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恒成立，高中数学永恒的话题
作者：杨雪莲
来源：《中学生数理化·学研版》2016年第02期
近几年，恒成立问题一直是高考命题的“常客”。它往往以函数、不等式或者圆锥曲线等多种身份出现在试卷中，其多变的类型和可易可难的题目设置令很多同学感到“头疼”。其实，从目前的出题趋势来看，恒成立问题的基本解法并不复杂，无外乎分离参数、巧设函数、数形结合等几种类型。学生被问题难倒往往是心理作用，只要把基本思路理清楚，看明白此类问题考查的实质，恒成立问题不仅不会成为同学们得高分的“拦路虎”，反而会是数学学科成功路上的“垫脚石”。本文浅析了几种此类问题的常见解法。
一、利用函数最值范围，
化繁为简证明问题
在恒成立的问题中，利用函数最值求解的问题比较多。这类问题通常利用所学函数最大值、最小值、特殊值等特点巧设关卡，一般来说题目设置比较简单，主要考查学生的解题能力和对函数的了解程度。从近几年的考题来看，构造函数解决恒成立问题的类型比较多，但是解法单一，是同学们拿分的关键。
例1设f （x ）=a[]x+xlnx，g （x ）=x3-x2-3。若存在x1，x2∈[0，2]使得g （x1）-g （x2）≥M成立，求满足题设的最大整数M 。
解析：由题意可知，存在x1，x2∈[0，2]使得g （x1）-g （x2）≥M成立，等价于[g（x1）-f （x2）]max≥M，因为g （x ）=x3-x2-3x，所以g′（x ）=3x2-2x=3xx-23。
x00，232323，22g′（x ）-0+
g（x ）-3极小值1
由上表可知，g （x ）min=g23=-85[]27，g （x ）max=g（2）=1，[g（x1）-g （x2）]max=g（x ）max-g （x ）min=112[]27，故满足条件的最大整数M=4。
在此类型的恒成立问题中，函数的处理和增长区间是难点。往往题目会有两种主要方向：一类是像上述例子当中所构造的函数求导比较难或者易出错；第二类是处理不难但是函数的选择会令做题者大伤脑经。通常，第二类比第一类要困难得多，同学们对于利用函数最值求解恒成立的问题，一定要认真计算，此类题目是拿分的关键。
二、善于巧妙转换参数，