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数学的抽象性特征及其教学策略研究
江西交通职业技术学院基础部数学教研室
１．引言
当代世界著名数学家，非尔兹（Fields ）奖的获得者M ·F ·阿蒂亚曾经提出：要处理复杂性骤增的数学问题，就必须建立和发展相应的抽象数学概念。抽象性是数学的特性之一，苏联数学家亚历山大洛夫曾经说过：“抽象性在简单的计算中就已经表现出来，我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来，我们在学校学的是抽象的乘法表即数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。同样，在几何中，我们通常研究的是直线或曲线，而不是日常使用的直绳或曲绳。并且在几何线的概念中舍弃了所有性质，只留下其空间形式和大小的结果。”这就是说，一切数学模式都是抽象思维的产物，并且是对具体事物的量性反映。
２．数学的抽象性及特征数学，它以现实世界的空间形式和数量关系作为自己的研究对象，
但是为了在比较纯粹的状况下所以，它的研究对象本来是十分具体的。
来研究空间形式和数量关系，才不得不把客观对象的所有其它特征抛开不管，而只抽象出空间形式和数量关系进行研究。因此数学具有十分抽象的形式，这就是数学的抽象性。
其实，一切科学都有一定的抽象性，不过数学的抽象是对空间形
变速运动中，某一时刻的瞬时速式和数量关系这一特性的抽象。例如，
度，这是从物理学中抽象出来的规律，而我们数学的抽象就是从数量关系上抽象。
f'(x0)=limf(x)-f(x0) =lim Δy （此处y=f(x)）
x →∞Δx →00
这里已舍去了其物理意义，因而数学的抽象具有高度的抽象性。具体地说有下面几个特点：
（1）不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是抽象的，并且大量使用抽象的符号。
（2）数学的抽象是逐级抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材
由数到式，由式到函数，由函数到关系等等；又料为其具体背景。例如，
如由具体数的运算到集合的代数运算，然后到各种代数基本结构；再如由加、减、乘、除、乘方等运算到把运算看成特殊的映射，又把映射看作特殊的关系等等。这里我们不难看到它们的顺序性较强（这里也体现了顺序性）。在逐级抽象过程中，若对某一具体步骤缺乏理解，势必会影响到对后面有关内容的理解。
（3）高度的抽象性必然有高度的概括。（4）抽象能达到感知所不能达到的领域。大家知道，刚学10以内的加法的时候，可与实物对照起来进行（扳手指头），而学习多位数加法时，不能再用扳手指头了，这时必须要借助于抽象思维（当然也可用算盘珠帮助计算）。
又如讲无理指数幂定义，先写出两个单调数列：
101.4
101.5>101.42>101.415>……
10
姨吴琴蕾
101.4101.41101.414101.415101.42101.5
则必然有一个数要比以10为底的，姨的一切不足近似值为指数的幂大；比以10为底的，这种无姨的一切过剩近似值为指数的幂小。限的过程不能凭直观，而只能抽象地在头脑中去思考，这正是数学抽象的优点。
数学抽象的上述四个特点必然要在数学教学中有所反映。因此，我们在数学教学中也应该充分发挥数学抽象的特点的积极作用。
３．教学策略3.1具体———抽象———具体
根据数学具有高度的抽象性的特征，在数学教学中我们要采用具体———抽象———具体。
（1）数学的教学过程是一个特殊的认识过程。学生学习数学是处在第一次发现数学的地位，尽管他所“发现”的知识是前人已经总结的，而且他的“发现”过程又是在教师的指导下进行的。正因为学生所认识的材料是前人总结的，且又在教师指导之下进行，因此这种认识过程具有特殊性。
列宁对认识过程作了精辟的论述：“由生动的直观到抽象的思维，
。这个著再由思维到实践，这就是认识真理，认识客观事实的辩证道路”
名的公式就简单概括为：具体———抽象———具体。
（2）由于数学的抽象性要求暂时与具体割裂，这样就带来两方面的问题：一方面，在过程中要阐明这种抽象性是如何来的，即如何从具体的材料中抽象出来的，这个过程要让学生有清楚的认识。概括地说就是要准备好抽象的背景材料（这是第一次的抽象与具体的联系），这一点不仅是为了抽象的需要，而且也是为了培养能力的需要；另一方面，抽象的材料还有个具体化过程，目的旨在把已经抽象的概念，法则，公式与具体联系起来，从而检验，加深这种抽象的认识。不仅如此，从教学的角度看，也是为了培养能力的需要———应用数学与实际的能力（这是第二次的抽象与具体的联系）。
3.1.1从具体到抽象。相对于抽象，具体的东西就是感性材料，或者用教学的术语讲就是“直观”材料。在数学教学中直观的材料可以是模型，实物，实例以及语言等等。
例如，在开始学习立体几何时，学生的空间想象力尚未建立起来，常常难以想象图形在三维空间中的情境，这时常常使用实物模型。有的教师还让学生亲自去制作有关模型（例如用火柴棍搭一个立方体），从中去发现一些元素间的关系。
此外，在从具体到抽象的数学教学中，对有些问题还可以用语言直
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观描述。例如在讲数列极限时，可以说可以小到任意小，只要你指
出一个数，我们总可以在足够项后，一切的项都比你指出的数还小。
当然，应用直观教材，或者用语言直观描述，无论采用何种方式都应注意下面几点：
我们的目的是要从具体材料中抽象出本质属性第一，要有目的性。
或内部关系，因此，始终要把握这个方向，不要为直观而直观。在学生已经具有某些知识经验的情况下，可以直接利用这些知识经验建立新的概念或法则，这时直观就不是必需的了。
第二，通过直观材料或语言描述，在头脑中建立起有关事物的特征与联系的感觉，知觉，表象或观念，从而获得对于事物的一些具体的或感性的知识。类似于这样的认识过程，在教学上通常叫做直观过程。
在这种教学的直观过程中，学生只获得一些主观映像，即关于实际事物的感性知识，是事物的外表特征与联系的反映，是认识事物或领会知识的开端环节，所以它仅仅是提供一些所要的概念与法则所必需的基础性的知识经验。若要建立起相应的概念与法则，则必须在这一基础上进一步进行思维加工（不能停留在感性认识的基础上）。
值得提出的是，直观环节中固然包含着一定的感知活动，但不限于感知；而且在有些情况下起主要作用的并不是感知成分。直观环节中，除了具有感知成分外，还有想象，思维和记忆的成分。
第三，丰富的感性知识经验是正确掌握抽象理论的必要条件，但是，在教学过程中所能提供的感性材料，总是在数量上具有一定的限制，因此，教师在提供或唤起学生的感性经验作为理解概念的基础时，必须很好地选择它们的质的特点，运用对象的变式规律，使他们在最大限度上反映的更全面真实。
3.1.2从抽象到具体
作为学生掌握知识的过程来说，仅仅由具体到抽象，由感性认识到理性认识是不够的，为了加深对知识的理解，还需要把所学得的知识应用到同类问题中去，从而去检验和深化抽象的理论，并且从中学到必要的技能与技巧。这个过程实际上是抽象到具体的过程。
抽象知识的具体化同具体事物的抽象化虽有联系，但又有区别。从认识过程的进程来说，具体事物的抽象化是个别到一般，具体到抽象，或感性到理性的过程。而抽象知识的具体化则是从一般到个别，抽象到具体，或理性到感性的过程。
从逻辑意义上来说，具体事物的抽象化是归纳过程；抽象知识的具体化则是演绎过程。
从思维过程的内容方面而言，具体事物的抽象化在于通过对同类的一些具体事物的一系列分析，分别抽出这类事物的共有的，一系列的本质特征，从而形成这类事物的概念，原理，定理以及法则等抽象知识；抽象知识的具体化则要求把抽象知识本身分解为一系列本质特征，并在这些本质特征的指引下去分析具体事物，从中确定这些具体事物是否具有这一系列特征，从而判断这种抽象知识能
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姨
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人文社科
广播电视大学。这些学校的发展一直都受到大多数人的欢迎，得到了国家的大力支持。然而民办高校却没有如此幸运。虽然中国的民办教育从无到有, 在短短的十几年内已发展到现在的一千多所，整个民办高等教育的在校生数则达到了近百万人。它打破了国家包揽办学的局面，促进
我国了高等教育的多样化，扩大了高等教育的机会。2003年9月1日，
《民办教育促进法》已经正式颁布实施了，第一部关于民办教育的法律
这给民办教育带来了新的生机和活力。但是，一些民办高校的办学质量有待提高。并且由于资金、生源等原因, 民办高等教育的进一步发展受到限制。现有的民办高等教育机构, 在实现中国高等教育向大众化递进的过程中, 还没有发挥出应有的作用。所以我们要转变观念，尤其在国家和政府方面，要放宽政策，大力扶持，鼓励和发展民办高等教育事业。民办高校也要承担起教育大众化的任务。侧重培养大批经济建设的实用人才。另外，民办高校也要向多层次方向发展，也应当积极主动开拓多种资源，扩大办学规模，优化办学条件。
3. 高等教育大众化必须加快高等教育投资体制改革
日本高等教育的投资多元化，这是日本高等教育得以迅速发展的一大特点。日本国立大学的投资主要来自中央财政拨款以及民间赞助。私立大学的办学经费一部分由国家投入，一部分由地方政府投入。另外一些财团也向高等教育机构投入大量资金，实行产学合作、促进大学发展。正因为日本高等教育投资多元化才使得日本高等教育多层次的发展。相比之下，我国的高教投资体制显得过于单一, 重点都投入了研究型大学和国家重点学科建设，对地方院校和民办院校的扶持力度明显不够。近几年来高校管理体制改革, 这种现象有所好转, 民间投资高教不断上升, 今后应实行进一步鼓励和实施高教投资多元化, 建立国家、地方、社会、个人分担机制, 公办、民办相结合的教育财政体制。国家要基于教育机会平等的理念给予大力扶持。政府要出台政策，鼓励社会力量办学。同时，地方院校和民办院校不能只是盯住政府“等、靠、要”，自己要加强科研转化，积极主动寻找财源。参考文献
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数方面均超过国公立高校, 在日本高等教育结构中占有相当大的比例。据统计四年制本科高校中72％为私立，短期大学中83％为私立，高等专科学校中6.5％为私立，专修学校中90％为私立。这些私立高校在为具有不同能力、兴趣的学生提供高质量的、差异性的教育服务和满足社
经济、科技发展的多样化要求的过程中，形成并彰显了自己的会政治、
灵活性和独特个性，通过不断努力和卓越表现，日本私立高校树立了良
为此，日本政府专门制定了《私立学好的信誉，赢得了政府的大力支持。
校法》、《私立大学振兴助成法》和《国家对私立大学的研究设施提供补助规程》等法律。根据这些法律，日本私立学校的地位得到了确认，减轻了政府对教育投入的财政负担，国家对私立学校采取扶植等措施，为高校依法办学提供了保障。
日本高等教育大众化得以顺利推进，除了上述的有效措施之外，还有就是国家重视对高校经费的投入，日本政府制定了国家负担、补助制度和地方交付税金制度。国家负担、补助制度就是国家给予地方财政补助，包括高等教育事业发展的补助金制度，地方交付税金制度是指每年从地方交纳的税金中抽出一定比率的税金，专用于地方公立学校教育经费的地方交付税金制度，这一笔税金中有一定比例是用于高等教育经费的。除此之外，日本还注重高等教育发展和经济增长的良性循环，这又为日本高等教育大众化的发展提供了有力的条件。
三、日本高等教育大众化对我国高等教育的启示中日两国高等教育发展历程的政治环境不同、经济实力悬殊、文化背景存在差异。但是随着市场经济的发展，两国文化交流的日益增多，我们仍然能从日本的高等教育大众化的特色中得到很多启示，这对于已经进入高等教育大众化阶段的中国高等教育显得尤为重要。
1. 加强教育立法，走依法治校之路
我国的教育立法存在着许多缺点和问题。首先，教育立法体系不完整，特别是在民办教育立法上与其相关配套法律极不完善。教育内容普遍空泛，可操作性不强，在涉及具体问题时往往缺乏明确的法律条文相对照。其次，执法力度不够，教育法规本身的缺陷，加上人们对教育事业
人们在实际行潜意识里的轻视法规，必然导致教育法规严肃性的缺失。
动中对教育法规往往有法不依，而教育法规的强制性不足又使得人们对违反教育法规的行为无法追究，从而导致人们对教育法规信任的危机。
我们应当加快教育立法进度，努力学习日本在高等教育立法方面的经验，实现依法治校，使我国的高等教育事业取得长足的进步。在吸取先进国家成功经验的同时，也要注意总结本国的经验教训，找准我国高等教育努力的方向，制定教育的相关法规，使我国的高等教育迅速步入民主化和法制化的轨道，保障高等教育事业健康发展。
2. 进一步加强公办大学建设，大力推进民办高校建设
日本在实现高等教育大众化这一时期, 形成了以四年制大学为主体, 短期大学和高等专科学校为两翼, 研究生院为顶层的三类型四层次的高等教育结构。中国现有的高等教育体系中, 公办的研究型大学占有绝对重要的地位，其次是公办的高等专科学校及一些高等职业学校和（上接第101页）否包括这些具体的事物。
由于抽象知识的具体化过程与具体事物的抽象化过程具有上述不同的特点，所以知识的应用与知识的获得不能等同，它们是知识掌握过程中的两个不同的阶段。
为此，教师通常要依据掌握教材的要求，向学生提出一些问题，或是布置一些习题作业，使学生依据所学概念，定理和法则等知识，或是去辩论同类的有关事物，或者去解决，说明同类事物的有关现象，或是去完成相应的操作等。
在数学教学中指导学生解题是相当重要的，它一方面可以看作抽象知识的具体化过程，另一方面，通过解题又学到一些新的知识，既能和方法，从某种意义上来说它又是由具体到抽象的过程。数学教学在一定的程度上，它的质量的高低，取决于如何根据教学目的，教材以及学生的特点选择与安排好题目，并且恰如其分地进行教学。这对一位新教师是一项艰巨的工作。对于解题的教学，一要注意选题的目的性；二是注意它们的系统性的安排，由易到难，由简单到复杂，由单一到综合；三要注意把讲授的重点放在探索解题的途径上；四是要注意与必要的理论知识联系；最后要注意作必要的小结，把具体的题目能提到“一般性”的高度来认识。
总之，抽象性与具体性相结合的原则，即具体———抽象———具体的原则，在数学教学中应用是很广泛的。如果说，严谨性与量力性结合的原则对掌握教材的深度，广度起着特别重要的作用，那么，抽象性与具体性相结合的原则对教学过程的安排起着特别重要的作用。
４．结束语
数学的的抽象性既是数学学习的困难之点，又是数学的显著特点之一。数学的抽象性，不能只考虑学生的学习困难，而采取回避的态度，
或仅以实例说明简单处理，而应当引导学生正视数学的抽象性，不畏惧
数学的抽象性，逐步习惯于欣赏乃至使用数学的抽象性真正把数学学好。关于数学的抽象性以及如何在教学研究中运用和处理它，由于笔者水平有限仅作以上分析，目的是希望关于这个问题能引起更多人的重视，对它做出更深入的研究。参考文献
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