第十一章 第五节
1．(2014·南昌二中月考) 随机掷一枚质地均匀的硬币三次，至少有一次正面朝上的概率为( )
7135 C. 8888
解析：选A 掷一枚硬币三次共有8种结果，一次正面向上都没有的结果有1种，所以7
至少有一次正面朝上的结果有7种，所以所求概率为A.
8
2．(2013·新课标全国高考Ⅰ) 从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
1111 C. 2346
解析：选B 从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，21
(2,4)，(3,4)，满足条件的取法有(1,3)，(2,4)两种，故所求概率是. 选B.
63
3．甲、乙两人一起去游玩，他们约定，各自独立地从1至6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是( )
1151 C. D. 369366
解析：选D 若用1,2,3,4,5,6代表6个景点，显然甲、乙两人可能的选择结果为(1,1)、(1,2)、(1,3)、„、(6,6)，共36种情况，其中满足题意的有(1,1)、(2,2)、(3,3)、„、(6,6)，共1
6种情况，所以所求的概率为D.
6
4．(2014·杭州检测) 在一盒子中有编号为1,2的红色球2个，编号为1,2的白色球2个，现从盒子中摸出2个球，每个球被摸到的概率相同，则摸出的2个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是( )
1111 C. 6432
解析：选C 记红色球为H 1，H 2，白色球为B 1，B 2，则从盒中摸出2个球的基本事件为(H 1，H 2) ，(H 1，B 1) ，(H 1，B 2) ，(H 2，B 1) ，(H 2，B 2) ，(B 1，B 2) ，共6个，其中既有2种不1同颜色又含有2个不同编号的基本事件是(H 1，B 2) ，(H 2，B 1) ，共2个，故所求的概率为.
3故选C.
5．(2014·石家庄模拟) 有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
1123 C. 3234
解析：选A 记3个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加兴趣小组1、2、3分别记为“甲1”、“甲2”、“甲3”，乙参加兴趣小组1、2、3分别记为“乙1”、“乙2”、“乙3”，则基本事件为“(甲1，乙1) ；(甲1，乙2) ；(甲1，乙3) ；(甲2，乙1) ；(甲2，乙2) ；(甲2，乙3) ；(甲3，乙1) ；(甲3，乙2) ；(甲3，乙3) ”，共9个，记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“(甲1，乙1) ；(甲2，乙2) ；(甲3，乙3) ”，共331
个．因此P (A ) ＝. 故选A.
93
6．(2014·武汉模拟) 为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买5袋该食品，则获奖的概率为( )
31111650 B. C. D. 81272781
解析：选D 分别用1、2、3代表该三种卡片，获奖情况分两类：①12311,12322,12333，A 5A 5A 320A 2·A 21050P 1＝；②12312,12313,12323，P 2＝，所以P ＝P 1＋P 2D. 38132781
7．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为________．
1
解析：试验是连续掷两次骰子，故共包含36个基本事件．事件“点P 在x ＋y ＝5
661
下方”，共包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6个基本事件，故P ＝＝.
366
8．(2014·南京模拟) 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
3－
解析：由题意得a n ＝(－3) n 1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于
563
8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P ＝.
105
9．(2014·皖南八校联考) 某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，将该学生成绩作为一个总体，从总体中任取两次成绩作为一个样本，则样本平均数大于总体平均数的概率是________．
10
解析：易得原始数据为53,60,63,71,74,75,80，平均数为68. 下表中，“＋”为满足
21
条件的，“－”为不满足条件的，由表可知共10个满足条件的，故所求概率为
10
21
10．(2012·上海高考) 三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示) ．
23解析：由题意可知，每人都选择其中两个项目，则三人共有(C23) ＝27种选法，有且318221
仅有两人选择的项目完全相同的有C 2C 3·C 2＝18种选法，所以所求事件概率为P ＝3·273
11．(2014·江西九校联考) 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片中至少有一张蓝色的概率；
(2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
解：(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：(红1，红2) ，(红1，红3) ，(红1，蓝1) ，(红1，蓝2) ，(红2，红3) ，(红2，蓝1) ，(红2，蓝2) ，(红3，蓝1) ，(红3，蓝2) ，7(蓝1，蓝2) ，其中两张卡片中至少有一张蓝色有7种情况，故所求的概率为P 110
(2)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：(红1，绿0) ，(红2，绿0) ，(红3，绿0) ，(蓝1，绿0) ，(蓝2，绿0) ，即共有8
15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为P 215
12．某园艺师用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗，在树苗3个月大的时候，随机抽取用甲、乙两种方式培育的树苗各20株，测量其高度，得到的茎叶图如图(单位：cm) ：
若树高在86 cm以上(包括86 cm)定义为“生长良好”，树高在86 cm以下(不包括86 cm)定义为“非生长良好”，且只有“乙生长良好”的才可以出售．
(1)现从用甲种方式培育的高度不低于80 cm的树苗中随机抽取2株，求高度为86 cm 的树苗至少有一株被抽中的概率；
(2)若从所有“生长良好”的树苗中选3株，用X 表示所选中的树苗中能出售的株数，求P (X ≥2) ；
(3)如果规定高度不低于85 cm的为生长优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为树苗高度与培育方式有关.
下面临界值表仅供参考：
2
(参考公式：K ＝，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
解：(1)记用甲种方式培育的高度为86 cm的树苗为A ，B 其他不低于80 cm的树苗为C ，D ，E ，F ，“从用甲种方式培育的高度不低于80 cm的树苗中随机抽取2株”，基本事件有
212
C 6＝15个．“高度为86 cm的树苗至少有一株被抽中”所组成的基本事件有C 12 C 4＋C 2＝9
个．
93
故所求概率P ＝＝.
155
(2)依题意，一共有12株树苗生长良好，其中甲种树苗有3株，乙种树苗有9株，则P (X ≥2)
2
C 1C 3108
8448C ＝P (X ＝2) ＋P (X ＝3) ＋＝
C 2C 222022055
(3)列联表如下：
2
40×(3×所以K ＝≈5.584＞5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前
13×27×20×20提下，可以认为树苗高度与培育方式有关．
1．从1,2,3,4这4个数字中任意取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为( )
1123 C. 3234
3解析：选B 从1,2,3,4这4个数字中任取3个数可组成的没有重复数字的3位数有C 34 A 3
＝24个，其中能被3整除的三位数的特征为各位数之和为3的倍数，且满足条件的有1,2,3；1212,3,4两种情形，可组成的三位数有2A 33＝12个，故所求概率为P (A ) ＝. 242
2．已知直线l 1∶x －2y －1＝0，直线l 2∶ax －by ＋1＝0，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}．则直线l 1与l 2的交点位于第一象限的概率为( )
1115
C. 6326
解析：选A 依题意，当a ＝1时，b 可取1,2,3,4,5,6；当a ＝2时，b 可取1,2,3,4,5,6；„；
⎧⎪x －2y －1＝0当a ＝6时，b 可取1,2,3,4,5,6，共36种情况．由⎨
⎪ax －by ＋1＝0⎩
b ＋2
x ＝⎧⎪b －2a
，解得⎨－1－a
y ＝⎪⎩2a －b
，直
线l 1与l 2
b ＋2
⎧⎪b －2a ＞0
的交点位于第一象限，故⎨－1－a
⎪⎩2a －b ＞0
，即b ＞2a ，因为a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，
6
故当a ＝1时，b 可取3,4,5,6；当a ＝2时，b 可取5,6，共6种情况，因此所求概率P ＝＝
361
A. 6
3．(2014·温州模拟) 同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b 则|a －b |≤1的概率是________．
4
解析：分别掷两颗骰子得到的点数情况为(1,1)，(1,2)，(1,3)，„，(6,6)，共有36种
9情况，而满足|a －b |≤1的情况如下：(1,1)，(2,2)，„，(6,6)以及(1,2)，(2,1)；(2,3)，(3,2)；„；164
(5,6)，(6,5)，共16.
369
4．(2014·衡阳六校联考) 某网站就观众对今年春晚小品类节目的喜爱程度进行网上调查，其中持各种态度的人数如下表：
(1)现用分层抽样的方法从所有参与网上调查的观众中抽取一个容量为n 的样本，若从不喜欢小品的观众中抽取的人数为5，则n 的值为多少？
(2)在(1)的条件下，若抽取到的5名不喜欢小品的观众中有2名为女性，现将抽取到的5名不喜欢小品的观众看成一个总体，从中任选2名观众，求至少有1名为女性观众的概率．
解：(1)由题可知，样本容量与总体容量的比为n 的人数为×200＝5，解得n ＝25.
1 000
12
(2)从5人中抽取2人有C 2至少1名为女性的抽取方法有C 15＝10种方法，2C 3＋C 2＝7种，
n
，则应从不喜欢小品的观众中抽取1 000
77
故所求概率为P 1名为女性的概率为.
1010