求二次函数最值的几种形式
永州市第五中学 何 杰
二次函数模型是重要的函数模型,在人教版高中《数学》必修②中占了大量的篇幡,详尽介绍了二次函数的性质及应用,特别是二次函数的最值问题是近年来高考命题的一个热点问题,而求二次函数的最值归纳起来主要有三种形式:(1)轴定区间定; (2)轴定区间动,(3)轴动区间定,一般来说,讨论二次函数在区间上的最值,主要看区间是落在二次函数的哪一个单调区间上,从而用相应的单调性来求最值。下面就新教材,通过例子具体谈一谈二次函数最值的几种形式的探求方法。
1 轴定区间定
由于这种类型的二次函数的对称轴是固定的,区间也是固定的,因而求它的最值,只要直接应用单调性求出最值即可。
例1 (2002年高考数学上海卷)f (x ) =x 2+2ax +2, x ∈[-5, 5]。
(1)当a =-1时,求函数f (x ) 的最大值和最小值;
(2)求实数a 的取值范围,使y =f (x ) 在区间[-5,5]上是单调函数。 解:(1)当a =-1时,f (x ) =x 2-2x +2=(x -1) 2+1, x ∈[-5, 5],由于对称轴为x =1,区间为[-5,5],而当1≤x ≤5时,f (x ) 是单调递增的;当-5≤x ≤1时,f (x ) 是单调递增的,所以[f (x )]nin ]=f (1) =1, [f (x )]max =f (-5) =37。
(2)f (x ) =x 2+2ax +2=(x +a ) 2+2-a 2,所以对称轴为x =-a ,由数形结合易知,当-a ≥5,即a ≤-5时,f (x ) 在区间[-5,5]上单调递减;当-a ≤-5,即a ≥5时,f (x ) 在区间[-5,5]上单调递增。
综上可知,当a ≤-5时,f (x ) 在区间[-5,5]上单调递减;当a ≥5时,f (x ) 在区间[-5,5]上单调递增。
注:这种类型的最值的求解一般比较简单,只要注意在区间上的单调性即可。 2 轴定区间动
1
由于这种形式的对称轴是固定的,而区间是变动的,因而求它的最值必须要进行分类讨论才能得出结果。
例2 已知函数f (x ) =x 2+3x -5, x ∈[t , t +1],若f (x ) 的最小值为h (t ) , 写出h (t ) 的表达式。
分析:所求二次函数解析式固定,区间变动,可考虑区间在变动过程中二次函数的单调性,从而利用二次函数的单调性求出此函数在区间上的最值。 3293解:f (x ) =(x +) 2-,所以对称轴为x =-固定,而区间[t,t+1]是变224
动的,因此有
35,即t ≤-时,h(t)=f(t+1)= (t +1) 2+3(t +1) -5=t 2+5t -1; 22
3(2)当t >-时,h (t ) =f (t ) =t 2+3t -5; 2
353329(3)当t ≤-< t+1,即-<t ≤-时,h (t ) =f (-) =-。 22224
5 t 2+5t -1(t ≤-) , 2
4953综上可知h (t ) = -(-〈t ≤-) , 222(1)当t+1≤-
3⎫⎛ t 2+3t -5 t 〉-⎪。 2⎭⎝
注:注意分类讨论思想(不重不漏)在解题中的应用。
3 轴动区间定
这种形式的二次函数对称轴是变动的,面区间是固定的,要求其最值,需要讨论对称轴在区间端点之间、端点之外时的各种情况才能确定。
2x 的最小值为g(a ) 。 例3 若f (x ) =1-2a -2a cos x -2s i n
(1)求g(a ) 的表达式;
(2)求能使g(a )=1的a 值,并求出当a 取此值时,f (x ) 的最大值。 2
分析:这是一个定区间,动对称轴的最值问题,要求它的最值要由定区间看动轴的不同变化,再由函数单调性求出最值。
a ⎫a 2⎛解:(1)f (x ) =2 cos x -⎪--2a -1,令t =cos x ∈[-1, 1],所以对称轴22⎝⎭
2 2
t =cos x =
当a 是变动的,而t ∈[-1, 1]是定区间,于是有 2a <-1,即a <-2时,f (x ) 在cos x =-1时取得最小值,即g(a ) =1; 2
a a 当-1≤≤1,即-2≤a ≤2时,f (x ) 在cos x =时取得最小值,即22
a 2
g (a ) =--2a -1; 2
当a >1,即a >2时,f (x ) 在cos x =1时取得最小值,即g(a ) =1-4a 。 2
1-4a (a >2),
a 2
-2a -1(-2≤a ≤2) 综上所述,g(a )= 2
1(a <-2)
1111a 2
(2)当g(a )=,即1-4a =或--2a -1=时,由于1-4a =得22222
11a 2
a =,显然不合题意,故只有-2a -1=,即a =-3(舍去)或a =-1,因822
为—2≤a ≤2才符合题意,所以当g(a )=
21时,a =-1,所以21⎫1⎛f (x ) =22∙ cos x +⎪+,因此,当cos x =1时[f (x )]max =5。 2⎭2⎝
注:求此类问题的最值时要注意分类讨论思想的应用,同时要注意区间的隐含范围。
1例4 已知≤a ≤1,若函数f (x ) =ax 2-2x +1在区间[1,3]上的最大值为M 3
(a ),最小值为N (a ),令g(a )=M(a )-N (a )。
(1)求g(a ) 的表达方式;
(2)判断函数g(a ) 的单调性,并求出g(a ) 的最小值。
1⎫11⎛解:(1)f (x ) =ax -2x +1=a x -⎪+1-, 由已知条件可知1≤≤3。 a ⎭a a ⎝22
当1≤11≤2,即≤a ≤1时,M (a )=f(1)=9a -5,N (a )a 2
3
1⎛1⎫=[f (x )]min =f ⎪=1-, a ⎝a ⎭
1-6 a
111 a +-2(≤a < a 32∴g(a )=M(a )-N (a )=a +
综上可知g(a )=
116≤a ≤1) a +-(a 2
111 (2)当≤za 1<a 2≤时,g(a 2) -g (a 1) =(a 2-a 1)(1-∴g(a ) 在区) <0,32a 1a 2
11111间[, ]上单调递减,最小值是g() =; 当≤a 1<a 2≤1时,g(a 2) -22232
⎛19-g(a 1)=(a 2-a 1) a 1a 2⎝⎫1⎪>0,∴g() 在区间[,1]上单调递增,最小值是a ⎪2⎭
g(11)=。 22
注:利用对称轴的可变性求最值时,一定要时刻关注对称轴在区间上的变化。
4 最值在其他方面的应用
利用二次函数在指定区间上取得最值,可以求函数的表达式以及参数的取值及取值范围。
例5 已知函数g(x )=-x 2-3, f (x ) 是二次函数,当x ∈[-1, 2]时,
且f (x ) +g(x ) 为奇函数,求函数f (x ) 的表达式。 f (x ) 的最小值为1,
解:设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0), 令f (x ) =f (x ) +g (x ) =(a -1) x 2+bx +c -3为奇函数。
b 2b 2
∴a -1=0且c -3=0⇔a =1, c =3, ∴f (x ) =x +bx +3=(x +) +3-,∴242
对称轴为x ∈[-1, 2]且[f (x )]min =1,所以分三种情况进行讨论。
(1)当f (-1) 时⇒b =3, x 0=-3∉[-1, 2], 2
∴f (-1) =1适合,∴f (x ) =x 2+3x +3。
4
(2)当f (2) =1时⇒b =3, x 0=-
不合题意。
(3)当77, x 0=∉[-1, 2],∴f (x 0) 应最小,∴f (2) =124f (x 0) =1时⇒3-b 2
=1⇒b =±22, 但b =224,
∴b =22时不合题意,∴b =-22, ∴f (x ) =x 2-2x +3。 综上可知f (x ) =x 2+3x +3, 或f (x ) =x 2-22x +3。
例6 已知函数f (x ) =ax 2+(2a -1) x -3在区间[-
的值。 3,2]上的最大值为1,求实数a 2
33分析:由题知f (x ) 在[-, 2]上的最大值为1,可能在—、2和顶点处取得,因而22
要求a 的值就必须进行讨论。
310233f (-) =1⇒a =-, 此时x 0=-∈[-, 2],∴a <0,23202
3∴f (-)=1不合题意。 f (x 0) 取最大值,2
31313(2)令f (2) =1⇒a =-, 此时x 0=-∈[-, 2],∴a >0,x 0=-∈[-, 2]且43232(1)令
距右端点2较远,∴f (2) 最大符合题意。
11(-3±22) ,验证后只有a =∙(-3-22) 才适合。 22
31综上可知a =, 或a =-(3+22) 。 42(3)令f (x 0) =1⇒a =
注:利用二次函数的最值确定参数的取值,一定要注意取得最值时的位置,并要加以验证才可以,当然还可以利用它进行一些探究性研究等。
5