燕尾定理
例题精讲
燕尾定理：
在三角形ABC 中，AD ，BE ，C F 相交于同一点O ，那么S ∆ABO :S ∆ACO =BD :DC ．
A
E
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为∆A B O 和∆A C O 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
通过一道例题证明一下燕尾定理：
如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：S 1:S 4=S 2:S 3=BD :DC
A 2E
S 3
B
1S 4D
C
F
B
D
C
【解析】 三角形BED 与三角形C ED 同高，分别以BD 、D C 为底，
所以有S 1:S 4=BD :DC ；三角形ABE 与三角形EBD 同高，S 1:S 2=ED :EA ；三角形AC E 与三角形
C ED
同高，S 4:S 3=ED :EA ，所以S 1:S 4=S 2:S 3；综上可得S 1:S 4=S 2:S 3=BD :DC .
【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是A C 的中点，点D 在
BC 上，且BD :D C =1:2，AD 与BE 交于点F ．则四边形D FEC 的面积等于 ．
A
A
A
E
B
D C
B
33C D
E
B
D
C
【解析】 方法一：连接C F ，
根据燕尾定理，
=BD D C
=12
S △ABF S △AC F
，
S △ABF S △C BF
=
A E EC
=1,
设S △BDF =1份，则S △DCF =2份，S △ABF =3份，S △AEF =S △EFC =3份，如图所标 所以S DC EF =
512
S △ABC =
512
1
13
方法二：连接D E ，由题目条件可得到S △ABD =S △ABC =
3
S △ADE =S △DEF =
1212
S △ADC =
12⨯1223⨯
S △ABC =13
13
，
，所以
12⨯13⨯
B F F E
=
S △A B D S △A D E
=
11
，
⨯S △DEB =23⨯12
⨯S △BEC =13
12
⨯S △ABC =
112
，
512
而S △C D E =
⨯S △ABC =
．所以则四边形D FEC 的面积等于．
【巩固】如图，已知BD =D C ，EC =2AE ，三角形
ABC 的面积是30，求阴影部分面积.
D
C B D
C B D C
【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步
判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
(法一) 连接C F ，因为BD =D C ，EC =2AE ，三角形ABC 的面积是30，
所以S △ABE =
13
S △ABC =10，S △ABD =
S △A B F S △C B F
=A E E C
=12
根据燕尾定理，所以S △ABF =
14
，
S △ABC =15．2
S △A B F B D
==1, S △A C F C D
1
S △ABC =7.5，S △BFD =15-7.5=7.5
，
所以阴影部分面积是30-10-7.5=12.5．
(法二) 连接D E ，由题目条件可得到S △ABE =
S △BDE =
1212
S △BEC =
12⨯1223⨯
S △ABC =1013
13
A F
S △ABC =10
=S △A B E S △B D E
=
，
11
，所以
12⨯13⨯
F D
，
S △DEF =
⨯S △DEA =23⨯12
⨯S △ADC =
12
⨯S △ABC =2.5
， ．
而S △C D E =⨯S △ABC =10．所以阴影部分的面积为12.5
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是200cm 2，E 在A C 上，点D 在BC 上，且AE :EC =3:5, BD :D C =2:3，
AD
与BE 交于点F ．则四边形D FEC 的面积等于．
A
A A
E
E
F
C
B
D
C
E
B
D C
B
D
【解析】 连接C F ，
S △A B F S △A C F
=B D D C
=23=69
，
S △A B F S △C BF
=AE EC
=35=610
根据燕尾定理，,
53+5
=458
设S △ABF =6份，则S △ACF =9份, S △BCF =10份，S △EFC =9⨯所以S DCFE =200÷(6+9+10) ⨯(
458
+6) =8⨯(
458
份，S △CDF =10⨯
32+3
=6
份，
+6) =93(cm)
2
【巩固】如图，已知BD =3D C ，EC =2AE ，BE 与C D 相交于点O , 则△ABC 被分成的4部分面积各占△ABC
面积的几分之几？
1E 24.5D 1
C
E 9
13.5
B
D
C
B
3
【解析】 连接C O , 设S △AEO
=1份，则其他部分的面积如图所示，所以S △ABC =1+2+9+18=30份，所以四部
130, 2+4.530
=136030, 9=
313.59, =103020
12
分按从小到大各占△ABC 面积的
1
【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛) 如图所示，在△ABC 中，CP =
CB
，CQ =CA ，BQ 与AP 相交于
3
点X ，若△ABC 的面积为6，则△ABX 的面积等于 ．
C
C Q
【解析】 方法一：连接PQ ．
由于C P =
12C B
C
P
B
1
P B
23
Q
A
4
A A
B
，CQ =CA ，所以S ABQ =
3
23
S ABC
16
，S BPQ =
12
S BC Q =
16
S ABC
．
由蝴蝶定理知，AX :XP =S ABQ :S BPQ =所以S ABX =
45S ABP =
45⨯12S ABC =
25
S ABC :25
S ABC =4:1，
S ABC =
⨯6=2.4
．
方法二：连接C X 设S △CPX =1份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以S △ABX =6÷(1+1+4+4) ⨯4=2.4
【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，BD =2D C ，C E =2AE ，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分
的面积各是多少?
A
F
B
D
C
B
68
A
F
4
C
D
【解析】 连接C F ，设S △AEF
S △AEF =
121
=1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以
621=27
, S △ABF =, S △BD F =
821
, S FD C E =
2+421
=
27
【巩固】如图，E 在A C 上，D 在BC 上，且AE :EC =2:3, BD :D C =1:2，AD 与BE 交于点F ．四边形D FEC
的面积等于22cm 2，则三角形ABC 的面积
A A A 2
C D
=23
B
D
C
B
F D
S △ABF S △AC F
=BD D C
=12
B
A E E C
C
，
S △A B F S △C B F
【解析】 连接C F , 根据燕尾定理，
=
,
22+3
设S △BDF =1份，则S △DCF =2份，S △ABF =2份，S △AFC =4份，S △AEF =4⨯份, S △EFC =4⨯
32+3
=2.4
6=1.
份, 如图所标, 所以S EFDC =2+2.4=4.4份, S △ABC =2+3+4=9份
所以S △ABC =22÷4.4⨯9=45(cm2)
【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知AC =2，C D =2，C B =3，AM =BM ，那么三角形AM N (阴影
部分) 的面积为多少？
A
【解析】 连接B N ．
△ABC 的面积为3⨯2÷2=3
根据燕尾定理，△AC N :△ABN =C D :BD =2:1； 同理△C BN :△C AN =BM :AM =1:1
设△A M N 面积为1份，则△M N B 的面积也是1份，所以△AN B 的面积是1+1=2份，而△A C N 的面积就是2⨯2=4份，△C BN 也是4份，这样△ABC 的面积为4+4+1+1=10份，所以△A M N 的面积为3÷10⨯1=0.3．
【巩固】如图，长方形ABC D 的面积是2平方厘米，EC =2D E ，F 是D
G 的中点．阴影部分的面积是多少
平方厘米?
A
B
D E C
B B A D
D E
y E
G
C
512
S △BC D =
512
【解析】 设S △DEF =1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S 阴影=
平方厘米.
【例 2】 如图所示，在四边形ABC D 中，AB =3BE ，AD =3AF ，四边形AEO F 的面积是12，那么平行四边
形B O D C 的面积为________．
A
F
E B
B E A 46
F 8
6
【解析】 连接A O , B D , 根据燕尾定理S △ABO :S △BDO =AF :FD =1:2, S △AOD :S △BOD =AE :BE =2:1, 设
S △BEO =1, 则其他图形面积，如图所标，所以S BODC =2S AEOF =2⨯12=24.
【例 3】 ABC D 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与C E 交于G ，则四边形
A G C D 的面积是_________平方厘米．
C
C
F
F
A
E B
【解析】 连接A C 、G B ，设S △G
A C
A
E B
1+1+1）⨯2=6根据燕尾定理得S △AGB =1份，S △BGC =1份，则S 正方形=（=1份，
份，S ADCG =3+1=4份，所以S ADCG =122÷6⨯4=96(cm2)
【例 4】 如图，正方形ABC D 的面积是120
平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形B G H F 的
面积是_____平方厘米．
D
D
E
E
【解析】 连接BH , 根据沙漏模型得BG :G D =1:2, 设S △BHC =1份，根据燕尾定理S △CHD =2份，S △BHD =2份，
B C B C
因此S 正方形=（1+2+2) ⨯2=10份，S BFHG =
12
+
23
=
76
，所以S BFH G =120÷10⨯
76
=14
(平方厘米).
【例 5】 如图所示，在△ABC 中，BE :EC =3:1，D 是AE 的中点，那么AF :FC = ．
A
F
A
F
B E C B E C
【解析】 连接C D ．
由于S △ABD :S △BED =1:1，S △BED :S △BCD =3:4，所以S △ABD :S △BCD =3:4，
根据燕尾定理，AF :FC =S △ABD :S △BCD =3:4．
【巩固】在∆A B C 中，BD :D C =3:2， AE :EC =3:1，求O B :O E =？
A A
B
【解析】 连接O C ．
E D
C
B
D
E C
32S ∆AOC
因为BD :D C =3:2，根据燕尾定理，S ∆AOB :S ∆AOC =BD :BC =3:2，即S ∆AOB =又AE :EC =3:1，所以S ∆AOC =
43S ∆AOE
；
．则S ∆AOB =
32
S ∆AOC =
32
⨯
43
S ∆AOE =2S ∆AOE
，
所以OB :OE =S ∆AOB :S ∆AOE =2:1．
【巩固】在∆A B C 中，BD :D C =2:1， AE :EC =1:3，求O B :O E =？
A E C
【解析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积
比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接O C ． 连接O C ．
B D
A E C
因为BD :D C =2:1，根据燕尾定理，S ∆AOB :S ∆AOC =BD :BC =2:1，即S ∆AOB =2S ∆AOC ； 又AE :EC =1:3，所以S ∆AOC =4S ∆AOE ．则S ∆AOB =2S ∆AOC =2⨯4S ∆AOE =8S ∆AOE ， 所以OB :OE =S ∆AOB :S ∆AOE =8:1．
【例 6】 （2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABC D 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且
AE =
13AB
B D
，C F =
14
BC
，AF 与C E 相交于G ，若矩形ABC D 的面积为120，则∆A E G 与∆C G F 的
面积之和为
．
E
B
12
E
H B
E
B
【解析】 (法1) 如图，过F 做C E 的平行线交AB 于H ，则EH :H B =C F :FB =1:3，
所以AE =
EB =2EH 13⨯23
23
，AG :G F =AE :EH =2，即AG =2G F ，
2912⨯34⨯12
S ABCD =10
所以S ∆AEG =且EG =
23
⨯S ∆ABF =⨯34EC =
．
12
⨯S ∆AEG =5
HF =EC
，故C G =G E ，则S ∆C G F =1⨯
．
所以两三角形面积之和为10+5=15． (法2) 如上右图，连接A C 、B G ．
根据燕尾定理，S ∆ABG :S ∆ACG =BF :CF =3:1，S ∆BCG :S ∆ACG =BE :AE =2:1， 而S ∆ABC =
12
S ABC D =60
33+2+1
，
12
⨯60=3014
所以S ∆ABG =则S ∆AEG =
13
，S ∆ABC =，S ∆BC G =，
23+2+1
，S ∆ABC =
13
⨯60=20
，
S ∆ABG =10，S ∆CFG =
S ∆BCG =5
所以两个三角形的面积之和为15．
【例 7】 如右图，三角形ABC 中，BD :D C =4:9，C E :EA =4:3，求A F :F B ．
F B
O D
E
C
【解析】 根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =4:9=12:27
S △AOB :S △BOC =AE :CE =3:4=12:16
（都有△AO B 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S △AOC :S △BOC =27:16=AF :FB
【点评】本题关键是把△AO B 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD :D C =3:4，AE :C E =5:6，求A F :F B .
A
F B
O D
E
C
【解析】 根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =3:4=15:20 S △AOB :S △BOC =AE :CE =5:6=15:18
（都有△AO B 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S △AOC :S △BOC =20:18=10:9=AF :FB
【巩固】如图，BD :D C =2:3, AE :C E =5:3, 则AF :BF =
A
C
F B
D
【解析】 根据燕尾定理有S △ABG :S △ACG =2:3=10:15, S △ABG :S △BCG =5:3=10:6, 所以
S △ACG :S △BCG =15:6=5:2=AF :BF
【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD :D C =2:3，EA :C E =5:4，求A F :F B .
A
F B
O D
E
C
【解析】 根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =2:3=10:15 S △AOB :S △BOC =AE :CE =5:4=10:8
（都有△AO B 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S △AOC :S △BOC =15:8=AF :FB
【点评】本题关键是把△AO B 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果
能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题) 如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :D C =C E :AE =3:2，
且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形A G E 的面积为________，三角形G H I 的面积为______．
A
E
F
B
I D
C
25AC
A
E
F
B
I D
，故S ∆ABE =
419
25
C
S ∆ABC =
25
【分析】 连接AH 、BI 、C G ．
由于C E :AE =3:2，所以AE =；
根据燕尾定理，S ∆ACG :S ∆ABG =CD :BD =2:3，S ∆BCG :S ∆ABG =CE :EA =3:2，所以
S ∆ACG :S ∆ABG :S ∆BCG =4:6:9，则S ∆AC G =
，S ∆BC G =
919
；
那么S ∆AG E =
25
S ∆AG C =
25
⨯9
419
=
895
；
，所以
同样分析可得S ∆ACH =
510
，则E G :E H =∆，EG :EB =S ∆ACG :S ∆ACB =4:19S A C G :∆S A C H =4:9
19
E G :G H :H B =4:5:1，同样分析可得0AG :G I :ID =10:5:4，
S ∆BAE =
510⨯25=15
所以S ∆BIE =，S ∆G H I =
519
S ∆BIE =
519
⨯
15
=
119
．
【巩固】 如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :D C =C E :AE =3:2，且三角形G H I 的面积是1，求三角形
ABC 的面积．
A
A
F
I
B
D
E
F
C
B
D
E
C
【解析】 连接BG ，S △AGC =6份
根据燕尾定理，S △AGC :S △BGC =AF :FB =3:2=6:4，S △ABG :S △AGC =BD :DC =3:2=9:6 得S △BGC =4(份) ，S △ABG =9(份) ，则S △ABC =19(份) ，因此同理连接AI 、CH 得所以
S △G H I S △A B C
=
S △A B H S △A B C
==619
S △A G C S △A B C
=619
,
,
S △B IC S △A B C
=
619
,
19-6-6-6
19
119
三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
【巩固】(2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级) 如图，∆A B C 中BD =2DA ，C E =2EB ，
AF =2FC ，那么∆A B C 的面积是阴影三角形面积的 倍．
B
C
B
C
【分析】 如图，连接A I ．
根据燕尾定理，S ∆BCI :S ∆ACI =BD :AD =2:1，S ∆BCI :S ∆ABI =CF :AF =1:2，
所以，S ∆ACI :S ∆BCI :S ∆ABI =1:2:4， 那么，S ∆BCI =
21+2+4
S ∆ABC =
27S ∆ABC
．
27
同理可知∆AC G 和∆ABH 的面积也都等于∆A B C 面积的的1-
【巩固】如图在△ABC 中，
A
E
H
F
B
G D
C
B F
G D
H
DC DB
=EA EC
=FB FA
=12
27⨯3=
17
，所以阴影三角形的面积等于∆A B C 面积
，所以∆A B C 的面积是阴影三角形面积的7倍．
, 求
△G H I 的面积△ABC 的面积
的值．
A
E
C
【解析】 连接BG , 设S △BGC =1份，根据燕尾定理S △AGC :S △BGC =AF :FB =2:1, S △ABG :S △AGC =BD :DC =2:1,
得S △AGC =2(份) ，S △ABG =4(份) , 则S △ABC =7(份) ，因此
S △A B H S △A B C
=27
S △A G C S △A B C
=27
, 同理连接AI 、CH 得
,
=
S △B IC S △A B C
=
27
,
=17
所以
S △G H I S △A B C
7-2-2-2
7
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，
但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【巩固】如图在△ABC 中，
A
E
H
F
B
G D
C
B F
G D
C
H
DC DB
=EA EC
=FB FA
=13
, 求
△G H I 的面积△ABC 的面积
的值．
A
E
【解析】 连接BG , 设S △BGC =1份，根据燕尾定理S △AGC :S △BGC =AF :FB =3:1, S △ABG :S △AGC =BD :DC =3:1,
得S △AGC =3(份) ，S △ABG =9(份) , 则S △ABC =13(份) ，因此
S △A B H S △A B C
=13,
S △B IC S △A B C
=313
S △A G C S △A B C
=313
, 同理连接AI 、CH 得
,
=413
所以
S △G H I S △A B C
=
13-3-3-3
13
【巩固】如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :D C =C E :AE =4:3，且三角形ABC 的面积是74，求角形G H I
的面积．
A
A
F
I
B
D
E
F
C
B
D
E
C
【解析】 连接BG ，S △AGC =12份
根据燕尾定理，S △AGC :S △BGC =AF :FB =4:3=12:9，S △ABG :S △AGC =BD :DC =4:3=16:12
得S △BGC =9(份) ，S △ABG =16(份) ，则S △ABC =9+12+16=37(份) ，因此同理连接AI 、CH 得所以
S △G H I S △A B C
=
S △A B H S △A B C
=1237=
S △A G C S △A B C
=1237
,
,
1
S △B IC S △A B C
=
1237
,
37-12-12-12
37
37
137
=2
三角形ABC 的面积是74, 所以三角形GHI 的面积是74⨯
【例 9】 两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示， 三个三角形的面积 分别是3，
7，7，
则阴影四边形的面积是多少？
【解析】 方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.
再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．
设三角形为ABC ，BE 和C D 交于F ，则BF =FE ，再连结D E ． 所以三角形D EF 的面积为3. 设三角形AD E 的面积为x ，
则x :(3+3)=AD :DB =(x +10):10，所以x =15，四边形的面积为18．
方法二：设S △ADF =x ，根据燕尾定理S △ABF :S △BFC =S △AFE :S △EFC , 得到S △AEF =x +3，再根据向右下飞的燕子，有(x +3+7) :7=x :3，解得x =7.5四边形的面积为7.5+7.5+3=18
【巩固】右图的大三角形被分成5个小三角形，其中4个的面积已经标在图中，那么，阴影三角形的面积
是 ．
【解析】 方法一：整个题目读完，我们没有发现任何与边长相关的条件，也没有任何与高或者垂直有关系的
字眼，由此，我们可以推断，这道题不能依靠三角形面积公式求解. 我们发现右图三角形中存在一个比例关系：
2:S 阴影=(1+3):4，解得S 阴影=2.
方法二：回顾下燕尾定理，有2（:S 阴影+4）=1:3，解得S 阴影=2.
【例 10】 如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?
A
F
84
4030
35
E
B
D C
34
⨯(84+x ) =63+
34x
【解析】 设S △BOF =x ，由题意知BD :D C =4:3根据燕尾定理, 得
S △ABO :S △ACO =S △BDO :S △CDO =4:3, 所以S △AC O =
，
34
x -35) :35
再根据S △ABO :S △BCO =S △AOE :S △COE ，列方程(84+x ) :(40+30) =(63+
S △AOE :35=(56+84) :(40+30)
解得x =56
, 所以S △AOE =70
所以三角形ABC 的面积是84+40+30+35+56+70=315
【例 11】 三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F
为BC 中点，求阴影部分
的面积．
A
A
B
F C
B
F C
【解析】 令BE 与CD 的交点为M ，CD 与EF 的交点为N ，连接AM ，BN ．
在△ABC 中，根据燕尾定理，S △ABM :S △BCM =AE :CE =1:1, S △ACM :S △BCM =AD :BD =1:1,
所以S △ABM =S △ACM =S △BCN =由于S △AEM =
12
S △AM C =
12
13S △ABC
S △ABM
S ，所以BM :M E =2:1
在△EBC 中，根据燕尾定理，S △BEN :S △CEN =BF :CF =1:1S △CEN :S △CBN =ME :MB =1:2 设S △CEN =1(份) ，则S △BEN =1(份) ，S △BCN =2(份) ，S △BCE =4(份) ， 所以S △BC N =
12
S △BC E =
14S △ABC
, S △BNE =
14
S △BCE =
18
S △ABC
，因为BM :M E =2:1, F 为BC 中点,
所以S △BM N =所以S 阴影=
【例 12】
23
S △BN E =
+
23
⨯
18
S △ABC =
112
S △ABC
, S △BFN =
12
S △BNC =
12
⨯
14
=
18
S △ABC
,
⎛1⎝121⎫55
S △A B C =⨯15=3.125⎪S △A B C =
8⎭2424
(平方厘米)
如右图，△ABC 中，G 是A C 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与B G 交于M ，
则△ABC 的面积是AF 与B G 交于N ，已知△A B M 的面积比四边形F C G N 的面积大7.2平方厘米，
多少平方厘米？
A G
F
C
B
D E
A G
B
D E
F C
15S △ABC
【解析】 连接C M 、C N ．
根据燕尾定理，S △ABM :S △CBM =AG :GC =1:1，S △ABM :S △ACM =BD :CD =1:3，所以S △ABM =
S △A N G S △A F C
；
再根据燕尾定理，S △ABN :S △CBN =AG :GC =1:1，所以S △ABN :S △FBN =S △CBN :S △FBN =4:3，所以
AN :N F =4:3，那么
=
12
⨯
44+3
=
27
，所以S F C G N = 1-
⎝
⎛
2⎫515
S △A B C
⎪S △A F C =⨯S △A B C =7⎭7428
．
根据题意，有S △ABC -
5
1528
S △ABC =7.2
，可得S △ABC =336(平方厘米)
【巩固】(2007年四中分班考试题) 如图，∆A B C 中，点D 是边A C 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，
若∆A B C 的面积为1，那么四边形C D M F 的面积是_________．
A
D
N
C
B
E
A
D
B
E
M M
【解析】 由于点D 是边A C 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出B N 、N M 、M D 三段的比，
那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形C D M F 的面积． 连接C M 、C N ．
根据燕尾定理，S ∆ABM :S ∆ACM =BF :CF =2:1，而S ∆ACM =2S ∆ADM ，所以S ∆ABM =2S ∆ACM =4S ∆ADM ，那
么BM =4DM ，即BM =那么S ∆BM F =
BM BD
⨯BF BC
45BD
F F
C
．
45⨯23⨯12=415
⨯S ∆BC D =
，S 四边形CDM F =
15S ∆ABD
12
另解：得出S ∆ABM =2S ∆ACM =4S ∆ADM 后，可得S ∆AD M =则S 四边形C DM F =S ∆AC F -S ∆ADM =
13-110
=730
30
111=⨯=5210
-
415
=
7
． ，
．
【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD =D E =EC ，C F =FG =G A ，三角形ABC 被分成9部分，
请写出这9部分的面积各是多少?
A
A
G
P
Q
B
B
N D
E
C
【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE 交于点N ．连接CP ，
CQ ，CM ，CN ．
根据燕尾定理，S △ABP :S △CBP =AG :GC =1:2，S △ABP :S △ACP =BD :CD =1:2，设S △ABP =1(份) ，则
S △ABC =1+2+2=5
D E C
(份) ，所以S △ABP =
27
15
13
同理可得，S △ABQ =同理，S △BPM =
S 四边形M NED =
13-335335
, S △ABN =
121
12
, 而S △ABG =，所以S △APQ =
12--54227=-16335
=9
27
-
15
=
335
，S △AQG =
13
-
27
=
121
．
S △BD M =-970
=542
, 所以S 四边形PQM N =
13-121
70
，
13-121-16=542
, S 四边形NFCE =, S 四边形GFNQ =
【巩固】如图，∆A B C 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是A C 边的三等分点，那么四
边形JK IH 的面积是多少？
C F G
A
B
C
D E
A G
B
F
D E
【解析】 连接C K 、C I 、C J ．
根据燕尾定理，S ∆ACK :S ∆ABK =CD :BD =1:2，S ∆ABK :S ∆CBK =AG :CG =1:2，
所以S ∆ACK :S ∆ABK :S ∆CBK =1:2:4，那么S ∆AC K =类似分析可得S ∆AGI =
215
11+2+4
=17
，S ∆AGK =
13
S ∆AC K =
121
．
．
14
又S ∆ABJ :S ∆CBJ =AF :CF =2:1，S ∆ABJ :S ∆ACJ =BD :CD =2:1，可得S ∆AC J =那么，S C G K J =
14-121=1784
．
．
1784
根据对称性，可知四边形C E H J 的面积也为
S CGKJ ⨯2+S ∆AGI +S ∆ABE =
1784⨯2+
215
+13=6170
，那么四边形J K I H 周围的图形的面积之和为
6170
=970
，所以四边形JK IH 的面积为1-．
BD :D E :EC =1:2:1，C F :FG :G A =1:2:1，AH :H I :IB =1:2:1，【例 14】 如右图，面积为1的△ABC 中，
求阴影部分面积．
B
C
B
【解析】 设IG 交H F 于M ，IG 交HD 于N ，D F 交EI 于P ．连接AM ， IF ．
∵AI :AB =3:4，AF :AC =3:4，∴S △AIF =
916S △ABC
∵S △FIM :S △AMF =IH :HA =2，S △FIM :S △AIM =FG :GA =2， ∴S △AIM =
14S △AIF =
964S △ABC
∵AH :AI =1:3 ∴S △AHM =
316S △ABC
364
S △ABC
，
∵AH :AB =1:4 AF :AC =3:4 ∴S △AH F =
同理 S △CFD =S △BDH =
3
16
A I :A B =3:4, A F :A C =3:4，
S △ABC
．
3:3=1:4
∴S △FD H =
716
S △ABC
HM :HF =
6416
，
∵
∴IF ∥BC ，
又∵IF :BC =3:4, D E :BC =1:2，
∴D E :IF =2:3, D P :P F =2:3，
同理 H N :N D =2:3，∵H M :H F =1:4，∴H N :H D =2:5， ∴S △HM N =
110
S △HDF =
7160
S △ABC =
7160
．
7
同理 6个小阴影三角形的面积均为 阴影部分面积=
7160
⨯6=
2180
160
．
．
【例 15】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点, 求阴
影部分面积
.
A
B
F
G
C
B
F
G
C
A
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P , BI 与CE 的交点为Q , 连接AM 、BN 、CP
⑴求S 四边形ADM I ：在△ABC 中，根据燕尾定理，
S △ABM :S △CBM =AI :CI =1:2S △ACM :S △CBM =AD :BD =1:2
14
13
112
112
设S △ABM =1(份) ，则S △CBM =2(份) , S △ACM =1(份) , S △ABC =4(份) , 所以S △ABM =S △AC M =
S △ABC ，所以S △AD M =
S △ABM =
S △ABC
, S △AIM =
S △ABC
,
所以S 四边形ADM I =(
112
+
112
) S △ABC =
16
S △ABC
,
16
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC 面积的⑵求S 五边形D N PQ E ：在△ABC 中，根据燕尾定理
S △ABN :S △ACN =BF :CF =1:2S △ACN :S △BCN =AD :BD =1:2,
所以S △ADN =
1315
S △ABN =
13
⨯
17
S △ABC =
121
S △ABC
, 同理S △BEQ =
121
S △ABC
在△ABC 中，根据燕尾定理S △ABP :S △ACP =BF :CF =1:2, S △ABP :S △CBP =AI :CI =1:2 所以S △ABP =
S △ABC
⎛1
121-
1⎫11
S =S △A B C ⎪△A B C 21⎭105
所以S 五边形D N P Q E =S △A B P -S △A D N -S △B E P = -
⎝5
同理另外两个五边形面积是△ABC 面积的所以S 阴影=1-
16⨯3-
11105
⨯3=
1370
11105
【例 16】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点, 求中
心六边形面积.
A
B
G
C
B
G
C
A
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR
在△ABC 中根据燕尾定理，S △ABR :S △ACR =BG :CG . =2:1,
S △ABR :S △CBR =AI :CI =1:2
27S △ABC
所以S △ABR =
27
S △ABC , 同理S △AC S =27-27-27=17
, S △C Q B =
27
S △ABC
所以S △RQ S =1-同理S △M N P =
17
17+17-1370
=110
根据容斥原理，和上题结果S 六边形=
【例 17】 （2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6的面积是2009
平方厘米，那么图中阴影六边形的面积是平B 1，B 2，B 3，B 4，B 5，B 6分别是正六边形各边的中点；
方厘米．
A B A 3A A 33
【解析】 （方法一）因为空白的面积等于△A 2A 3G 面积的6倍，所以关键求△A 2A 3G 的面积，根据燕尾定理可
得S △A A G =
2
3
54
37
54
S △A 1A 2A 3=
37
⨯
13
⨯
12
S 正六边形
，但在△A 1A 2A 3用燕尾定理时，需要知道A 1D , A 3D 的长度比，
连接A 1A 3, A 6A 3, A 1G , 过B 6作A 1A 2的平行线，交A 1A 3于E ，根据沙漏模型得A 1D =DE , 再根据金字塔模型得A 1E =A 3E , 因此A 1D :A 3D =1:3, 在△A 1A 2A 3中，设S △A A G =1份，则S △A A G =3份, S △A A G =3
1
2
2
3
3
1
份，所以S △A A G =
2
3
37
S △A 1A 2A 3=
37
⨯47
13
⨯
12
S 正六边形=
114
S 正六边形
，
因此S 阴影=（1-
114
⨯6）S 正六边形=
⨯2009=1148（平方厘米）
（方法二）既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形我们可以用下图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为方厘米）
814
⨯2009=1148（平
A 3
A
【例 18】
已知四边形ABC D ，C H FG 为正方形，S 甲:S 乙=1:8，a 与b 是两个正方形的边长，求a :b =?
a
D
D M
a
E
b
E
b
【解析】 观察图形，感觉阴影部分像蝴蝶定理，但是细细分析发现用蝴蝶定理无法继续往下走，注意到题目
条件中给出了两个正方形的边长，有边长就可以利用比例，再发现在连接辅助线后可以利用燕尾，那么我们就用燕尾定理来求解 连接EO 、AF ，
根据燕尾定理：S △AOE :S △AOF =a :b ，S △AOF :S △EOF =a :b
所以 S △AOE :S △EOF =a :b ，作OM ⊥AE 、ON ⊥EF ， ∵AE =EF
∴OM :ON =a 2:b 2 ∴S 甲:S 乙=a 3:b 3=1:8
2
2
∴a :b =1:2