[三集合容斥原理]

三集合容斥原理

华图教育 梁维维

我们知道容斥原理的本质是把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的一种计数的方法。之前我们叙述过了两集合容斥原理，下面我们来看一下三集合容斥原理，相对于两集合容斥原理而言，三集合容斥原理的难度有所增加，但总体难度适中，所以三集合容斥原理在国家公务员考试中出现的频率较高，在其他省份考试以及各省份联考当中也时有出现，下面我们了解一下三集合容斥原理的公式。

三集合容斥原理公式：

|ABC||A||B||C||AB||AC||BC||ABC|总个数

三者都不满足的个数。

有些问题，可以直接代入三集合容斥原理的公式进行求解。

【例1】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。问阴影部分的面积是多少?( )

A.15

C.14 B.16 D.18

【解析】依题意，假设阴影部分的面积为x，代入公式可得：64＋180＋160－24－70－36＋x=290，解得x=16，正确答案为B选项。

近几年，直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，往往告诉大家“只满足两个条件的共有多少”这样的信息，看似无法直接套用公式，其实只要掌握本质，仍然可以直接套用公式。

【例2】（2012河北-44）某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（ ）

A. 148 B. 248

C. 350 D. 500

【解析】本题属于容斥原理问题。设三种上网方式都使用的客户有X个，则使用两种上网方式的客户有(352－X )个，根据题意1258＋1852＋932=3190＋2×（352－X）＋3X,解得X=148，因此答案选择A选项。

【例3】（2012-河北-43）某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?（ ）

A. 14

C. 23 B. 21 D. 32

【解析】本题属于容斥原理问题。设三种全部合格的食品有X种， 只有一项不合格的产品有Y种，根据题意 36－X=Y＋2＋5 ，7＋6＋9=2×5＋2×3＋Y， 解得X=23，Y=6。因此答案选择C选项。

有些三集合容斥原理的题目，“条件或者提问”是不能完全使用公式代入的，那么这种情况要采用图示法，将数字标在三集合容斥原理的图形当中，并且要注意标数的时候，一定要记得进行加减运算，否则很容易出现错误。

【例4】（2006-国考-43）某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多多少人?( )

A.1人

C.3人 B.2人 D.5人

【解析】根据题中所给条件可以得到如下图示，只会说一种语言的人有2+2+1=5人，而只会一种语言的有2人，所以只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多3人，答案选择C选项。

大家要掌握好以上例题，以后碰到类似的问题，可以更快的解答，希望广大考生牢牢掌握。