01/21/2ln2)v=v=v+(ln2)当v=v1=v0-(或时， 2022mcmc

fD(v1)=fD(v2)=

由此1fD(v0) 2∆vD=v2-v1=2v0(2kTv-v022ln21/2ln2)1/2

2，f(v)=()exp{-[4ln2()] Dmc∆vDπ∆vD

由于自然增宽和碰撞增宽中每一个原子所发的光对谱线内任意频率都有贡献，这种增宽被称为均匀增宽。多普勒增宽中，各种不同速度的原子对fD(v)中不同的频率有贡献，不同原子的作用不同，这种增宽称为非均匀增宽，其线性函数为高斯分布函数。虽然均匀增宽和非均匀增宽，也就是洛伦兹线型函数及高斯函数的图形都是“钟形”曲线，但它们很不相同。如图4所示。

图2.4 两种线型函数的比较

设两种线型函数的线宽相等，即∆vD=∆vH，此时fD(v0)=2ln21/20.939 ()≈∆vDπ∆vDfH(v)=20.637≈。由此可见，在中心频率处，高斯曲线的最大值是洛伦兹线型最大π∆vH∆vH

值的1.47倍。在中心频率两侧，高斯曲线下降的比较陡，而洛伦兹曲线相对的变化比较缓慢。通常自然增宽远小于碰撞增宽和多普勒增宽。

三、激光产生条件

激光是靠介质内的受激辐射向外发出大量光子而形成的。要使受激辐射起主要作用而产生激光，必须具备三个条件，即：

①有提供放大作用的增益介质作为激光工作物质，其激活粒子（原子、分子或离子）有适合于产生受激辐射的能及结构；

②有外界激励源，将下能级的粒子抽运到上能级，使激光上下能级之间产生粒子数反转； ③有光学谐振腔，增长激活介质的工作长度，控制光束的传播方向，选择被放大的受激辐射光频率以提高单色性。

四、激光谐振腔的作用及设计

1、激光谐振腔的构成及作用

对大多数激活介质来说，由于受激辐射的放大作用不够强，光波被受激辐射放大的部分往往被介质中的其他损耗因素（如介质的杂质吸收、散射等）所抵消，因而受激辐射不能成为介质中占优势的一种辐射。而谐振腔的作用正是加强介质中的受激放大作用。

光学谐振腔是由两个反射镜组成，其一是全反的，另一个是部分透过的。谐振腔的光轴与工作物质的长轴相重合。这样沿谐振腔轴方向传播的光波将在腔的两反射镜之间来回反射，多次反复地通过激活介质，使光不断地被放大。而沿其他方向传播的光波很快地逸出腔外。这就使得只有沿腔轴传播的光波在腔内择优放大，因而谐振腔的作用可使输出光有良好的方向性。另谐振腔还有限制模式和选择频率的作用。沿腔轴往返传播的光波在腔内满足驻νq=

波条件的频率（c2ηL）才能振荡。 q

图4.1简单光学谐振腔结构

谐振腔提供光学正反馈作用，使光多次通过腔工作物质，不断被放大，形成往复持续的光频震荡，同时对光束有方向和频率上的限制作用，有效控制腔内实际震荡的模式数目，使大量光子集中在少数几个沿轴向、且满足往返一次位相变化为2π的整数倍的光子状态数，提高光子简并度，控制谐振频率纵模，控制光束横向分布特性、光斑大小、光束发散角，改变腔内光束损耗。

2、谐振腔的稳定性

基本的光学谐振腔由两个有一定间距的共轴球面反射镜所构成,如图5所示。激光束在共轴球面腔内经过多次往返后，若光束位置仍紧靠光轴，始终保持在腔内而很少逸出腔外，则光学谐振腔稳定。

图4.2共轴球面腔结构示意图

共轴球面腔的稳定条件为：0

则共轴球面腔稳定图为：

图4.3共轴球面腔稳定条件图

3、利用matlab对谐振腔的稳定性的讨论

设谐振腔的结构及参数示意图如下图所示：

已知往返一周传输矩阵有

⎡1

Tr1=⎢2⎢-⎢⎣R1

整个系统的变换矩阵为 0⎤⎡1⎥Tr2=⎢2⎢-1⎥⎥⎢⎦,⎣R20⎤⎡1⎥1⎥T1=⎢⎥⎣0⎦,L⎤1⎥⎦

2L⎡1-⎢R2⎢T=Tr1⋅T1⋅Tr2⋅T1=4L⎢22--+⎢RRRR⎣1212⎤⎥⎥2L2L2L⎥-+(1-)(1-)⎥R1R1R2⎦ 2L(1-L)R2

当R1=500mm、R2=500mm、L=700mm时，有

0⎤0⎤⎡1⎡1⎡1⎥Tr2=⎢2⎥Tr1=⎢2T1=⎢⎢-⎢-1⎥1⎥⎣0⎣500⎦，⎣600⎦，

700⎤1⎥⎦,

整个系统的变换矩阵为T=Tr1⋅T1⋅Tr2⋅T1。

用Matlab程序计算光线在腔内的轨迹，演示腔的稳定和不稳定时光线在腔内往返次数增加时光线轨迹。初始光线任意选择。

稳定情况下非稳定情况下

R1=500mm,R2=600mm,L=700mm R1=250mm,R2=300mm,L=700mm

五、光与物质作用的速率方程的推导及粒子数反转与光强的关系

1、光与物质作用的速率方程的推导

实现上下能级之间粒子数反转产生激光的绝大多数物理过程可归结为三能级和四能级系统。

三能级系统：如图(5.1a)，产生激光的下能级E1是基态能级，激光的上能级E2是亚稳态能级，E3为抽运高能级。三能级系统的主要特征是激光的下能级为基态，通常情况下，基态是充满粒子的。而且发光过程中，下能级的粒子数一直保存有相当的数量。四能级系统：如图(5.1b)，产生激光的下能级E1不是基态能级，粒子抽运是从比下能级E1更低的基态能级E0上进行的。激光的下能级E1是一个激发态能级，在常温下基本是空的，粒子在能级E1上的寿命极短，很容易在E2、E1之间产生粒子数反转分布。因此四能级系统所需要的激励能量要比三能级系统小得多，产生激光要比三能级系统容易得多。

5.1三能及系统和四能级系统示意图

考虑到大多数激光工作物质为四能级系统，以四能级系统为例来建立速率方程组。下图

5.2为简化的四能级系统的能级图。

图5.2简化的四能级图

E2、E1分别为激光上、下能级，E0为基态。设上、下能级的粒子数密度分别为n2、n1，基态粒子数为n0，n为单位体积内增益介质的总粒子数，在谐振腔中传播的单色光能密度为ρ。当激励能源开始工作后，它以速率R2把粒子由基态E0抽运到E2能级上，同时以速率R1把粒子由基态E0抽运到E1能级上。由于介质的线性函数线宽远大于传播着的能密度为ρ的单色受激辐射光的线宽，由此E2能级在单位时间内粒子数密度的增加可表示为

dn2=R2-n2A2-(n2B21-n1B12)ρf(v) (26) dt

同理，单位时间内E1能级上粒子数密度的增加可表示为

dn1=R1+n2A21-n1A1+(n2B21-n1B12)ρf(v) (27) dt

总的粒子数为各能级上粒子数之和即n=n0+n1+n2

上述三个方程即为描述各能级上的粒子数密度随时间变化的速率方程组。

2、粒子数反转与光强的关系

当激光器工作达到动态平衡时，各能级上粒子数密度将不随时间而改变，即： dn0dn1dn2===0 (28)dtdtdt

若假设能级E2、E1的简并度相等，即g1=g2，此时有B12=B21，对于许多高效率激光器， E2能级向E1能级的自发跃迁几率A21远大于E2能级向基态E0的自发跃迁几率A20，即 A2≈A21,则速率方程组可简化为：R2-n2A2-(n2-n1)B21ρf(v)=0；

R1+n2A2-n1A1+(n2-n1)B21ρf(v)=0 (29)。两式相加得：R1+R2=n1A1=n1

τ1⇒n1=(R1+R2)τ1

n2=R2+(R1+R2)τ1B21ρvf(v)R2τ2+(R1+R2)τ1τ2B21ρvf(v)= (30) A2+B21ρvf(v)1+τ2B21ρvf(v)

由此可得，激光上、下能级间粒子数密度反转分布为：

∆n=n2-n1=R2τ2+(R1+R2)τ1τ2B21ρvf(v)-(R1+R2)τ11+τ2B21ρvf(v)

R2τ2-(R1+R2)τ1∆n0

== (31)1+τ2B21ρvf(v)1+τ2B21ρvf(v)

上式即为一般的稳态情况下的粒子数密度反转分布值与各参量之间的关系式。

（1）小信号工作时的粒子数密度反转分布

当谐振腔的单色光能密度为零，或者近似为零时粒子数密度反转分布值为：

∆n0=R2τ2-(R1+R2)τ1 (32)

（32）式即为小信号工作时，粒子数密度在能级间的反转分布值与能级寿命、抽运速率之间的关系。

由（32）可以看出在选择激光上、下能级时应该满足的要求为：

①E2能级的寿命要长，使该能级上的粒子数不能轻易地通过非受激辐射而离开；E1能级

的寿命要短，使E1能级上的粒子能很快地衰减。即满足条件τ2>τ1的能级，有利于实现能级间的粒子数反转分布。

②应该选择合适的激励能源，使它对介质的E2能级的抽运速率R2越大越好，对E1能级的抽运速率R1越小越好。

（1）均匀增宽介质粒子数密度反转分布

对于均匀增宽的介质，其线性函数为f(v)=∆v/2π中心频率值为(v-v0)2+(∆v/2)2

f(v0)=2 π⋅∆v

① 如果介质中传播的光波频率为v0，则有： Iv0Iv02μρv0f(v0)=Iv⇒τ2B21ρv0f(v0)==;⋅c⋅∆vπ⋅c⋅∆v0Is()2μτ2B21

π⋅c⋅∆v I= (33)s 2μτ2B21

式中Is为饱和光强。

② 如果介质中传播的光波频率v≠v0，则 τ2B21ρvf(v)=τ2B21

μcIvf(v)=τ2B21Ivπ⋅c⋅∆v/2μτ2B212f(v)⋅cπ⋅∆v2/π⋅∆v If(v)f(v)v=0⋅ (34)f(v0)Isf(v0)Ivμ

由此（1）式可表示为：

⎧∆n0

v=v0⎪0 ∆n⎪1+IIs∆n==⎨ (35)220I() ⎪[(ν-ν0)+(∆ν2)]∆n 1+v≠v022If(ν)⎪s0 ⎩(ν-ν0)+(1+IIs)(∆ν2)

上式即为均匀增宽型介质内E2、E1能级之间粒子数反转分布的表达式，它给出了能级间粒子数反转分布值与腔内光强I、光波的中心频率v0、介质的饱和光强Is、激励能源的抽运速率R2、R1以及介质能级的寿命τ2、τ1等参量之间的关系。

③由上式可以看出，当腔内光强I≈0(即小信号)时，介质中的粒子数密度反转分布值∆n最大，其值为∆n0。当腔内光强I的影响不能忽略时，粒子数密度反转分布值∆n将随光强的增加而减小，此现象称为粒子数密度反转分布值的饱和效应。

④当腔内光强一定时，粒子数密度反转分布值∆n随腔内光波频率而变，图5.3给出了IV一定时,∆n随v变化的曲线，即饱和效应曲线。

图5.3∆n的饱和效应曲线

六、增益系数

1、不同物质、不同光强下的增益系数的推导

增益系数是指光波通过单位长度路程光强的相对增长率，即介质对光放大能力的大小，通常用G表示。它与吸收系数是描写光在介质中可能经历的两个相反过程的强弱的参量，它是标志介质受激放大能力的物理量。可以表示为：

G(v)=∆nB21μchvf(v) (36)

该式说明，增益系数与介质的若干物理常数有管，同时还取决于介质中的粒子数密度反转分布值∆n。

（1）对于均匀增宽介质：

G(v)=∆n0μB21hvf(v) ( 3 7 )c1+ISf(v0)

当介质中尚未发生光放大时，粒子数密度反转分布值∆n达到最大值∆n，与之对应的增益系数为小信号增益系数，即

G0(v)=∆n0B21

hv0f(v) (38)

式中，f(v)代表介质的线性函数。由于光的频率远大于谱线宽度（∆v

G0(v)

G(v)= (39)

If(v)1+

ISf(v0)

上式即为均匀增宽介质增益系数的表达式。

对均匀增宽型介质，将其中心频率处线性函数值代入式（38），可得到中心频率处的小

μ2

信号增益系数为：G0(v0)=∆n0B21hv0 (40)

cπ∆v上式说明中心频率处的小信号增益系数与线宽成反比。

（2）对于非均匀介质：

频率v1粒子数密度反转分布对小信号增益系数的贡献，就象均匀增宽型介质的∆n对

G0(ν)的贡献那样，介质的小信号增益系数是介质中各种速度的粒子数密度反转分布的贡献

之和，故有

GD(v)=⎰∆n0fD(v1)dv1B21

0∞

hvf(v)

=∆nB21

hv⎰

∞

∆v/2π

fD(v1)dv1 (41)22

(v-v1)+(∆v/2)

虽然积分是在0～∞区内进行的,但是由于v1是f(v)的中心频率,当v-v1>时的f(v)的值迅速趋近于零,实际上 v1的取值范围为v1-即GD(v)实际是由频率在v1-

∆v

∆v∆v~v1+。 22

∆v∆v

此范围内，非均匀增宽的线型函数fD(v1)几乎不变，可以用fD(v)代替，如图6.1所示。

图6.1非均匀增宽型介质的小信号增益的计算

这样式（41）积分可化为：

G(v)=∆nB21 =∆n0B21

hvfD(v)⎰

∞

∆vdv1

2π(v-v1)2+(∆v/2)2

hvfD(v) (42)

上式即为非均匀增宽型介质的小信号增益系数的表达式。由上式可求得中心频率处的小信号

增益系数GD(v0)为：GD(v0)=∆nB21

2μln22

hv0() (43) c∆vDπ

2、MATLAB画出增益曲线

（1）均匀增宽小信号增益系数曲线

（2）均匀增宽型增益饱和曲线

(3)非均匀增宽小信号增益系数曲线

（4）非均匀增宽型增益饱和曲线

附

设计源程序：

%稳定谐振腔 clear,clc n=100;

L=700;R1=500;R2=600; r=3;theta=0.01; I=[r;theta];

x=linspace(0,L,L); for i=1:n

y=I(1,1)+I(2,1)*x; plot(x,y),hold on

I=[1,0;-2/R2,1]*[1,L;0,1]*I;

y=I(1,1)+I(2,1)*(L-x); plot(x,y),hold on

I=[1,0;-2/R1,1]*[1,L;0,1]*I; end

%非稳定情况下 clear,clc n=100;

L=700;R1=250;R2=300; r=3;theta=0.01; I=[r;theta];