1．用分子质量m ，总分子数N ，分子速率v 和速率分布函数f (v ) 表示下列各量：
1）速率大于100m/s的分子数 ；
2）分子平动动能的平均值 ；
3）多次观察某一分子速率，发现其速率大于100m/s的概率；
∞12
； mv f (v ) dv ⎰100⎰100f (v ) dv 。 ⎰02
解：根据速率分布函数f (v ) 的统计意义，f (v ) 表示速率以v 为中心的单位速率区间内的气体分子数占总分子数的比例，而Nf (v ) dv 表示速率以v 为中心的dv 速率区间内的气体分子
∞
答案： f (v ) Ndv ；
∞
数，⎰f (v ) Ndv 表示速率在v 1到v 2
v 2
表示速率在v 1到v 2之间的
N
分子数占总分子数的比例，也即某一分子速率在v 1到v 2的概率。
2．氢气在不同温度下的速率分布曲线如图所示， 则其中曲线1所示温度T 1与曲线2所示温度T 2的高低 有T 1T 2（填 “大于”、“小于” 或“等于”
答案：小于。
解：根据最概然速率v p =
v 1
⎰之间的分子数，
v 2
v 1
f (v ) Ndv
线1和曲线2都表示氢气的速率分布曲线，而曲线2所示的最概然速率大于曲线1所示的最概然速率，因此曲线2所示的温度高于曲线1所示的温度。 3设氢气的温度为300℃。求速度大小在3000m/s到3010m/s之间的分子数N 1与速度大小在
v p 到v p +10m/s之间的分子数N 2之比。
答案：
N 1
=0.78。 N 2
3
mv 2
m 2-2kT 2
=2182 m/s 解：f (v ) =4π() e v ，v p =
2πkT N 1=Nf (v ) ∆v 1，N 2=Nf (v p ) ∆v 2
N 1f (v ) ∆v 1f (v ) e v
====2e 2
mv p N 2f (v p ) ∆v p f (v p ) v p -
22kT e v p
- mv 2
2kT v 2
2
-
M (v 2-v p 2) 2RT
=0.78
4导体中自由电子的运动可以看成类似于气体分子的运动，所以常常称导体中的电子为电子气，设导体中共有N 个自由电子，电子气中电子的最大速率为v f （称做费米速率），电子的
2
⎧⎪4πAv ,0≤v ≤v f
速率分布函数为：f (v ) =⎨
0, v >v ⎪f ⎩
式中A 为常量，求：（1）用N 和v f 确定常数A ；（2）电子气中一个自由电子的平均动能。
答案：（1）A =
33
；（2）=m e v 2k f 。 3
4πv f 10
解：（1）由速率分布函数的归一化条件⎰f (v ) dv =1，有⎰4πAv 2dv +⎰0dv =1，
∞
v f
∞
v f
得
34
A =，所以常数 ； πAv 3=1f
4πv 33f
（2）电子气中一个自由电子的平均动能为
v f
k =⎰
m 1
m e v 2f (v ) dv =e 22
⎰
v f
2332
v 2⋅4πAv 2dv =πAm e v 5=m v =εf f e f
5105
5．一定量的理想气体，在温度不变的情况下，当压强降低时，分子的平均碰撞次数Z 的变化情况是z （填“减小”、“增大”或“不变”），平均自由程λ的变化情况是
λ、“增大”或“不变”）。
答案：减小；增大。
解：分子的平均碰撞次数z
d 2，平均自由程λ=
=，式中据题意，理想气体温度不变，因此不变。根据p =nkT ，根据题意，理想气体压强降低，
n 减小，所以分子的平均碰撞次数Z 减小，平均自由程λ增大。
6在半径为R 的球形容器里贮有分子有效直径为d 的气体，试求该容器中最多可以容纳多少
个分子，才能使气体分子间不至于相碰？
R 2
=0.472。 答案：N =
d
解：为使气体分子不相碰，则必须使得分子的平均自由程不小于容器的直径，即满足
λ≥2R
由分子的平均自由程λ=
n =≤，
可得 上式表明，为了使分子之间不相碰，容器中可容许的最大分子数密度为
n max =
因此在容积V =πR 3的容器中，最多可容纳的分子数N 为
4
3
43R 2
N =n max ⋅V =πR ==0.472
d 3
7. 温度为T 的热平衡态下，物质分子的每个自由度都具有的平均动能为温度为T
的热平衡态下，每个分子的平均总能量 ；温度为T 的热平衡态下，
νmol(ν=m 0/M 为摩尔数) 分子的平均总能量T 的热平衡态下，每个分
子的平均平动动能 。 答案：kT ；kT ；RT ；
12i 2i 2
3
kT 。 2
8. 将1mol 温度为T 的水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，试求氢气和氧气的热力学能（内能）之和比水蒸气的热力学能增加了多少？（所有气体分子均视为刚性分子）。 答案：∆U =
3
RT 。 4
解：1mol 理想气体的内能为U =
i
RT ，分解前水蒸气的内能为 2
i 6
U 1=RT =RT =3RT
22
1mol 的水蒸气可以分解为1mol 的氢气和0.5mol 的氧气，因为温度没有改变，所以分解后，氢气和氧气所具有的内能分别为
i 5i 155
T U 2=RT =RT 和 U 3=νR T =R T R
222224
所以分解前后内能的增量为
553∆U =(U 2+U 3) -U 1=(RT +RT ) -3RT =RT
244
9. 质量为50.0g 、温度为18.0o C 的氦气装在容积为10.0升的封闭容器内，容器以v =200m/s的速率做匀速直线运动。若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，则平衡后氦气的温度将增加 K ；压强将增加 Pa 。 答案：6.42K ；0.67⨯105Pa 。
解：定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，所以
11M 21M
∆U =-∆(mv 2) =v -⋅0
22N A 2N A
14⨯10-3
=⨯⨯2002=13.3⨯10-23J 23
26.02⨯10
2∆U 2⨯13.3⨯10-23
∆T ===6.42K -23
3k 3⨯1.38⨯10
m 0R ∆T 50⨯10-3⨯8.21⨯10-2
∆p ==⨯6.42=0.67⨯105Pa -3
MV 4⨯10⨯10