秦九韶算法
编号:必修3-1-9 内容: P37～39
学习目标：理解秦九韶算法,能够利用秦九韶算法求多项式函数的值,通过秦九韶算法案例的学习,进一步体会算法思想.
学习重点：秦九韶算法求多项式函数的值.
导学过程:
一.复习回忆:
1.辗转相除法:m=n×q＋r ,(0≤r＜n)
被除数和除数的最大公约数也是除数和余数的最大公约数. gcd(m,n)=gcd(n,r)
2.更相减损术: a-b=c ,(a＞b)
被减数与减数的最大公约数也是减数与差的最大公约数. gcd(a,b)=gcd(b,c)
3.辗转相除法和更相减损术,是求两个正整数的最大公约数的优秀算法,我们将算法转化为程序后,就可以由计算机来执行运算,实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.
二.动手实践: 例1
例1.已知函数f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1, (1)求f(-1); (2)求f(2).
解:(1)f(-1)=8×(-1)7+5×(-1)6+3×(-1)4+2×(-1)+1 =-8+5+3-2+1=-1.
(2) ∵f(x)=8x7+5x6+0.x5+3x4+0.x3+0.x2+2x1+1.x0
∴f(x)=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1
记v0=8,v1=8x+5,则
v1=v0x+5=8×2+5=21, v2=v1x+0=21×2+0=42, v3=v2x+3=42×2+3=87,
v4=v3x+0=87×2+0=174, v5=v4x+0=174×2+0=348, v6=v5x+2=348×2+2=698,
v7=v6x+1=698×2+1=1397, 故 f(2)=v7=1397.
小结:求多项式函数的值: (1)缺项添零;(2)依次提公因式;(3)由内向外逐层计算.
三.自主学习: P37-39
四.理解学习: P37-39秦九韶算法
1.把多项式函数该写成一次式的形式:
f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+…+a2x+a1)x+a0
=((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0=………
=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
2.对应f(x) =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0,由内向外逐层计算一次多项式的值,
其算法步骤为:
第一步,计算v1=anx+an-1. 第二步,计算v2=v1x+an-2.
第三步,计算v3=v2x+an-3. … 第n步,计算vn=vn-1x+a0.
3.秦九韶算法:P37-38
上述求多项式函数值的算法称为秦九韶算法.该算法大大提高了运算效率.
五.理解学习: P38思考
用秦九韶算法求n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,当x=x0时的值,
需要多少次乘法运算?多少次加法运算?
秦九韶算法把运算次数由至多n(n1)
2次乘法运算和n次加法运算,减少为至多n次乘法运算和
n次加法运算,大大提高了运算效率.
4.在秦九韶算法中,记v0=an,那么第k步的算式是:vk=vk-1x+an-k (k=1,2,…,n)
六.理解学习: P37-39秦九韶算法
5.用秦九韶算法求多项式的值,可以用循环结构来构造算法,其算法步骤为: 第一步,输入多项式的次数n,最高次项的系数an和x的值第二步,令v=an,i=n-1.
第三步,输入i次项的系数ai. 第四步,v=vx
+ai,i=i-1.
第五步,判断i≥0是否成立.若是,则返回第二步;
否则,输出多项式的值v .
6.用秦九韶算法求多项式的值,可以用循环结构
来构造算法,其算程序框图为:
程序: