3-1 稳定性
1、稳定性的概念
2、判别系统稳定性的基本原则
线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s 平面的左半平面。
显然，稳定性与零点无关。当有一个根落在右半部，系统不稳定。当有根落在虚轴上(不包括原点) ，此时为临界稳定，系统产生持续振荡。
3-2 劳斯稳定判据
劳斯判据
劳斯判据步骤如下： 1）列出系统特征方程：
a 0S n +a 1S n -1+a 2S n -2+⋅⋅⋅+a n -1S +a n =0
a 0>0
(3-55
检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。 可见，a i ，i =1,2, 是满足系统稳定的必要条件。 2）按系统的特征方程式列写劳斯表
3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a 0、
a 1、b 1、c 1、……的符号相同，系统稳定；如果符号不同，系统不稳
定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。 通常a 0>0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯表中第一列的各数均大于零。
如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S 的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。 ※※ 劳斯判据特殊情况
· I) 劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零 用一个很小的正数ε来代替零这一项，据此算出其余的各项，完成劳斯表
如果第一列ε上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。 · II）劳斯表中出现全零行
表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行, 完成劳斯表的排列。这些大小相等、符号 相反的根可通过求解辅助方程得到，而且其根的数目总是偶数的。
例如：控制系统的特征方程为
s 6+2s 5+8s 4+12s 3+20s 2+16s +16=0
列劳斯表
S 6S 5S 4S 3S 2S 1
0S
1220868
316
[1**********]
2016160
160
由于s 3这一行全为0，用上一行组成辅助多项式
dF (s )
=8s 3+24s ，由上表可知，第一列的系数均为正值，表明该方ds
程在S 右半平面上没有特征根。令F(s)=0，
F
(s ) =2s 4+12s 2+16s =2(s 4+6s 2+8) =2(s 2+2)(s 2+4) =0
得
s 1,2=±s 3,4=±j 2. 求得两对大小相等、符号相反的根
±j 2, ±j 2，显然这个系统处于临界稳定状态。