一、产量递减率的定义
下面所要叙述和应用的递减率是瞬时递减率，和油田上常用的阶段递减率略有不同。另外还要叙述两种不同的递减率定义方法。由于定义方法或表达方式不一样，经验公式的表达方法就不一样，用途也不一样。
首先绘制产量与时间变化的关系曲线，如图6-2所示。从图中可以看出，产量是随时间而下降的，所谓递减率(decline rate)就是单位时间内的产量变化率，或单位时间内产量递减百分数，其方程式如下：
a =-
1dQ
（6-1） ∙
Q dt
式中a 为产量递减率，用（mon -1）或（a -1）表示，通常采用小数表达和计算；dQ 为-(Q k -Q k -1)是从阶段初至阶段末的产量递减值，其单位是（t/mon）或（t/a）；dt 为阶段初至阶段末的时间间隔，月或年。这就是递减率的定义。
从公式（6-1）可以看出，递减率表示的是产量下降的速度，是一个小于1的数，单位是时间的倒数，这里的时间单位应与产量中所用的时间单位一致，例如，Q 的单位是（t/mon），则用月等等。
递减率a 也可以用图解法来确定，由图6-2所示可
图6-2 递减率定义示意图
见，当求t 1时刻的递减率时（此时瞬时产量为Q 1），首
先做（Q 1，t 1）点的切线，然后求切线的斜率为△Q/△t ， 再除以此点的产率即得，这就是
a 1=-
dQ 1∆Q
=- （6-2） Qdt Q 1∆t
各油田的递减规律是不同的，同一油田在不同开发阶段的递减规律也不相同，因此
首先需要对不同的递减规律特性、表达方式和应用方法有切实的了解。下面就对几种常见的和广泛应用的递减规律分别介绍。
二、产量递减规律
油田产量递减规律一般包括指数递减(exponential decline) 、双曲线递减(hyperbolic decline)、调和递减(harmonic decline)和产量衰减曲线四种类型，产量
1
与递减率的关系可用下式表示：
a (t )⎛Q (t )⎫
= Q ⎪⎪ （6-3） a i ⎝i ⎭
式中 Q i —递减期初始产量，t/mon或t/a；
a i —初始时刻的递减率，1/mon或1/a；
n —递减指数，是用于判断递减类型、确定递减规律的重要参数，当n=1时为调
和递减，当n=0时为指数递减，当n=0.5时为产量衰减，当0
n
1．指数递减规律
当n=0时为指数递减规律，此时(6-3)式变为a=ai ，递减率a 是一个常数，因此指数递减规律也叫常递减规律。这种形式的递减主要表现在某些封闭型弹性驱动油藏、重力驱动油藏和一些封闭气藏。它的优点是公式简单，使用方便，缺点是利用这一规律来预测油田今后的产量变化时一般不能外推很远，不然会引起较大的误差，用它计算的可采储量通常比实际的偏低。
由递减率的定义式（6-1）可得
dQ
=-a ⋅dt （6-4）
Q
如果当t=0时，即在开始递减的时刻产量为Q i ，而在任一时刻的产量为Q （t ），则把公式（6-4）积分后，可以得到
Q (t ) Q i
ln =-at
（6-5）
或者
Q (t ) =Q i e -at
（6-6）
公式（6-6）为指数递减的基本方程，对其两端取对数，得
2
log Q (t )=log Q i -（6-7）
log Q (t )=A -Bt
（6-8）
方程式（6-8）表示，若油田产量服从指数递减规律，则在单对数坐标纸上，实际产量的对数与时间呈一直线关系，直线的截距A 即为log Q i ，由此可求出公式（6-7）中的初始产量Q i ，而由直线的斜率B 可以求得产量递减率a 为
a=2.3026B
（6-9）
由公式（6-7）还可以推导出一个重要概念，即递减周期的概念，设在某一时刻T 0
时，油田产量正好变为初始产量Q i 的十分之一，则T 0为一个递减周期。
由定义将log Q (t )=log (Q i /10)代入公式（6-7）可得
－aT 0=－2.3026 即
T 0=
（6-10）
2. 3026a
或
a =
2. 3026
T 0
同样可定义半周期，即产量降为初始产量之半的时间T 1，同理可得出
T 1=0.69315/a；a =
0. 69315
（6-11） T 1
只要知道递减率则可计算出递减周期或半周期，同样根据递减周期或半周期的大小，都可以计算出递减率a 。
当所绘制的油田产量的对数与时间的关系为一直线时，则该油田产量服从指数递减规律。已知油田产量的递减率时，可由公式（6-6）计算出今后任一时刻的产量Q （t ）。相反地，也可预测产量递减到某一极限值时所经历的开发时间。
3
根据累积产量的定义得：
N P =⎰Q (t ) dt
t
(6-12)
代入Q （t ）的表达式并积分后得：
N P =
（6-13）
Q i
1-e -at a
[]
其中N P 是从递减期开始起算的累积产量，以后的递减规律推导中相同。
由公式（6-13）可知，当t 趋近于无限大时，递减期最大累积产量，即递减期的剩余可采储量N p 应为Q i /a 。也就说，在求得递减期初始产量Q i 和递减率以后，可采储量就可以计算出来。
对公式（6-13）进行分析可以得出如下结果：
1）由于式（6-13）中的幂指数是负值，因而式中括号内第二项始终小于1，并随时间增大而逐步趋近于零，因此累积产量是逐步趋近于一恒定值的，按此公式得出的累积产量随时间变化曲线是一条减速递增曲线。
2）有了递减期累积产量随时间变化公式，就可以计算今后任一时刻的剩余累积产量△N P ，又知Q i /a为递减期可采储量，则公式（6-13）可写为：
N P (t )a =1-e -at （6-14） Q i
它表示的是按递减期可采储量计算的采出程度随时间变化公式，其末值为1.0。 3）公式（6-14）还可以写为另一形式，即
Q (t )=Q i -aN p (t ) （6-15）
它说明对于指数递减规律，产量与累积产量的关系是一条直线。
2. 双曲线递减规律
当0
4
递减规律的特点：递减率a 随时间而变，而且越变越小，即愈接近油田开发末期，递减愈慢(如图6-3) 。其表达式为：
a (t )⎛Q (t )⎫
⎪= ⎪ (6-16) a i Q ⎝i ⎭
按照前面已经讲到的递减率的定义，则有：
n
a (t )=-
dQ 1
（6-17） ⋅
dt Q t 将上式代入公式（6-16）并经整理后可得
a i dt=-Qi n ·Q -(n+1)dQ
若递减的初始条件是t=0时Q=Qi ，则任一时刻之产量随时间变化的表达式如下：
n
图6-3 双曲线递减规律曲线 1——常递减曲线；2——双曲线递减曲线
⎡Q -n Q i -n ⎤
a i t =-Q i ⎢- 6-3 双曲线递减规律曲线 ⎥ （6-18） 图
-n -n ⎢⎥⎣⎦
1——常递减曲线；2——双曲线递减曲线
Q i n
或者 na i t =n -1
Q
最后可得双曲线型产量随时间变化的公式。
Q (t )=
（6-19）
Q i
1+na i t 1/n
不同油田产量的递减规律不同，这表现在其初始递减率和递减指数不同，而又主要取决于n 值的变化情况。影响n 值的因素很多，如岩石性质、驱动方式、地质条件和开采方式等。所以n 值变化范围很广，其选择和应用都比较麻烦。这样在实际应用中，更多地使用标准曲线对比法而不是解析方法来求解。
根据累积产量的定义得：
N P (t )=
(6-20)
5 ⎰Q (t )dt
t
代入Q(t)的表达式并积分后得：
⎡⎤Q i 1⎢1-⎥N P (t )=1-n ⎫⎛a i 1-n ⎢ ⎪⎥n ⎭()1+a nt ⎝i ⎣⎦
（6-21）
根据递减率的定义可求得递减率随时间的变化规律
a (t )=-
dQ 1
代入Q(t)的表达式并求导，得到递减率的表达式为： ⋅
dt Q t a (t )=
(6-22)
a i 1+na i t
从(6-22)式可以看出，双曲线递减的递减率与递减指数n 和时间t 有关，t 越大，递减率a 越小。
3. 调和递减规律
在递减率的定义中，当n=1时为调和递减规律，调和递减规律可以看成是双曲线递减规律的一种特殊形式。
调和递减规律的特点：递减率与递减产量成正比，其表达式为：
a (t )Q (t )=a i Q i
（6-23）
调和递减产量随时间变化的公式为（令6-19中n=1）：
Q (t )=
（6-24）
Q i
1+a i t
根据累积产量的定义得：
N P (t )=⎰Q (t )dt
t
6
(6-25)
代入Q(t)的表达式并积分后得：
N P (t )=
（6-26）
Q i
ln (1+a i t )a i
根据递减率的定义可得到递减率的表达式为：
a (t )=
(6-27)
a i 1+a i t
从(6-27)式可以看出，调和递减的递减率与时间t 有关，t 越大，递减率a 越小。
4. 产量衰减规律
当n=0.5时为产量衰减规律，产量衰减规律也是双曲线递减规律的一种特殊形式，将n=0.5代入(6-19)式得：
Q (t )=
（6-28）
Q i
1+0. 5a i t 2
上式可以进一步表达成：
Q (t )=
B
t +c 2
式中： B =4Q i a i C=2/a i
当递减时间很长时，t>>c，t+c≈t ，上式变为：
2
Q (t )=
B
2t
表6-2 四种递减类型对比表
7
8
断其所属的递减类型，确定递减参数(a, ai 和n) ，建立相关经验公式。目前经常采用的方法有，图解法、试凑法、曲线位移法和典型曲线拟合法。
1. 图解法
图解法就是将实际生产数据按照表所列的指数递减和调和递减的线性关系，画在相应的坐标纸上，若能得到一条直线，就表明它符合于那一种递减类型。反之，若不成直线，它必然属于其它的递减类型。
指数递减的半对数直线关系可写为： logQ=A－Bt
式中：A=log Qi ，或Q i = 10A
B=a/2.303，或a=2.303B
调和递减的半对数直线关系可写为： logQ=A－BNp 式中：A=logQi ，或Q i =10A
B=ai /2.303Q i ，或a i =2.303BQi
当由图解法判定递减类型用线性回归法，确定直线的关系数，并由直线的截距和
图6-5 调和递减类型的
产量与累积产量关系
之后，需要利截距、斜率和相斜率确定Q i 、a 或
a i 的数值。此时，即可建立实用的相关经验公式。
2. 试凑法
试凑法又称为试差法(try and error method)，它是处理矿场资料常用的一种方法。当用图解法已经确认不是指数递减时，即可用此法，以判断到底是双曲线递减、调和递减还是产量衰减。主要的判断指标就是n 值的大小。应用试凑法的主要关系式为：
[Qi /Q（t ）]n =1+n ai t （6-43） 若设：a=1,b=n ai , 或a i =b/n 则得：[Qi/Q（t ）]n =a+bt
假定不同的n 值，求出[Qi /Q（t ）]n 的不与t 的相应的值在直角坐标纸上作图，如图的是一条直线，直线的斜率为na i ，因而可求程中，假如值取得比正确的值大时，则成一条之，当取得的n 值比正确的n 值小时，则得到当由试凑法得到一条最佳直线，并确定n 值之后，即可利用线性回归法求得该直线的截距和斜率，并求得a i 的值。
同数值，然后将此数据6-6，正确的n 值得到得值a i 。在试凑计算过向上弯曲的曲线。反一条向下弯曲的曲线。
图6-6 利用试凑法求解的关系图
3. 曲线位移法
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曲线位移法就是将画在双对数坐标纸上成曲线的产量与生产时间图，由左向右位移某一合适的距离，使其成为
一条直线的方法。其原理为，将（6-19）式取常用对数后得：
1
log Q =log Q i -log (1+na i t ) （6-44）
n
将（6-44）式改写为：
log Q =a -b log (t +c ) （6-45）
式中：a =log Q i C
(
1/n
), 或Q
i
=10a C -1/n
b=1/n,或n=1/b, c=1/（n ai ）
图6-7 曲线位移法求解的关系图
由式（6-45）可以看出，某一正确的C 值，可以使Q 与(t+c)的对应数值，在
双对数坐标纸上得到一条直线，在给定的C 值比正确的C 值偏小时，所得到的仍是一条向右弯曲的曲线；反之，如果给定的C 值比正确的C 值扁大时，则是一条向左弯曲的曲线(见图) 当经过曲线的位移，得到一条直线之后，仍然按照（6-45）式进行线性回归，求得直线的截距，并由此确定Q i 、n 和a i 的数值，以满足建立相关经验公式的需要。
4. 典型曲线拟合(curve fit)法
将产量递减的公式改成为如下的无量纲形式：
Q i /Q =e a i t (指数递减) (6-46)
Q i /Q =(1+na i t )
1/n
(双曲线递减) （6-47）
Q i /Q =1+a i t (调和递减) （6-48）
利用（6-47）式和（6-48）式，当给定不同的n 值和a i t 值时，可以计算出不同的产量比(Qi /Q)。然后，将不同n 值下的Q i /Q与a i t 的对应值，画在双对数坐标纸上，即可得到理论的典型曲线图(见图6-8) 。
若将递减阶段的产量比Q i /Q与相应的生产时间，画在与典型曲线比例尺相同，并放在典型曲线图上的透明纸上。然后，在保持画有数据点的透明纸图的坐标，与其典型曲线图的坐标完全重合的条件下，水平向右滑动透明纸图，使透明纸图上的数据点，能与某一条典型曲线达到最佳拟合为止。在达到最佳拟合之后，可在典型曲线图上直接读得用以判断递减类型的n 值，并可在取任一个Q i /Q值的条件下在典型曲线图的纵坐标上作一水平线，交于最佳拟合的那条典型曲线之后，再往下作垂线，交于典型曲线图的横坐标上得a i t 的数值。最后，再将已得到的a i t 值除以与Q i /Q值相应的t 值，即得a i 值。
10 / 16
图6-8 典型曲线图
三、应用举例
1. 指数递减规律的应用
油田产量递减规律分析和应用中的两种常见方法，一种是解析方法，另一种是标准曲线对比方法或拟合法。 解析方法的步骤是首先在单对数坐标中绘出如图6-9所示的产量随时间变化的曲线。找出其直线段，求得其初始产量和递减期起算时间。为了计算递减率a 可以先从图上计算其周期或半周期，然后按公式（6-9）或（6-10）计算其递减率。这样，产量变化公式就完全确定了。
图6—9 产量与时间变化曲线
图6—10 产量与累积产量变化曲线
解析方法的另一种作法是在直角坐标中绘制如图6-10所示的产量随累积产量变化的曲线。找出其斜率a 和递减初期的产量Q i 和累积产量。然后就可以应用递减公式计算产量或累积产量变化。例如若取△N P 时，其产量变化为△Q ，则
a=△Q/△N P
实例6-1：某油田一个开发区的产量变化数据由表6-3给出，从表6-3可知该油田产量是递减的，但是处于稳定
递减期是1995年以后。试求该油藏的递减率，预测2005、2006和2007年时的产量和累积产量，并预测其最终采收率，已知其地质储量为2630×104t 。
表6-3 某油田产量变化数据
解：把日产量随时间变化曲线绘在单对数坐标中（见图6-11）。由图6-11可以看出，油田产量由1995a 开始，处于稳定递减阶段，从此以后，产量变化呈直线，因而可求出其半周期为T 1=3.467a。代入公式（6-11）可得
a=0.69315/3.467=0.20（a -1）
另由表6-3可以获得该油田的产量递减率a 为
a =
75. 00-33. 10
=0. 199（a -1）
684. 10-473. 50
用这两种方法求出的递减率在数值上有一定差别，但二者是接近的。代入产量变化公式可以得到
Q(t)=Qi e -at =75.00e-0..2(t-1995) 或∆N Po =
Q i
1-e -0. 2(t -1995)=375⨯1-e -0. 2(t -1995)（104t ） a
[][]
在公式中我们取递减的起始时间t 0=1995a，此时的产量Q i =75×104t/a，而累积产量N Po =473.5×104t 。由此得出不同时刻的产量及累积产量的预测值如下（表6-4）。
表6-4 某油田产量和累积产量预测表
由公式可以计算递减期最大累积产量为
Q i /a=75/0.2=375（104t ） 由此可得该开发区可采储量为
N pmax =473.5+375=848.5（104t ） 而最终采收率为
ηm ax =848. 2630=32. 26%
上面叙述了解析方法的内容及应用，下面再简要叙述运用标准曲线拟合确定递减规律的方法，为此首先要绘出如图6-12所示的标准曲线图版，在其上分别对不同的递减率值绘出了无因次产量和无因次累积产量变化的曲线。 对于一个实际油田，先在与lgQ(t)～t 同样比例的坐标图上绘出其实际的产量变化曲线和累积产量（由递减初始时刻起算）变化曲线。把这张图与标准图版叠合在一起，然后上下平移，使实际产量变化的直线段与图版上的某一条标准曲线重合，即可确定出该产量变化的递减率a 。再根据直线的左端点，可获得初始产量Q i 。
再从这一初始时刻起，把累积产量变化曲线与图版上的某一标准曲线拟合，则在标准图版上纵坐标为1.0的水平线在实际曲线上所代表和指出的纵坐标（累积产量）就是递减期可采储量，即Q i /a，而此标准曲线所指的递减率即a 为该油田的递减率。
实例6-2：仍以上面的实例为基础，说明这一方法的应用。此时以1995年为起始点。将实例6-1的数据整理后，列于表6-5中。其初始产量Q i =75×104t/a，累积产量N Po =473.5×104t 。试求该油藏的递减率及可采储量。
表6-5
某油田产量数据
解：将日产量和累积产量变化曲线在单对数坐标中绘出。把日产量变化曲线和标准曲线对比，可见该曲线
a=0.20。这样可得递减期可采储量为75×104/0.2=375（104t ）。
这一数值和前解析法得到的结果是相同的。
2. 双曲线递减规律的应用
实例6-3：某溶解气驱油田在生产后期的产量数据如下表6-6和图6-13所示。若油田地质储量为7230×104t ，求产量的初始递减率、递减指数和最终采收率。
表6-6 某溶解气驱油田的动态数据
解：根据表6-6中数据作图6-13，将图6-13的产量变化曲线与标准曲线图版（其递减指数n=0.3）对比发现该生产曲线与图版上递减率a i =0.18的标准曲线能很好地重合在一起，标准曲线原点在实测曲线上所指出的产量即为递减初始产量Q i ，而所指的时间即为递减起始时间，即图6-13上的点6的坐标。由此得：
Q i =32.50×104t ；t 0=1997a 而由标准曲线可得
a i =0.18（a -1）；n=0.3
据此可得递减期的累积产量为：
∆N P =
Q i 132. 50
==257. 94（104t ）
a i 1-n 0. 18⨯0. 7
已知t 0=1997a时，累积产量为1015.10×104t ，这样，该油田的溶解气驱最大累积产量为1273.04×104t ，故采收率为17.6%
由于Q i 和a i 已知，故可以计算任一时刻的产量和累积产量。
3. 产量衰减规律的应用
实例6-4 ：对表6-6中产量变化数据求校正产量衰减公式。
表6-6 某油田的实际产量数据
解：作图6-14。
如图6-14，取t 1=4和t 3=28 mon ，得
N P1=2.053×104t N P3=5.702×104t
则相应的平均值N P2=3.8773×104t ，
t 2=11.4 mon，由此得
C =
11. 4(4+28)-2⨯4. 28
=15. 3
28+4-22. 8(mon)
以N P (t+C)为纵坐标，以t+C为横坐标绘制衰减曲线，由此绘出的校正衰减曲线如图6-15所示，它是一条直线，
其斜率A 1=8.66×104t ，而其另一参数B 1=127.36。
校正衰减曲线公式为：
N p =8. 65-
127. 35t +15. 3
在图6-15上还给出了普通的未经校正的衰减曲线，其斜率为7.9万吨，绘制该曲线的基本数据见表6-7。
表6-7
校正衰减曲线计算表(C=15.3)