抓不变量解答分数应用题
一、抓住和不变
1、甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多10吨，
甲乙原来各有多少吨？
练习：甲乙两个仓库共有水泥180吨，如果甲把它的1/3给乙，甲还比乙多1/5，
甲乙原来各有多少吨？
2、某校五年级学生参加大扫除的人数是未参加的1/4，后来又有2个同学主动
参加，实际参加的人数是未参加人数的1/3，问某班五年级有学生多少人?
练习：煤气收款员到一幢楼里收煤气差价款，他走出楼时一算，没交款的户数占
已交款户数的1/8。如果少收2户，则没交款的户数恰好占已交款户数的1/6，
这幢楼有多少住户?
2、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的1/2，
原来两人各有多少元钱?
3、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的3/4，从水中上岸9只后，水中的只
数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?
二、抓住部分不变
1、有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的1/9，现在又买来一些科技
书，此时科技书占总数的1/6。又买来多少本科技书？
练习：有10千克蘑菇，它们的含水量是99％，稍经晾晒，含水量下降到98％，
晾晒后的蘑菇重多少千克?
2、现有质量分数为20％的食盐水80克。把这些食盐水变为质量分数为75%的食
盐水，需要再加食盐多少克?
练习：有一堆糖果，其中奶糖占45％，再放16块水果糖后，奶糖就占25％，那
么，这堆糖中奶糖有多少块?
2、在阅览室里，女生占全室人数的1/3，后来又进来5名女生，这时女生占全
室人数的5/13，阅览室原有多少人？
三、抓住差不变
王叔叔和李叔叔每月工资收入比为3：2，他们两家每月支出为1200元，两
家每月结余的钱数比为9；4，王叔叔和李叔叔每月工资各为多少元？
综合练习：
1．由奶糖和巧克力混合成的一堆糖中，如果增加10个奶糖，巧克力就占总数的
60％，再增加30个巧克力，则巧克力占总数的75％。那么，原来混合糖中奶糖
和巧克力各有多少个?
2、现有浓度为20％的食糖水160克，把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，
需加食糖多少克?
3、乙队原有人数是甲队的3/7。现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队
的2/3。甲乙两队原来各有多少人？
4、有一堆糖果，其中奶糖占9/20，再放入16块水果糖后，奶糖就只占1/4。这
一堆糖果原来共有多少块？
一、 抓住三种相关量中的不变量的进行分析
三种相关联的量中，抓住不变量，以不变量作为等量关系，列出比例，这样能使
学生提高解比例应用题的能力。
例2、一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶42千米，5小时到达。如果要4
小时到达，每小时需要行驶多少千米？
本题的不变量较为隐蔽，要从两种已知量（速度和时间）中去找出第三种量（路
程），而第三种量正是不变量。因此要根据速度×时间=路程（一定），列成比例
式：V1×t1=V2×t2, 比例的左右两边都是总路程不变，反比例式也就成立。
二、 抓住总量不变进行解题
某些应用题的总量始终不变，如果能抓住不变量进行分析，能帮助学生突破难点
找到解题思路。
例2、第一桶柴油的重量是第二桶的6倍，从第一桶取出12千克柴油加入第二
桶，这时第一桶柴油的重量是第二桶的4倍，原来第一桶有柴油多少千克？
两桶柴油的重量总是不变的，又未知，要看作单位一的量。则“取前”第一桶占
两桶总量的１／１＋６＝１／７，“取后”第一桶占两桶总量的１／１＋４＝１
／５，第一桶取前取后差12千克占两桶总量的１／５－１／７＝２／３５，故
两桶总量为：12÷２／３５=210（千克）。原来第一桶：２１０÷１／７=３0（千
克）。
三、 抓住部分量不变解题。
抓住部分量不变为突破口进行分析数量关系，能使学生理请解题思路，突破难点，
达到化难为易。
例３、两个工程队，原来甲队人员比乙队少１／４，后来甲队增加２１人，这时
乙队人员是甲队的８／９，现在甲队有多少人？
题目中乙队人数不变量未知，又不易直接求出，所以必须以乙队人员为单位“１”
的量。第一句分率句以乙队人员为单位“１”的量不必变，第二句分率句是：“甲
队增加２１人以后乙队是甲队的８／９”是以甲队为单位“１”的量是变量。因
此要转化不变量乙队为单位“１”的量，即“甲队人数是乙队的９／８”。找出
对应：甲队增加２１人，相当于乙队的９／８－（１－１／４）＝３／８。故现
在甲队人数为：２１÷３／８×９／８＝６３（人）。
四、 抓住部分量与部分量之差不变解题。
抓住差不变进行分析数量关系，能帮助学生沟通已知和未知的关系，打开解决问
题的通道，提高了学生解决问题的技巧。
例４、新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生４８人，六年二班有学生５６
人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多２／１１，
两个班各转出多少人？
两个班的人数都发生变化。谁不变呢？惟有转出人数相同是不变的量，所以转出
前后两班人数差不变的，又未知必须要先求出来。即两班人数差为：５６－４８
＝８（人），对应转出后六年二班人数还比六年一班人数多２／１１。因此转出
后一班人数为：８÷２／１１＝４４（人），转出人数是：４８－４４＝４（人）。
1、有200克含盐3/4的盐水，要把它稀释为含盐1/2的盐水，应加水多少克？
2、有200克含盐2/5的盐水，要把它变为含盐4/5的盐水，要加盐多少克？
3、有200克含盐2/5的盐水，要把它变为含盐4/5的盐水，要蒸发多少克水？
4、对某种水果进行分析，发现100千克的水果含水99/100，再过几天有对这些
水果进行分析，发现这些水果含水98/100.这时这些水果重多少千克？
5、少年宫招收音乐班学生，已录取女生30人，男生8人。要使男生达到总人数
的2/5，还有录取男生多少人？
6、某车间共有140人，其中女工占总人数的1/5，后来又转来若干名女工？这
时女工占总人数的1/3.转来多少名女工？ 抓不变量解分数应用题
培养能力，发展智力是小学数学教学的重要任务之一，而应用题则是锻炼
学生思维的“磨刀石”。应用题教学主要帮助学生解决“想什么”和“怎样想”
的问题。小学数学应用题教学就是把应用题的教学过程变成使学生在教师的指导
下积极分析综合、比较概括、抽象推理及正确判断等思维方法的训练过程，以达
到培养学生能力、发展学生智力的目的。应用题教学对于训练学生的逻辑思维能
力，巩固所学的知识有着重要的意义。因此应用题教学在整个小学数学教学中占
有重要的地位，它既是重点又是难点。所以，掌握一定的解答应用题的方法和技
巧是有必要的。
在小学数学应用题中犹以分数应用题为学生的一大难点。其中一类分数应
用题以其特有的结构和数理关系使多数学生难以入手。为此，经过多年的实践和
摸索，笔者总结了一套行之有效的方法，让教者易教，学者易学。那就是找准题
目中的不变量，以不变量为突破口，根据数量间的数理关系解决问题。其流程如
下：
前后对比，问题得解
量率对应，问题得解
已知或能直接计算
题目中的问题
计算出不变量
以不变量为单位“1”
代入变化后数量关系中
不变量
找出其变化后的对应分率
选中其中一个变量
求出变化后的
一个变量
找出其变化前
后各占“1”的分率
找出其变化前
后的数量
算出分率差
算出数量差
例1、鸡栏里有公鸡和母鸡共80只，其中公鸡, 后来又买回若干只公鸡后，
母鸡占总只数的，问又买回多少只公鸡？
首先，找准不变量：母鸡只数，可以直接计算出来，算出其只数80×(1
－)=44只。
然后，计算出来的公鸡44只代入变化后的关系中，找出其对应分率（1－=）。
接着，算出变化后的总只数：44÷=100只。
最后，对比变化前后总只数，得出结论：100－80=20只。
将这种方法运用到对小学生来讲比较抽象的浓度问题中，学生理解起来就
容易多了。例如：一种浓度为45%的溶液800克，加入适量水后，浓度变为30%，
求加了多少克水？可以把溶质和溶剂的质量分别想象成公鸡和母鸡的只数，溶液
的质量就是总只数，这样运用类比的方法，小学生学习起来就既实在又有趣了。
例2、六（一）班上学期男生与女生人数比是13﹕12，这学期又转来2名
女生，使女生正好占全班人数的。这个班原有女生多少人？
⑴ 找准不变量：男生人数，不能直接计算，以男生人数为单位“1”。 ⑵ 女生人数变化前占男生人数的，变化后占男生人数的，变化前后的
分率差为（－=）。
⑶ 变化前后女生人数的数量差为2名。
⑷ 算出不变量男生人数：2÷=26名。
⑸ 进而得出女生人数：26×=24名。
如果将这道题增加一个条件“转走2名男生”，则变为总人数不变，以总
人数为单位“1”，同样的方法可以解决。
例3、有两根铁丝，长度比为3﹕2，同时用去15米后，短的那根剩下的长
度是长的那根剩下长度的25%。原来长的那根多少米？
⑴ 找准不变量：两根铁丝相差的米数，不能直接计算，以两根铁丝相差
的米数为单位“1”。
⑵ 以长的那根为例，变化前它是两根差的，变化后它是两根差的
（25%=），变化前后分率减少两根差的（－=）。
⑶ 变化前后长的那根长度减少了15米。
⑷ 算出不变量，两根相差：15÷=9米。
⑸ 然后算出所求问题：9×=27米。
当然此题可以用假设法可能简洁一些，但假设法对于一些学生较难理解，
一旦将此法应用熟练后，应用面相对大得多。比如这个题目：已知一个分数是，
在分子分母中加上相同的一个什么数，才能使分数变成。可以抓住分子分母差不
变，以其作为单位“1”，做起来既快捷，又有浓浓的数学味。
当然，新的教学形势和新的《课程标准》提倡应用题开放性的解决，要求
我们教师应当把学生教“活”而不是教“死”，鼓励学生用多种方法解决问题，
以培养学生创造性思维，提高分析问题和解决问题的能力，从而人人学到有用的
数学。并且许多问题本身可以多角度分析解决，所以我说，这只是我在教学实践
中总结的一点点也许对学生有用的学习方法而已，还望各位同行在参考的同时加以指导。