1-1 分别判断图1-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？
图1-1
图1-2
解 信号分类如下：
⎧续（例见图1-（2a ））⎧模拟：幅值、时间均连连续⎨⎪
连续（例见图1-（2b ））⎪⎩量化：幅值离散，时间信号⎨图1-1所示信号分别为
抽样：时间离散，幅值连续（例见图1-（2c ））⎪离散⎧⎨⎪散（例见图1-（2d ））⎩数字：幅值、时间均离⎩（a ）连续信号（模拟信号）；
（b ）连续（量化）信号； （c ）离散信号，数字信号； （d ）离散信号；
（e ）离散信号，数字信号； （f ）离散信号，数字信号。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号？（重复1-1题所示问） （1）e -at sin(ωt ) ； （2）e -nT ； （3）cos(n π) ； （4）sin(n ω0) ； （ω0为任意值）
⎛1⎫
（5） ⎪。
⎝2⎭解
由1-1题的分析可知： （1）连续信号； （2）离散信号；
（3）离散信号，数字信号； （4）离散信号； （5）离散信号。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T ： （1）cos (10t ) -cos (30t ) ； （2）e j10t ；
（3）[5sin (8t )]2；
（4）∑(-1) n [u (t -nT ) -u (t -nT -T ) （。 ]n 为整数）
n =0∞
2
解 判断一个包含有多个不同频率分量的复合信号是否为一个周期信号，需要考察各分量信号的周期是否存在公倍数，若存在，则该复合信号的周期极为此公倍数；若不存在，则该复合信号为非周期信号。
πππ
（1）对于分量cos (10t ) 其周期T 1=；对于分量cos (30t ) ，其周期T 2=。由于
5515
为T 1、T 2的最小公倍数，所以此信号的周期T =
π。 5
（2）由欧拉公式e j ωt =cos (ωt ) +jsin (ωt ) 即e j10t =cos (10t ) +jsin (10t )
2ππ=。 得周期T =
105
1-cos (16t ) 25252
=-cos (16t ) （3）因为[5sin (8t ) ]=25⨯
222
2ππ=。 所以周期T =
168
（4）由于
⎧1,2nT ≤t
原函数=⎨ n为正整数
⎩-1, (2n +1) T ≤t
其图形如图1-3所示，所以周期为2T 。
图1-3
1-4对于教材例1-1所示信号，由f (t ) 求f (-3t-2) ，但改变运算顺序，先求f (3t ) 或先求f (-t ) ， 讨论所得结果是否与原例之结果一致。
解 原信号参见例1-1，下面分别用两种不同于例中所示的运算顺序，由f (t ) 的波形求得f (-3t-2) 的波形。
两种方法分别示于图1-4和图1-5中。
方法一：
倍乘
2
图1-4
方法二：2图1-5
1-5 已知f (t ) ，为求f (t 0-at ) 应按下列那种运算求得正确结果（式中t 0, a 都为正值）？ （1）f (-at ) 左移t 0； （2）f (at ) 右移t 0；
t 0
； a t
（4）f (-at ) 右移0。
a
解 （1）因为f (-at ) 左移t 0，得到的是f [-a (t +t 0) ]=f (-at -at 0) ，所以采用此种
（3）f (at ) 左移
运算不行。
（2）因为f (at ) 右移t 0，得到的是f [a (t -t 0) ]=f (at -at 0) ，所以采用此运算不行。
t 0t ⎤⎡
，得到的是f ⎢a (t +0) ⎥=f (at +t 0) ，所以采用此运算不行。 a a ⎣⎦t t ⎤⎡
（4）因为f (-at ) 右移0，得到的是f ⎢-a (t -0) ⎥=f (t 0-at ) ，所以采用此运算不
a a ⎦⎣
行。
1-6 绘出下列各信号的波形：
⎡1⎤
（1）⎢1+sin(Ωt ) ⎥sin(8Ωt ) ；
⎣2⎦
（2）[1+sin(Ωt ) ]sin(8Ωt ) 。
（3）因为f (at ) 左移
⎡1⎤
解 （1）波形如图1-6所示（图中f (t ) =⎢1+sin(Ωt ) ⎥⋅sin(8Ωt ) ）。
⎣2⎦
（2）波形如图所示1-7（图中f (t ) =[1+
1-7 绘出下列各信号的波形：
4π
（1）[u (t ) -u (t -T ) ]sin(t ) ；
T
4π
（2）[u (t ) -2u (t -T ) +u (t -2T ) ]sin(t ) 。
T
T 4π
解 sin(t ) 的周期为。
2T
4π
（1）波形如图1-8（a ）所示（图中[u (t ) -u (t -T ) ]sin(t ) ）。在区间[0, T ]，内，包
T
4π
含有sin(t ) 的两个周期。
T
图1-8
（2）波形如图1-8（b ）所示（图中[u (t ) -2u (t -T ) +u (t -2T ) ]sin(内是-sin(
4π4π
t ) ，相当于将sin(t ) 倒像。 T T
4π
t ) ）。在区间[T , 2T ]T
1-8 试将教材中描述图1-15波形的表达式（1-16）和（1-17）改用阶越信号表示。 解 表达式（1-16）为
(当0
f (t ) =⎨-at
-a (t =t 0)
()当t ≤t
f (t ) =e -at [u (t ) -u (t -t 0) ]+[e -at -e -a (t -t 0) ]u (t -t 0) =e -at u (t ) -e -a (t -t 0) u (t -t 0) ] 表达式（1-17）为
1⎧-at (1-e ) (0
⎪(1-e -at ) -(1-e -a (t -t 0) ) (t 0≤t
a ⎩a
借助阶越信号，可将其表示为 t 11⎧1-a (t -t 0) ⎫-at -at
f (τ) d τ=(1-e )[u (t ) -u (t -t )]+(1-e ) -[1-e ]⎬u (t -t 0) ⎨0⎰-∞
a a a ⎩⎭
11
=(a -e -at ) u (t ) -[1-e -a (t -t 0) ]u (t -t 0) a a
1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图： （1）f (t ) =(2-e -t ) u (t ) ； （2）f (t ) =(3e -t +6e -2t ) u (t ) ； （3）f (t ) =(5e -t -5e -3t ) u (t ) ；
（4）f (t ) =e -t cos(10πt )[u (t -1) -u (t -2)]。
解
图
1-9
（1）信号波形如图1-9（a ）所示。 （2）信号波形如图1-9（b ）所示。 （3）信号波形如图1-9（c ）所示。
（4）信号波形如图1-9（d ）所示。在区间[1，2]包含cos(10 t ) 的5个周期。
1-10 写出如图所示各波形的函数式。
(a)
(b)图1-10
(c)解 （a ）由图1-10（a ）可写出
⎧1
⎪1+2t (-2≤t ≤0) ⎪⎪1
f (t ) =⎨1-t (0
⎪2
(其它) ⎪0
⎪⎩
⎛t ⎫ 于是f (t ) = 1-⎪⎪[u (t +2) -u (t -2)] 2⎝⎭
（b ）由图1-10（b ）可写出
(t ≤0) ⎧0
⎪1(0
f (t ) =⎨
2(12⎩3
于是f (t ) =[u (t ) -u (t -1)]+2[u (t -1) -u (t -2)]+3u (t -2) =u (t ) +u (t -1) +u (t -2) 实际上，可看作三个阶越信号u (t ) ，u (t -1) ，u (t -2) 的叠加，见图1-11，因而可直接写出其函数表达式为
图1-11
f (t ) =u (t ) +u (t -1) +u (t -2) （c ）由图1-10（a ）可写出
⎧⎛π⎪E sin f (t ) =⎨⎝T
⎪0⎩
⎫
t ⎪(0≤t
(其它)
⎛π⎫
于是f (t ) =E sin t ⎪[u (t ) -u (t -T )]
⎝T ⎭
1-11绘出下列各时间函数的波形图： （1）te -t u (t ) ；
（2）e -(t -1) [u (t -1) -u (t -2)]； （3）[1+cos(πt )][u (t ) -u (t -2)]；
（4）u (t ) -2u (t -1) +u (t -2) ；
[sin a (t -t 0) ]； （5）
a (t -t 0) d
（6）[e -t sin tu (t )]。
dt
解 （1）信号波形如图1-12(a)所示，图中f (t ) =te -t u (t ) 。
（b ）
（c ）
图1-12
-(t -1)
（2）信号波形如图1-12(b)所示，图中f (t ) =e [u (t -1) -u (t -2)]。 （3）信号波形如图1-12(c)所示，图中f (t ) =[1+cos(πt )][u (t ) -u (t -2)]。 （4）信号波形如图1-12(d)所示，图中f (t ) =u (t ) -2u (t -1) +u (t -2) 。
[sin a (t -t 0) ], 信号关于t =t 偶对称。
（5）信号波形如图1-12(e)所示，图中f (t ) = 0
a (t -t 0)
（6）因为 d -t
[e sin tu (t )]=-e -t sin tu (t ) +e -t cos tu (t ) +e -t sin t δ(t ) dt
1π⎛⎫
=-e -t sin tu (t ) +e -t cos tu (t ) =cos t +⎪e -t u (t )
4⎭2⎝
d
所以该信号是衰减正弦波。其波形如图1-12(f)所示，图中f (t ) =[e -t sin tu (t )]。
dt
1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区间： （1）t [u (t ) -u (t -1)]； （2）t ⋅u (t -1) ；
（3）t [u (t ) -u (t -1)]+u (t -1) ； （4）(t -1) u (t -1) ；
（5）-(t -1)[u (t ) -u (t -1)]； （6）t [u (t -2) -u (t -3)]；
（7）(t -2)[u (t -2) -u (t -3)]。
解 （1）信号波形如图1-13(a)所示，图中f (t ) =t [u (t ) -u (t -1)]。
（b ）
（c ）
（e ）
图1-13
（2）信号波形如图1-13(b)所示，图中f (t ) =t ⋅u (t -1) 。
（3）信号波形如图1-13(c)所示，图中f (t ) =t [u (t ) -u (t -1)]+u (t -1) 。 （4）信号波形如图1-13(d)所示，图中f (t ) =(t -1) u (t -1) 。
（5）信号波形如图1-13(e)所示，图中f (t ) =-(t -1)[u (t ) -u (t -1)]。 （6）信号波形如图1-13(f)所示，图中f (t ) =t [u (t -2) -u (t -3)]。
（7）信号波形如图1-13(g)所示，图中f (t ) =(t -2)[u (t -2) -u (t -3)]。
1-13 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别： （1）f 1(t ) =sin(ωt ) ⋅u (t ) ；
（2）f 2(t ) =sin(ω(t -t 0)) ⋅u (t ) ； （3）f 3(t ) =sin(ωt ) ⋅u (t -t 0) ； （4）f 1(t ) =sin(ω(t -t 0)) ⋅u (t -t 0) 。 解 （1）信号波形如图1-14(a)所示。
t 0
图1-14
（2）信号波形如图1-14(b)所示。
（3）信号波形如图1-14(c)所示。 （4）信号波形如图1-14(d)所示。
1-14 应用冲激函数的抽样特性，求下列表示式的函数值： （1）⎰∞
-∞f (t -t 0) δ(t ) dt ； （2）⎰∞
-∞f (t 0-t ) δ(t ) dt ；
（3）⎰∞
δ(t -t t 0
-∞
0) u (t -
2
) dt ； （4）⎰∞
-∞δ(t -t 0) u (t -2t 0) dt ； （5）⎰∞
(e -t -∞
+t ) δ(t +2) dt ；
（6）⎰∞π
-∞(t +sin t ) δ(t -6
) dt ；
（7）⎰∞
-∞
e -j ωt [δ(t ) -δ(t -t 0)]dt 。
解 有冲激信号的抽样特性⎰∞
-∞
f (t ) δ(t -t 0) dt =f (t 0) 得
（1）⎰∞
-∞f (t -t 0) δ(t ) dt =f (-t 0) （2）⎰∞
-∞f (t 0-t ) δ(t ) dt =f (t 0)
（3）设t ∞
t 00>0，则⎰-∞δ(t -t 0) u (t -
2) dt =u ⎛ t ⎫⎛t ⎫
⎝t 0-02⎪⎭=u 0⎝2⎪⎭
=1 （4）设t ∞0>0，则⎰-∞
δ(t -t 0) u (t -2t 0) dt =u (-t 0) =0
（5）⎰∞
∞
(e -t +t ) δ(t +2) dt =e 2--2
（6）⎰∞-∞(t +sin t ) δ(t -π6) dt =π6+sin ⎛ π⎫π1
⎝6⎪⎭=6+2
（7）⎰∞
-∞
e -j ωt [δ(t ) -δ(t -t 0)]dt =1-e -j ωt 0
此题的（3）、（4）两小题还可用另一种方法求解：
（3）冲激δ(t -t ⎛t ⎫
t 00) 位于t 0处，阶越信号u ⎝
t -02⎪⎭始于2，因而
δ(t -t ⎛
t 0⎫
0) u ⎝
t -
2⎪⎭
=δ(t -t 0) 则 原式=⎰∞-∞
δ(t -t 0) dt =1
（4）冲激仍位于t 0，而u (t -2t 0) 始于2t 0，也就是说在t 0处，u (t -t 0) =0，因而
δ(t -t 0) u (t -2t 0) =0
则 原式=⎰0dt =0
-∞
∞
1-15 电容C 1和C 2串联，以阶越电压源v (t ) =Eu (t ) 串联接入，试分别写出回路中的电流i (t ) ，每个电容两端电压v C 1(t ) 、v C 2(t ) 的表达式。
i (t )
+
C 1
i L 2(t ) L 2
v (t
)
C 2
-
解 由题意可画出如图1-15所示的串联电路，两电容两端的电压分别为v C 1(t ) ，v C 2(t ) ，则回路电流
图
1-15图1-16
C 1C 2dv (t ) C C C C
=12⋅E δ(t ) 其中，12为C 1、C 2的串联等效电容值。
C 1+C 2dt C 1+C 2C 1+C 2
再由电容的电流和电压关系，有
C 2E 1t
v C 1(t ) =i (t ) dt =u (t )
C 1⎰-∞C 1+C 2
C 1E 1t
v C 2(t ) =i (t ) dt =u (t ) ⎰-∞C 2C 1+C 2 1-16 电感L 1与L 2并联，以阶越电流源i (t ) =Iu (t ) 并联接入，试分别写出电感两端电压v (t ) 、每个电感支路电流i L 1(t ) 、i L 2(t ) 的表示式。
解 由题意可画出图1-16所示并联电路，两条电感支路的电流分别为i L 1(t ) 和i L 2(t ) ，则电感两端电压
L L di (t ) L L
v (t ) =12=12⋅I δ(t )
L 1+L 2dt L 1+L 2L L
其中12为L 1、L 2的并联等效电感值。
L 1+L 2
再由电感的电流和电压关系，有
L 2I 1t
i L 1(t ) =⎰v (t ) dt =⋅u (t )
L 1-∞L 1+L 2i (t ) =
i L 2(t ) =
1L 2
⎰
t
-∞
v (t ) dt =
L 1I
⋅u (t )
L 1+L 2
1-17 分别指出下列各波形的直流分量等于多少？ （1）全波整流f (t ) =sin(ωt ) ；
（2）f (t ) =sin 2(ωt ) ；
（3）f (t ) =cos(ωt ) +sin(ωt ) ； （4）升余弦f (t ) =K [1+cos(ωt )]。
2ππ
解 （1）sin(ωt ) 的周期为，sin(ωt ) 的周期为，因而f (t ) 的直流分量
ωω
ππ
1T ωω-1-12ω
f D =⎰f (t ) dt =⎰sin(ωt ) dt =cos(ωt ) 0=(-1-1) =
T 0π0πππ
11
（2）f (t ) =sin 2(ωt ) =-cos(2ωt ) 由于cos(2ωt ) 在一个周期内的平均值为0，因而
221
f (t ) 的直流分量f D =。
2
2π2π
（3）f (t ) 的两个分量cos(ωt ) 和sin(ωt ) 的周期均为，因而的周期也为。 但
ωω
由于cos(ωt ) 和sin(ωt ) 在一个周期内的均值都为0，所以f (t ) 的直流分量f D =0。 （4）f (t ) 与（2）中f (t ) 类似，所以f D =K ，理由同（2）。
1-18 粗略绘出图1-17所示各波形的偶分量和奇分量。
-
2
(b)
12
图1-17
(c)
解 （a ）信号f (t ) 的反褶f (-t ) 及其偶、奇分量f e (t ) 、f o (t ) 如图1-18（a ）、（b ）、（c ）所示。
（a ）
（b ）图1-18
（c ）
（b ）因为f (t ) 是偶函数，所以f (t ) 只包含偶分量，没有奇分量，即 f e (t ) =f (t ) ，f o (t ) =0
（c ）信号f (t ) 的反褶f (-t ) 及其偶、奇分量f e (t ) 、f o (t ) 如图1-19（a ）、（b ）、（c ）所示。
（c ）
（a ）
（b ）图1-19
（
d ）信号f (t ) 的反褶f (
-t ) 及其偶、奇分量f e (t ) 、f o (t ) 如图1-20（a ）、（b ）、（c ）所示。
（a ）
（b ）图1-20
（c ）
1-19 绘出下列系统的仿真框图：
d d （1）r (t ) +a 0r (t ) =b 0e (t ) =b 1e (t ) ；
dt dt d 2d d
（2）2r (t ) +a 1r (t ) +a 0r (t ) =b 0e (t ) +b 1e (t ) 。
dt dt dt
解 （1）选取中间变量q (t ) ，使之与激励满足关系： d q (t )
+a 0q (t ) =e (t ) ① dt
d q (t )
=e (t ) -a 0q (t ) ，易画出如图1-21（a ）所示的方框图。再将①代将此式改写成dt
入原微分方程，有
r ' (t ) +a 0r (t ) =b 0[q ' (t ) +a 0q (t )]+b 1[q " (t ) +a 0q ' (t )]=[b 0q ' (t ) +b 1q " (t ) ]+a 0[b 0q (t ) +b 1q ' (t ) ]对比两边，可以得到q (t ) 与r (t ) 之间的关系式： r (t ) =b 0q (t ) +b 1q ' (t )
将此关系式在图1-21（a ）中实现，从而得到系统的仿真框图，如图1-21（b ）所示。
)
（a ）（b ）
图1-21
（2）方法同（1）。先取中间变量q (t ) ，使q (t ) 与e (t ) 满足：
q " (t ) +a 1q ' (t ) +a 0q (t ) =e (t ) ②
将②式代入原微分方程后，易看出q (t ) 与r (t ) 满足：
r (t ) =b 0q (t ) +b 1q ' (t ) ③ 将②、③式用方框图实现，就得到如图1-22所示的系统仿真框图。
-b 图1-22
1-20 判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的？
de (t )
（1）r (t ) =；
dt
（2）r (t ) =e (t ) u (t ) ； （3）r (t ) =sin[e (t )]u (t ) ； （4）r (t ) =e (1-t ) ； （5）r (t ) =e (2t ) ； （6）r (t ) =e 2(t ) ； （7）r (t ) =⎰e (τ) d τ； （8）r (t ) =⎰e (τ) d τ。
-∞-∞5t t
解 （1）由于
de (t )
e 1(t ) →r 1(t ) =1
dt
de 2(t )
e 2(t ) →r 2(t ) =
dt
而C 1e 1(t ) +C 2e 2(t ) →C 1r 1(t ) +C 2r 2(t ) =C 1
de 1(t ) de (t )
r 2(t ) +C 22 dt dt
所以系统是线性的。
de (t )
当e (t ) →r (t ) =，而激励为e (t -t 0) 时，响应为
dt
de (t -t 0) de (t -t 0)
==r (t -t 0) dt d (t -t 0) 所以系统是时不变的。
de (t )
由r (t ) =可知，响应r (t ) 只与此时的输入e (t ) 有关，与这之前或之后的输入都无
dt
关，所以系统是因果的。 （2）由于
e 1(t ) →r 1(t ) =e 1(t ) u (t )
e 2(t ) →r 2(t ) =e 2(t ) u (t )
而C 1e 1(t ) +C 2e 2(t ) →C 1e 1(t ) u (t ) +C 2e 2(t ) u (t ) =C 1r 1(t ) +C 2r 2(t ) 所以系统是线性的。
由于当e 1(t ) =u (t +1) -u (t -1) 时，r 1(t ) =u (t ) -u (t -1)
而e 2(t ) =e 1(t -1) =u (t ) -u (t -2) 时，r 2(t ) =u (t ) -u (t -2) ≠r 1(t -1) ，
即当激励延迟1个单位时，响应并未延迟相同的时间单位，所以系统是时变的。 由r (t ) =e (t ) u (t ) 可知，系统只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。 （3）由于
e 1(t ) →r 1(t ) =sin[e 1(t )]u (t )
e 2(t ) →r 2(t ) =sin[e 2(t )]u (t ) 而
C 1e 1(t ) +C 2e 2(t ) →r (t ) =sin [C 1e 1(t ) u (t ) +C 2e 2(t ) ]u (t )
≠C 1r 1(t ) +C 2r 2(t ) =C 1sin[e 1(t )]u (t ) +C 2sin[e 2(t )]u (t ) 所以系统是非线性的。 当激励为e 1(t -t 0) 时，响应r (t ) =sin[e 1(t )]u (t ) ≠sin[e 1(t -t 0)]u (t -t 0) =r (t -t 0) 所以系统是时变的。
由r (t ) =sin[e (t )]u (t ) 可知，响应只与激励的现在值有关，所以系统是因果的。 （4）由于
e 1(t ) →r 1(t ) =e 1(1-t )
e 2(t ) →r 2(t ) =e 2(1-t ) 而
C 1e 1(t ) +C 2e 2(t ) →r (t ) =C 1e 1(1-t ) +C 2e 2(1-t ) =C 1r 1(t ) +C 2r 2(t ) 所以系统是线性的。
由于当e 1(t ) =u (t ) -u (t -1. 5) 时，r 1(t ) =u (t +0. 5) -u (t -1)
而当e 2(t ) =e 1(t -0. 5) =u (t -0. 5) -u (t -2) 时，r 2(t ) =u (t +1) -u (t -0. 5) ≠r 1(t -0. 5) 所以系统是时变的。
令r (t ) =e (1-t ) 中t =0，则有，说r (0) =e (1) 明响应取决于将来值（0时刻输出取决于1时刻输入），所以系统是非因果的。 （5）由于
e 1(t ) →r 1(t ) =e 1(2t )
e 2(t ) →r 2(t ) =e 2(2t ) 而
C 1e 1(t ) +C 2e 2(t ) →C 1e 1(2t ) +C 2e 2(2t )
=C 1r 1(t ) +C 2r 2(t ) 所以系统是线性的
由于当e 1(t ) =u (t ) -u (t -1) 时，r 1(t ) =u (t ) -u (t -0. 5)
而当e 2(t ) =e 1(t -1) =u (t -1) -u (t -2) r 2(t ) =u (t -0. 5) -u (t -1) ≠r 1(t -1) 所以系统是时变的。
对于r (t ) =e (2t ) ，令t =1，有r (1) =e (2) ，即响应先发生，激励后出现，所以系统是非因果的。 （6）由于
e 1(t ) →r 1(t ) =e 12(t )
2
e 2(t ) →r 2(t ) =e 2(t ) 而
2
C 1e 1(t ) +C 2e 2(t ) →r (t ) =[C 1e 1(t ) +C 2e 2(t ) ] ≠C 1r 1(t ) +C 2r 2(t )
所以系统是非线性的。 由于e 1(t ) →r 1(t ) =e 12(t )
e 2(t ) =e 1(t -t 0) →r 2(t ) =e 12(t -t 0) =r 1(t -t 0) 所以系统是时不变的。
由r (t ) =e 2(t ) 知，输出只与现在的输入值有关，所以系统是因果的。 （7）由于
e 1(t ) →r 1(t ) =e 2
而
2
⎰
(t ) →r (t ) =⎰
t
-∞t
e 1(τ) d τe 2(τ) d τ
t -∞
t
-∞
C 1e 1(t ) +C 2e 2(t ) →C 1⎰e 1(τ) d τ+C 2⎰e 2(τ) d τ
-∞
=C 1r 1(t ) +C 2r 2(t ) 所以系统是线性的。
-t 0=a
由于e (t -t 0) →⎰r (τ-t 0) d τ−τ−−→⎰
-∞t
t -t 0-∞
e (a ) da =r (t -t 0)
所以系统是时不变的。
由r (t ) =⎰e (τ) d τ可知，t 时刻的输出只与t 时刻以及t 时刻之前的输入有关，所以系
-∞t
统是因果的。 （8）由于
e 1(t ) →r 1(t ) =⎰
5t
-∞5t
e 1(τ) d τe 2(τ) d τ
5t
5t
5t
e 2(t ) →r 2(t ) =⎰而
-∞
C 1e 1(t ) +C 2e 2(t ) →⎰C 1e 1(τ) +C 2e 2(τ) d τ=C 1⎰e 1(τ) d τ+C 2⎰e 2(τ) d τ)
-∞
-∞
-∞
=C 1r 1(t ) +C 2r 2(t ) 所以系统是线性的。
-t 0=a
由于e (t -t 0) →⎰e (τ-t 0) d τ−τ−−→⎰e (a ) da ≠⎰
-∞
-∞
5t
5t
5(t -t 0) -∞
e (a ) da =r (t -t 0)
所以系统是时变的 对于r (t ) =⎰
5t -∞
e (τ) d τ，令t =1，有r (1) =⎰e (τ) d τ
-∞
5
即输出与未来时刻的输入有关，所以系统是非因果的。 1-21 判断下列系统是否是可逆的。若可逆，给出它的逆系统；若不可逆，指出使该系统产生系统输出的两个输入信号。 （1）r (t ) =e (t -5) ；
d
（2）r (t ) =e (t ) ；
dt （3）r (t ) =⎰e (τ) d τ；
-∞t
（4）r (t ) =e (2t ) 。
解 （1）该系统可逆，且其逆系统为r (t ) =e (t +5)
（2）该系统不可逆，因为当，e 1(t ) =C 1，e 2(t ) =C 2, （C 1≠C 2且均为常数）时，r 1(t ) =r 2(t ) ，即不同的激励产生相同的响应，所以系统不可逆。
（3）该系统可逆。因为微分运算与积分运算式互逆的运算，所以其逆系统为
d
r (t ) =e (t ) 。
dt
t
（4）该系统可逆，且其逆系统为r (t ) =e () 。
2
1-22 若输入信号为，为使输出信号中分别包含以下频率成分： （1）cos(2ω0t ) ；（2）cos(3ω0t ) ；（3）直流。
请你分别设计相应的系统（尽可能简单的）满足此要求，给出系统输出与输入的约束关系式。讨论这三种要求有何共同性、相应的系统有何共同性。 解 （1）若系统的输入、输出具有约数关系r (t ) =e (2t )
则当此系统的输入信号为cos(ω0t ) 时，输出信号中会包含cos(2ω0t ) 。 （2）若系统的输入、输出具有约数关系r (t ) =e (3t )
则当此系统的输入信号为cos(ω0t ) 时，输出信号中会包含cos(3ω0t ) 。
（3）若系统的输入、输出具有约数关系r (t ) =e (t ) +C （C 为非零常数） 则当此系统的输入信号为cos(ω0t ) 时，输出信号中会包含直流成分。
三个小题中，输入信号均为cos(ω0t ) ，而输出信号中分别包含cos(2ω0t ) ，cos(3ω0t ) 和直流频率成分，说明新的频率分量产生，也就是说信号cos(ω0t ) 经系统传输后，产生了新的频率成分，此为三种要求的共同性。因此在设计系统中，要考虑改变输入信号的频率或增加新的频率成分，此为三个系统的共性。
1-23 有一线性时不变系统，当激励e 1(t ) =u (t ) 时，响应r 1(t ) =e -at u (t ) ，试求当激励
（假定起始时刻系统无储能。） e 1(t ) =δ(t ) 时，相应的响应r 2(t ) 表达式。
解 因为起始时刻系统无储能，所以响应就是零状态响应。
de (t )
有LTI 系统的微分性质，即若当激励为e (t ) 时产生的响应为r (t ) ，则当激励为时
dt
dr (t )
产生的响应为，有
dt
e 1(t ) =u (t ) →r 1(t ) =e -at u (t )
d [e -at u (t )]-at -at -at
e 2(t ) =δ(t ) →r 2(t ) ==-ae u (t ) +e δ(t ) =δ(t ) -ae u (t )
dt