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摘要 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2
ABSTRACT „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2
第一章 创新思维的内涵及特征 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„3
第二章 培养学生创新思维的重要性 „„„„„„„„„„„„„„„„„3
第三章 创新思维的培养 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4
1.1 激发学生创新的兴趣 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4
1.2 培养学生创造性维 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5
1.3保护学生的创新思维能力 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10
1.4 在实践中提高学生的创新思维能力 „„„„„„„„„„„„„„„„10
总结 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11
参考文献 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11
致谢 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11
创造性思维与数学教学
卢玲莉
西华师范大学数学与信息学院 数学与应用数学 年级:2008级
指导老师：吴明忠
摘 要：创新人才包括创造意识、创造性思维和创造能力等三方面的素质，而其
核心是创造性思维．现阶段，培养具有创新能力的人才是教育界面临的重要问题，
数学教学同样面临着这一问题． 在数学学科教学中，不仅要考虑数学自身的特
点，更应遵循学生学习数学的心理规律，通过数学教学提高学生的类比能力、联
想能力、思维发散能力和逆向思维能力。来培养学生的创造性思维，从以传授、
继承已有知识为中心，转变为着重培养学生的创造性思维，教会学生数学创新。
关键词：创造性思维，数学教学与创造性思维的培养，创造性思维的特征，创造
性思维的培养
Creative thinking and Mathematics teaching
Lu lingli
Department of Mathematics and Information, Major in Mathematics and Applied
Mathematics, Grade 2008,Guidance teacher: Wu MingZhong
Abstract : Innovation talents include the creation of consciousness, creative thinking
and creative ability and the core of Innovation talents is the creative thinking. At
present, it is an important problem of education to train the talents with innovative
ability. Mathematics teaching also faces this problem. In mathematics teaching, we
not only need to consider the characteristics of mathematics, but more should follow
psychological law of the students studying mathematics. Through the mathematics
teaching to improve the students' ability that include analogy, associative ability,
thinking ability and reverse thinking ability, to cultivate students' creative thinking, to
changing the center of teaching, inheriting from existing knowledge for improving
students' creative thinking, students have the Mathematics innovation capacity.
Key words: Creative thinking, Mathematics teaching, the characteristics of Creative
thinking and the training of Creative thinking，the training of Creative thinking.
第一章 创新思维的内涵及特征
所谓创造性思维，是指带有创见的思维。通过这一思维，不仅能揭露客观事物的本质、内在联系，而且在此基础上能产生出新颖、独特的东西。更具体地说，是指学生在学习过程中，善于独立思索和分析，不因循守旧，能主动探索、积极创新的思维因素。它具有以下特征：
1、独创性。思维不受传统习惯和先例的禁锢，超出常规。在学习过程中对定义、定理公式、法则、解题思路、解题方法、解题策略等提出自己的观点、想法，提出科学的怀疑、合情合理的“挑剔”。
2、求异性。思维标新立异，“异想天开”，出奇制胜。在学习过程中，对一些知识领域中长期以来形成的思想、方法，不信奉，特别是在解题上不满足于一种求解方法，谋求一题多解。
3、联想性。面临某一种情境时，思维可立即向纵深方向发展；觉察某一现象后，思维立即设想它的反面。这实质上是一种由此及彼、由表及里、举一反三、融会贯通的思维连贯性和发散性。
4、灵活性。思维突破“定向”、“系统”、“规范”、“模式”的束缚。在学习过程中，不拘泥于书本所学的、老师所教的，遇到具体问题灵活多变，活学活用。
5、综合性。思维调节局部与整体、直接与间接、简易与复杂的关系，在诸多信息中进行概括、整理，把抽象内容具体化，繁杂内容简单化，从中提炼出较系统的经验，以理解和熟练掌握所学定理、公式、法则及有关解题策略。
第二章 培养学生创造性思维的重要性
1、培养学生创新思维是时代的需要
创新是一个民族进步的灵魂。没有创新就没有社会的发展，就没有人类文明的进步。但是任何创新都是思维之花结出的实践之果，没有成功的思维就没有成功的创新。只有创新者才能成为这个时代的人才。因循守旧、固步自封的人只能成为时代的落伍者。在科技、经济迅速发展的今天，只有创新者才能拥有将来。我们所面对的教育对象是祖国的未来，是21世纪建设祖国的栋梁。国家与民族的前途命运，决定于今天的课堂，这已成为世界的共识。祖国的未来、时代的发展呼唤千千万万具有创造能力的人才。
2、培养创新思维是素质教育的一项重要任务。
教师不仅要“传道、授业、解惑”，更要让学生在学习中培养各种能力，尤其是创新思维能力。学校的学生能否以较少的精力学到更多的知识和技能，毕业之后能否以更少的时间做出更大的成绩，都取决于能力。一般来说，一个人在某
一方面掌握的知识越多，在这方面的技能就越强。但知识不等于技能。掌握的知识多，实际操作技能不一定就强。教育不仅要教给学生书本理论知识，而且
要教会学生实际操作能力。在整个教学过程中，既要重视对学生的基本知识和技能的培养，更要培养和发展学生的创新思维能力。要做到学思的联系、知行的统一，使学生不仅学到知识，还要学会动手，学会动脑，学会做事，学会思考。2009年9月4日，第25个教师节到来前夕，温家宝总理到北京市第三十五中学调研，看望全校师生并在学校主持召开北京市教师代表座谈会。在谈到提高教育质量和水平问题时，温家宝总理严肃指出：“从国内外的比较看，中国培养的学生往往书本知识掌握得很好，但是实践能力和创造精神还比较缺乏。这应该引起我们深入的思考，也就是说我们在过去相当长的一段时间里比较重视认知教育和应试的教学方法，而相对忽视对学生独立思考和创造能力的培养。” “要注重启发式教育，激发学生的学习兴趣，创造自由的环境，培养学生创新的思维，教会学生如何学习，不仅学会书本的东西，特别要学会书本以外的知识。”温总理深刻揭示了培养创新思维对于素质教育的重要性和迫切性。
第三章 数学教学过程中学生的创造性思维的培养
1.1激发学生创新的兴趣
要培养学生的创新思维能力，首先要培养起学生的创新兴趣，在有兴趣的前提下，学生才会主动地进行创新，兴趣的培养主要从好奇心、求知欲、好胜心、创设问题等方面进行培养。
1、学生对于未知的事物都有相当强烈的好奇心、求知欲，这种好奇与求知能够激发学生的创新兴趣，是培养学生创新思维能力的关键之一，在教学中教师应该根据学生的年龄特征、兴趣爱好、心理特点，合理利用学生的好奇心与求知欲，引导学生培养自己的创新兴趣。
例如：在讲到直线与圆的位置关系之前，对学生提出问题：把太阳看作一个圆，那么太阳在升起的过程中，和地平线有几种位置关系？
在此时，可以建议学生首先在纸上画出圆看做太阳，然后上下移动直尺看做地平线，观察直线与圆的位置关系发生了怎样的变化，这需要学生自己动手，自己总结得出结论，就能充分调动起学生的积极性。这个问题将数学与自然现象联系起来，达到提高学生学习兴趣的目的。
2、每个人都有好胜的心理，如果学生屡次失败，就会对所学习的东西失去兴趣，在心里会产生消极的思想，这样对于学生的创新思维能力的培养具有阻碍的作用。在课堂教学中，教师要注意适当地满足学生的好胜心，让学生感受到成功的喜悦，增加学生的自信心，这在学生创新思维能力培养的过程中会起到促进的作用。
3、教学过程中，教师不能为了讲而讲，不能只是采用讲授式的教学，在新课改的情况下，教师应该多采用创设情境问题的方式进行教学，面对问题学生就
会有想要解决问题的好胜心理，因此，在这个时候，教师创设的问题难度要适中，让绝大多数的学生都能够想到解决问题的方法，也就是让学生“跳一跳，就摘到桃子”，这样能引导学生自己提出质疑，主动解决，主动创新
2.1培养学生的创新思维
1、引导学生养成善于类比的习惯
类比是根据两个或两类事物的一些相同或相似的属性猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。养成善于类比的思维习惯，是指在日常的教学活动中，培养学生通过对已知知识的深入思考，触类旁通，从而在新的类似的领域内形成创造性思维。
(2+m )-(2-m )是整数 例1：设m ，n 为自然数，证明：n n
m
分析：本题用一般方法较难下手，在证题前，可诱导学生计算下列式子，并进行类比、猜测：
(1+)2=3+22 1-2(
())2=3-2 (1+2)=7+532 1-2=7-52 3(1+2)4=17+122 1-2()4=17-122
...........
据此，可以猜测：1+2=a +b 2，1-2=a -b 2，其中n , a , b 为自然数，更一般地课猜测：
若a , b , n 为自然数，且为无理数，则a ±然数)
至此，本例题的证明就迎刃而解了。
证明：设2+m ()n ()n ()n =c ±d b ，(其中c , d 为自()n =a +b m （a , b 为自然数）则(2-m )n =a -b m ，因
(2+m )-(2-m )=(a +b m )-(a -b m )=2b 而n n
m m m =2b 为整数 m
2、 启发学生形成联想性思维方式
联想，是由一种事物想到另一种事物，即由此及彼的思维方法。通过由此及彼，由表及里的深入思考，扩大头脑中的固有思维，用已知的知识、信息联想到更多的知识、信息，以此来诱发更多的创造性灵感。所以在数学教学中，要培养学生善于运用联想，从联想中产生出创造性的火花。
例2：求 sin 2400+cos 2100-sin 400cos 100的值
分析：由式子的结构联想到余弦定理的形式，利用正弦定理。构造外接圆直径为1，两内角分别为400、800的三角形，则另一内角为600，因而sin 2600=sin 2400+sin 2800-2sin 400sin 800cos 600
sin 2400+cos 2100-sin 400cos 100=sin 2600=3 4 即
可见，联想起到非常巧妙的作用，将两类不同的事物联系到一起，从而的到问题的解决。
3、训练学生发散性思维素质
发散思维是一种沿着不同方向去选取和重组信息，不依常规，寻求变异，从多方向寻求答案的思维方式。发散思维具有三个特征：流畅性、变通性、独创性。其中最重要的是变通性，变通性使得思维纵横发散，变通性既是流畅性的条件，也是独创性的前提。在教学中，培养学生的发散思维性能力一般可以从以下几个方面人手．比如训练学生对同一条件，联想多种结论；改变思维角度，进行变式训练；培养学生个性，鼓励创优创新；加强一题多解、一题多变、一题多思等。
例3:如图1，已知△ADE 中, ∠DAE =1
等边三角形, 求证:BC 2=BD ∙CE 。
分析:本题为证明题，具有探索性，可引导学生从结论出发, 找到要证明结论需证明△ABD ∽△ECA ，从而使问题变得容易解决。
变换一:改为填空题，如图1，已知△ADE 中, ∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点，且△ABC 是等边三角形, 则线段BC 、BD 、CE 满足的数量关系是 。
本题表面上虽是对原题的简单形式变换，但实质上有探究的思想，即需要将BC 分别代换为AB 、AC ，从而归结为找△ABD 与△ECA 的关系问题。
°，B 、C 分别是DE 上两点, 且△ABC 是
变换二:改为选择题，如图1，已知△ADE 中, ∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点, 且△ABC 是等边三角形，则下列关系式错误的是( )。
A.BC 2=BD ∙CE B.AD 2=DB ∙DE
C.AE 2=EC ∙ED D．AE 2=EB ∙ED
此题名为选择题，实为要探究得出图中共有三对相似三角形，从而得知A 、B 、C 选项均正确，选D 。
变换三:改为计算题, 如图1，已知△ADE 中, ∠DAE=120°，B 、C 分别是D E上两点, 且△A B C是边长为4的等边三角形, 且BD=2，求CE 的长。
仍然要探究出线段BC 、BD 、CE 满足的数量关系，从而转化为知二求一的问题。 变换四:改为判断题，如图2，若图中∠DAE=135°，△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则BC 2=BD ∙CE 的结论还成立吗?
把问题条件改变，用同样的思想方法探究得出同样的结论，进一步引申了原例的思想方法，拓展了学生的思维空间。
变换五:改为开放题，如图1，已知△ADE 中, ∠DAE=120°，B 、C 分别是DE 上两点, 且△ABC 是等边三角形, 则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？ 结论的开放，给学生更多的思考空间，锻炼了学生开放型思维的能力。
变换六:改为综合题，如图3，在△ABC 中，AB=AC=1，点D 、E 在直线BC 上运动，设BD=x，CE=y。(1)如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y 与x 之间的函数关系式;(2)如果∠BAC 的度数为α，∠DAE 的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，
(1)中y 与x•之间的函数关系式还成立，并说明理由。
不同的要求，从而让学生发散开思维，提高学生的创新思维能力。 这个几个变换都是围绕同一个关系问题展开，变换不同的题型，不同的条件，
例：已知x ，y ∈R ，且
解法1：“1”的巧用。
19 +=1， x y +19+=1，求x +y 的最小值。 x y
19y 9x ∴x +y =(x +y )(+) =10++≥16 x y x y
y 9x 当且仅当=时，即x =4，y =12时取等号。 x y
解法2：构造x +y 不等式法。
19 由+=1可得xy -9x -y +9=9，即(x -1)(y -9) =9 x y
所以由均值不等式可知(x -1)(y -9) =9≤(
又x ，y ∈R ，所以一定有x ++x +y -102) 2y >10
那么得到x +y ≥16
解法3：换元后构造均值不等式法
919(x >1) 由+=1得y =9+x y x -1
所以x +y =x +9+99=x -1++10 x -1x -1
x +y ≥2(x -1) 9+10=16 x -1
当且仅当x -1=
解法4：判别式法。
由9时，即x =4时取等号 x -1199x +=1得y =(x >1) x y x -1
9x x 2+8x = 令x +y =z ，则z =x + x -1x -1
得关于x 的二次方程x 2+(8-z ) x +z =0
z -8+(8-z ) 2-4z >0 可由∆=(8-z ) -4z ≥0且22
解得z 的范围从而得到x +y 的最小值
解法5：三角代换法 令19=(cosθ) 2, =(sinθ) 2, x y
2则x +y =(secθ）＋（9csc θ) 2=10+(tanθ) 2+9(cotθ) 2≥16
解法6：导数法 z =x +9+9(x >1), z '=0中，x =4 x -1
（在区间内有一个极值点，此极值点比为最值）
此例题为一题多解，在教学中教师多与学生探讨此类问题，不仅有助于学生知识点的掌握，更能发散开学生的思维，从不同方面对问题进行思考，有助于创新思维能力的培养
通过上述多种解法及探究，可使学生思维始终处于一种“寻求最佳解法" 、“追求从另一个角度思考”的动的状态，从而拓宽了思维的领域，有效地训练了学生的发散思维，从中得到真正地创造性思维锻炼。
4、培养学生逆向思维的能力
逆向思维主要是对顺向思维而言。顺向思维主要是按照事物发展的自然过程进行思考，即由已知到未知，由原因到结果。而逆向思维则是反其道而行之，当顺向思维在人的头脑中形成固定的思维定势以后，容易束缚人的思维发展，阻碍创新思维的产生。如果打破常规，从事物发展的反向考虑和观察问题，就会别有一番天地。利用逆向思维解决数学问题，能收到良好的效果。
4-x 2-4x ≥x +11-a 例4：的解集为{x -4≤x ≤-2}，3a 的值
分析：若先求出原不等式的解集，再根据题设条件求出a ，对一般学生来说并非易事，如改用逆向思维就简单多了。 解：因为远不等式的解集为{x -4≤x ≤-2}，所以x =-4和x =-2是方程-x 2-4x ≥
a =
419174x +11-a a =a =x +11-a =0或的解，代入得到或或3333251919，经检验可知，只有当a =时不等式的解集为[-4, -2)，故a =。 333
所以在教学中必须十分注意培养学生逆向思维能力。在顺向思维无法解决问题时，启发同学们用逆向思维方式解决问题，这样对培养学生创新精神大有裨益。
3.1保护学生的创新思维能力
学生在求知的过程，或多或少的错误是不可避免的，对于学生的错误，教师所持的态度对学生而言是起决定性的作用的。学生通常比较在意老师的看法，在学生的见解有错误时，如果老师一口否决，那么学生此时自信心就会受挫，相反地，在这个时候老师首先要肯定学生的创新性，用发展的眼光看待学生的想法，然后，要引导学生自己去发现自己对在哪里错在哪里，在探究的过程中，哪些地方需要做进一步的改进，不仅老师要正确面对学生的错误，还要告诉学生在遇到问题时要正确面对，这样不仅很好地保护了学生的创新精神，也让学生在这个过程中学会细心求证。
老师对学生的创新要进行支持鼓励。通常而言，学生的评价能力较弱，老师的看法是学生衡量自己思维的标准，学生希望得到老师的赞同与表扬，老师对于学生的正确思想与行为，要给予赞扬，并给予支持与鼓励，进一步增加学生的自信心，激发他们创新的激情。
4.1在实践中提高学生的创新思维能力
老师要引导学生运用数学知识解决实际问题，从实际问题中归纳出数学问题，它对培养学生的创新能力有举足轻重的作用。并且在教学中，要求学生要学好其他学科的知识和分析问题的方法，各门学科之间都有或多或少的关联，我们可以通过一门学科的方法解决另一门学科的问题，这是一种创新的方法。
例如，在数学中，给出一些数据，要求求出灯泡的容积。若单用数学的知识要解决这个问题就比较困难，如果我们将其迁移到物理学，将灯泡装满水，再将水倒入容器中，这样就很容易得到结果，这里就将物理知识应用到数学问题中。
另外，我们不仅要在课堂上注意创新思维的培养，在数学课外实践活动中也要渗透创新思维的培养。根据学生的兴趣爱好，开展多种形式的数学课外活动，使学生在生活和社会现象中寻找数学问题，探索思考，自我解决。这些数学课外活动主要包括：数学竞赛，数学兴趣小组，社会问题调查等，还可以组织学生自己发现更多适合的其他课外活动。
总之, 教师在教学过程中要多留心观察, 多注意方法的积累, 善于激发和爱护学生的创造精神并有意识地加以引导, 使学生在生动活泼的学习环境中, 培养学生的创新思维，不断提高创新能力和创新精神, 从而达到新课标提出的目标:“人人学有价值的数学; 人人都能获得必需的数学; 不同的人在数学上得到不同的发展" 。
总结
参考文献 ：
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[2]杨海红. 数学教学与学生创造性思维的培养 《数学教学通讯：中教版》 2003年第10S
期
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[4]张晓杰，叶云龙，李海英. 论数学教学与创造性思维的培养 《河北北方学院学报：自然
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[5]李沛，罗玉成. 创造性思维与数学教学 《广西师范学院学报：自然科学版》2002年 第
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[6]（美）A.J. 斯塔科 . 《创造能力教与学》（第二版) .华东师范大学出版社
[7]李世海，高兆宏，张晓宜. 《创新教育新探》. 北京：社会科学文献出版社 2005.9
致 谢 本文承吴明忠老师精心审阅，提出了不少宝贵意见，在此表示衷心的感谢。同时在本文的写作过程中得到许多同学、好友的讨论指正，在此表示感谢。还有我大学四年的老师们，没有你们的教育也不会有今天这篇文章的完成，在此一并谢过！
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