数列的概念与简单表示法1
要点精讲
1．按照一定的顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都与它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（也叫首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项„„排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。数列：
a 1, a 2, a 3，„，a n ，„，简记为{a n }。
2．项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。
3．从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。
4．数列可以看成以正整数集N *（或它的有限子集{1, 2, „, n }为定义域的函数a n =f (n ) 。如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如三角形数依次构成的数列的通项公式a n =构成的数列的通项公式a n =n 2。
1
n (n +1) ；正方形数依次2
范例分析
例1．（1）数列存在于现实生活，举出几个数列的例子。
（2）数列2,5,7,8和数列5,2,7,8是同一数列吗？
（3）下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
①学生的学号由小到大构成的数列：1，2，3，4，„，55。 ②“一尺之棰，日取其半，万世不竭”每日得棰长构成的数列：
1111, , , , „ 24816
③某人2004年1～12月份的工资，按月份顺序排成的数列：1500，1500，1500，„，1500。
④-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂„„构成的数列：-1，1，-1，1，„。
例2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1, -
1111111, , -；（2）2,0,2,0；（3）1, , , ；（4
）1, 。 , 234357224
引申：根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1）7,77,777,7777, ⋅⋅⋅ （2）1,3,7,15,31, ⋅⋅⋅ （3）1, ,
例3．用列表、图象和通项公式分别表示下列数列
191733
, , , ⋅⋅⋅ 3356399
n -1
（1）2, 4,6, „，2n ，„。 （2）1,3,9, „，3
，„。
引申：（1）已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2+1，求证数列{a n }为递增数列。
n
（2）已知数列{a n }的通项公式为a n =n ⋅() ，求数列{a n }的最大项。
34
例4．（1）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有___________个点. 。
。 。 。 。。 。 。 。 。。 。。 。 。。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。。 。 。 。 。
。
（1） （2） （3） （4） （5）
（2）两两相交的n 条直线，交点的个数最多是a n ，已知a n =an 2+bn +c ，求常数a , b , c 的值。
（3）数列2,3,5,8,13，„按规律判断89,145是否数列中的项。
规律总结
1．数列{a n }与集合含义不一样，与函数概念有联系也有区别，可用函数观点来处理数列问题。但数列问题也有特殊的处理方法，如数列单调性的证明。
2．数列的通项公式a n =f (n ) 相当与函数的解析式，n 为自变量，a n 为函数值，函数中的变量代换在数列中仍然成立，如a n 2=f (n ) 。
3．根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。
2
基础训练
一、选择题
1．在数列1,1,2,3,5,8,13, x ,34,55，„中，x 的值是（ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 2．数列4，-1，A 、(-1)
n +1
101316，-，，„的一个通项公式是（ ） 1731492n +1n +13n +1n +12n +1n +13n +1(-1) (-1) (-1) B 、 C 、 D 、 2n 2-12n 2+12n 2+12n 2-1
3．已知数列{a n }的通项公式为a n =log 2(3+n 2) -2，那么log 23是这个数列的（ ） A ．第3项 B ．第4项 C ．第5项 D ．第6项 4．若一数列的前四项依次是0,2,0,2，则下列式子中，不能作为它的通项公式的是（ ） A ．a n =1+(-1) n B ．a n =1-(-1) n +1
n π
D ．a n =(1+cos n π) +(n -1)(n -2) 2
na
5．设数列{a n }，a n =，其中a , b , c 均为正数，则此数列（ ）
nb +c
2
C ．a n =2cos
A ． 递增 B ． 递减 C ． 先增后减 D ．先减后增
二、填空题
6
，则
7．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去, 则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 .
8．已知a n =-2n 2+9n -1(n ∈N *) ，则在数列{a n }的最大项的值为____________. 三、解答题
9．已知数列{a n }的通项公式a n =cn +
d 3
，且a 2=a 4=，求a 10。 n 2
n 2
(n ∈N *) 10．已知数列的通项公式为a n =2
n +1
（1）0.98是否是它的项？
（2）判断此数列的增减性与有界性（注：有界数列指数列的项的数值在一个闭区间上）。
能力提高
11．已知数列{a n }中，a n =n 2+λn ，且{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．λ>-3 B ．λ>-2 C ．λ>-1 D ．λ>0
12．设函数f (x ) =log 2x -log x 2(0
a
(n ∈N *) 。
（1）求数列{a n }的通项a n ；（2）试讨论数列{a n }的单调性。
数列的概念与简单表示法2
要点精讲
1．在数列{a n }中，a 1=1, a n =2a n -1+1(n >1) ，由a 1可计算出a 2, a 3，„，像这样给出数列的方法叫做递推法，其中a n =2a n -1+1(n >1) 称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。
2．设数列{a n }的前n 项之和为S n =a 1+a 2+„+a n ，则a n =⎨
⎧S 1, n =1
。
S -S , n ≥2n -1⎩n
⎧T 1, n =1⎪
3．设数列{a n }的前n 项之积为T n =a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n ，则a n =⎨T n 。
⎪T , n ≥2⎩n -1
范例分析
例1．（1）在数列{a n }中，a 1=1, a n =2a n -1+1(n >1) ，写出数列{a n }的前5项。
（2）在数列{a n }中，a 1=-
例2．已知数列{a n }，a 1=1，a n +1=
11
(n >1) ，写出数列{a n }的前5项。 ，a n =1-
4a n -1
a n
(n ∈N *) ，写出这个数列的前4项，并根据规
1+2a n
律，写出这个数列的一个通项公式，并加以验证。
例3．（1）数列{a n }的前n 项之和S n =1+2，求a n 。
（2）数列{a n }的前n 项之和S n =n -2n ，求a n 。 （3）数列{a n }的前n 项之积T n =1+n ，求a n 。
2
例4．设数列{a n }满足a 1+3a 2+3a 3+
22
n
+3n -1a n =
n +1
（n ∈N *），求a n 。 3
规律总结
1．递推公式是数列的一种表示方法，利用数列的递推公式可以逐项求值。 2．递推公式与函数方程相类似。如a n =2a n -1+1与f (n ) =2f (n -1) +1相类似。 3．由S n 或T n 求a n ，不能忘记讨论n =1。
4．由f (1)a 1+f (2)a 2+⋅⋅⋅+f (n ) a n =g (n ) 求a n 与由S n 求a n 方法类似。
基础训练
一、选择题
1．在数列{a n }中，a n +1=a n +2+a n ，a 1=2, a 2=5，则a 6的值是（ ） A ．-3 B ．-11 C ．-5 D ．19
2．已知数列{a n }的首项a 1=1，且满足a n +1=
11a n +，则此数列的第三项是（ ） 22n
A ．1 B ．
135
C ． D ． 248
1
, (n ≥1, n ∈N ), a 2=1, S n 是{a n }的前n 项和，则S 21=2
3．数列{a n }满足a n +a n +1=( ) A ．
911
B ． C ．6 D ．10 22
2
5
n -12
4．若数列{a n }的通项公式为a n =5b n -4b n ，b n =() ，{a n }的最大值为第x 项，最小
项为第y 项，则x +y 等于（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6 5．已知数列{a n }的首项a 1=，且满足a n +1=
，则a 2008=（ ）
A ． B ．二、填空题
C ．0 D
2
6．数列{a n }的前n 项和S n =2n -3n ，则a n =
2
7．数列{a n }中，a 1=1, 对所有的n ≥2都有a 1a 2a 3 a n =n ，则通项公式a n =
．
*
8．已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N ，有a p +a q =a p +q ，若a 1=
1
，则a 36=9
三、解答题
9．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2(S n +1) =n +1，求{a n }的通项公式。
10．已知数列{a n }满足a 1=2, a 2=5, a 4=23，且a n +1=αa n +β，求实数α, β的值。
能力提高
11．已知数列{a n
}的首项a
1=，且满足a n +1=
则θn +1与θn 的递推关系是
2
，若a n =tan θn （θn 是弧度数），
2
)， 12．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n +1)a n +1-na n +a n +1a n =0(n =1, 2, 3,.....
（1）求a 2, a 3, a 4, a 5；（2）猜想数列{a n }的通项公式，并加以验证。
数列的概念与简单表示法1
例1．分析：利用数列的概念和数列的分类等知识解题。 解：（1）略
（2）不是同一数列，因为数列与顺序有关。
（3）①为递增数列，②为递减数列，③为常数列，④为摆动数列 评注：数列与集合的区别 数列 集合 按照一定的顺序排列着的一列数 一些对象组成的总体 与数的顺序有关 与元素的顺序无关 一个数列的数可以重复 集合中的元素不能重复 数列分为有穷数列和无穷数列 集合分为有限集和无限集 例2．分析：根据数列的前几项，总结项与序号的关系，写出通项公式。
(-1) n +11n -1
（1）a n =；（2）a n =(-1) n +1+1；（3）a n =；（4
）a n =
2n -1n 2n +17n n
引申：（1）a n =(10-1) （2）a n =2-1 （3）a n =
9(2n -1)(2n +1)
例3．分析：数列是自变量为正整数的一类函数，用函数的表示法来表示数列。
解：（1）
n 1 2 3 k „ „
2 4 6 „ 2k „ a n 图象略，通项公式为a n =2n （2）
n
a n
1 1
2
3
9
„ „
k 3k -1
„ „
3
图象略，通项公式为a n =3n -1
引申：（1）a n +1-a n =2n +1>0，a n +1>a n ，所以数列{a n }为递增数列 （2）
a n +1n +13
所以当n ≤3时，数列{a n }为递增数列，所以当n ≥4=⋅≥1，n ≤3，
a n n 4
81
为数列{a n }的最大项。 64
时，数列{a n }为递减数列，而a 3=a 4=
例4．分析：把规律概括出来，根据规律解决问题。
2
解：（1）n -n +1；（2）a =
11
, b =-, c =0；（3）89是，145不是 22
评注：列出前几项找规律是求通项公式的关键一步。
基础训练
1．C 2．D 3．A 4．D 5．A 6．第七项 7．2n +1 8．9
d 3⎧12c +=, ⎧⎪c =, ⎪⎪22
9．由题意知⎨ 解得⎨4
⎪4c +d =3, ⎪⎩d =2. ⎪⎩42
∴a n =
1227n +，∴a 10=。 4n 10
n 2
=0.98，得n =7，0.98是数列的第7项； 10．（1）设2
n +1
(n +1) 2n 22n +1
（2）∵a n +1-a n =-=>0，∴a n +1>a n ， 2222
(n +1) +1n +1[(n +1) +1](n +1)
∴数列{a n }是递增数列， ∴当n =1时，a n 有最小值
1， 2
又a n
*
11．A 提示：a n +1-a n =2n +1+λ>0对任意n ∈N 成立，∴3+λ>0，λ>-3
12
12．（1）由f (2n ) =2n ，得a n -
a
1
=2n ，a n 2-2na n -1=
0，a n =n a n
a n
∵f (x ) 的定义域{x |0
∴a n =n -
（2
）∵a n =n =
，
∴a n +1-a n =
>0，∴a n +1>a n
∴数列{a n }为递增数列。
数列的概念与简单表示法2
例1．分析：利用数列的递推公式逐项求值。
解：（1）a 1=1, a 1=3, a 1=7, a 1=15, a 1=31。
（2）a 1=-141, a 2=5, a 3=, a 4=-, a 1=5 454
例2．分析：利用数列的递推公式逐项求值，并根据前4项的特点，寻找规律，猜想数列的通项公式，再给予验证。
解：a 1=1，a 2=1111，a 3=，a 4=，猜想a n =。 3572n -1
11a n 1===，而 1+2a n 1+2n +12n +1
2n -1证明：假设a n =1，则a n +12n -1
⎧3, n =1例3．（1）a n =⎨n -1； 2, n ≥2⎩
（2）a n =⎨⎧-1, n =1，两段可合并，得a n =2n -3（n ∈N *）
⎩2n -3, n ≥2
2, n =1⎧1+n 2⎪2n ∈N *） （3）a n =⎨1+n ，两段可合并，得a n =2（1+(n -1) ⎪1+(n -1) 2, n ≥2⎩
评注：S n =1+n 和T n =1+n 是数列中较简单也最常见的递推公式，要学会求这种递推公式下的数列的通项公式。
例4．解：对于a 1+3a 2+32a 3+22+3n -2a n -1+3n -1a n =n +1， ① 3
n =1时，a 1=2， 3
当n ≥2时，以n -1代换n ，得
a 1+3a 2+32a 3+
由①-②，得3n -1+3n -2a n -1=a n =(n -1) +1， ② 11，∴a n =n 33
⎧2, n =1⎪⎪3∴a n =⎨
⎪1, n ≥2⎪⎩3n
基础训练
1．A 2．C
3．A 提示：因为a 2=1，所以a 1=-1， 2
9 2
2故S 21=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)++(a 20+a 21)=⎛2⎫4．A 解：令t = ⎪⎝5⎭
所以当t =
5．D n -1⎛2⎫4∈(0,1]，则a n =5t 2-4t =5 t -⎪-， ⎝5⎭52，即n =2时，a n 达到最小值；当t =1，即n =1时，a n 达到最大值。 5
6．a n =4n -5
(n =1) ⎧1⎪7．a n =⎨n 2 (n ≥2) ⎪(n -1) 2⎩
8．4 提示：令q =1，则a p +1-a p =a 1，所以a n =na 1，故a 36=4。
9．由log 2(S n +1) =n +1得S n +1=2 当n =1时，a 1=2-1=3，
当n =1时，a n =S n +1-S n =2
∴ a n =⎨n +12n +1，则S n =2n +1-1， -2n =2n ， ⎧3(n =1) n ⎩2(n ≥2)
⎧a 2=αa 1+β2α+β=5⎪⎧2a =αa +β10．⎨3，得⎨2，消去β，得5α+(α+1)(5-2α) =23 2⎩5α+αβ+β=23⎪a =αa +β3⎩4
α=2或 α=-3
⎧α=2⎧α=-3∴⎨或⎨ β=1β=11⎩⎩
11．θn +1=θn +π
3+k π, k ∈Z
12．（1）计算a 2=11111，a 3=, a 4=, a 5=，猜想a n =。 2345n 11，则a n +1=， n n +1（2）假设通项公式a n =
22代入(n +1)a n +1-na n +a n +1a n =0中等式成立。