电子双缝衍射实验的MATLAB 演示
xxx
（xxxxxx 理学院 09级物理学1班 云南 玉溪 653100）
指导老师：xxxx
摘要：依据电子衍射的几率密度函数，运用蒙特卡洛随机模拟方法，借助MATLAB 编程和计算机可视化技术、绘图技术、构建电子双缝衍射的动态随机过程、清晰的展示电子双缝衍射的全过程。
关键字：电子双缝衍射；蒙特卡洛；几率密度函数；MATLAB; 计算机模拟；波函数
1. 引言
通过光的衍射现象和实验来进一步揭示光的波动性，说明衍射现象是光在空间或物质中传播的基本方式，同时说明衍射现象是讨论现代光学问题的基础[1] 。1924年，法国物理学家德布罗意（L.V.de Broglie) 提出物质波概念，并指出可以用晶体对电子的衍射实验加以证明。1961约恩孙（C.JOnsson) 得到了电子单缝、双缝衍射，说明电子具有波动性[2]。M.Born(1926)提出把粒子性与波动性统一起来，更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来。他是在薛定谔方程来处理散射问题时为了解释散射粒子的角度分布提出来的。他认为量子力学中的波函数所描述的，并不像经典波那样代表什么实在的物理波动性，只不过是刻画粒子在空间的概率分布的概率波（probability wave）[3]。
电子双缝衍射[4-7]对实验仪器的稳定性要求很高，实验平台要求防震，环境的温度湿度都对实验有一定的影响。由美国Mathworks 公司推出的MATLAB [8-11] 是数值分析中较强的软件，具有强大的数值计算、数据可视化与编程、仿真和图形处理等功能，克服普通实验不利的因素，从而直观的展示电子双缝衍射的相关图像，加深对原理概念的理解。对电子双缝衍射几率密度的计算推导，采用MATLAB 进行编程，分别画出e_number为100、1000、10000、20000个电子的双缝衍射图像与实验得出的进行比对，总结分析比对结果。
2. 电子双缝衍射几率密度函数
2.1电子双缝衍射几率密度函数的理论
根据量子力学原理，任何微观粒子都具有波粒二象性。微观粒子的波动性
并不是由于粒子大量聚集在空间中形成的，即波动性是单个微观粒子所具有的特性。若已知微观粒子的波函数ψ(x )
[12,13]
，则其模的平方ψ(x ) 表示的是微观粒
2
子出现在z 点附近的几率大小，与此相对应的就是波动光学中所说的光波强度，这被称为波函数的统计解释。设入射电子流很微弱，电子几乎是一个一个经过双缝然后在感光底片上被记录下来。起初，当感光时间较短时，底片上出现一些点子，它们看起来没什么规律。当感光时间足够长时，底片上出现的点子愈来愈多，就会发现有的地方点子很密，有的地方则几乎没有点子，最后在底片上呈现出有
[1]
律明亮布的条文。
2.2电子双缝衍射几率密度函数的计算 设质量为m 的电子经电场加速后具有速度v ，根据德布罗意的物质波理论，
电子的动量和波长的关系为： λ=
h h
(1) =
p mv
当v
h 2meU
(2)
式中U 为加速电压。按照波动理论，电子穿过双缝应产生衍射现象。图1是电子双缝衍射原理图。
图 1 电子双缝衍射原理图
电子的双缝衍射强度分布函数为：
⎛πa ⎫sin 2 sin θ⎪
⎝λ⎭cos 2⎡π(a +b )sin θ⎤ (3) I (x )=I 0
2⎢λ⎥
⎣⎦⎛πa ⎫
sin θ⎪⎝λ⎭
(3)式中，I 0为x =0处的衍射强度，θ为衍射角，a 为缝宽，b 为双缝间距。当
x
x
sin θ= (4)
D
把式(4)代入式(3)得：
⎛πa ⎫sin 2 x ⎪
λD ⎝⎭cos 2⎡π(a +b )x ⎤ (5) I (x )=I 0
2⎢λD ⎥
⎣⎦⎛πa ⎫
x ⎪
⎝λD ⎭
由式(5)知，衍射强度最大值在x =0处，且I m ax =I 0。令
⎛πa ⎫sin 2 x ⎪I (x )λD ⎝⎭cos 2⎡π(a +b )x ⎤ (6) = K =2⎢λD ⎥I 0⎣⎦⎛πa ⎫
x ⎪
⎝λD ⎭
则K 为x 处相对于I 0的衍射强度，显然K ∈[0, 1]。
图l 是电子双缝衍射的示意图。衍射屏位于x ' o ' y ' 平面，观测屏位于xoy 平面，缝s 1和s 2的宽度均为a ，两缝中心间距为(a +b )，衍射屏到观测屏的距离为D 。设动量为p 、能量为E 的自由电子沿Z 轴正方向入射到双缝，其波函数为：
ψ=ψo e
i
(Pz -Et )
(7)
设在(t =0)时刻，波前到达双缝处(Z =0)，由式(7)可知，在双缝处波函数为一常数。设在衍射屏上的波函数为：
(8)
根据费曼的路径积分理论，电子经过双缝而在t 时刻到达观测屏上P 点的衍射波函数为：
⎛a ⎫sin k sin θ⎪⎡i ⎤
(Pz -Et )⎥⎢a +b 2⎤⎣ ⎝⎭cos ⎡k ⎦
ψ(x , t ) =2ψ0sin θe ⎢2⎥a ⎣⎦k sin θ
2
(9)
(9)式中，k =2π/λ，所以，电子经过双缝在观测屏上P 点出现的几率密度为：
ω(x ) =ψ(x , t ) =4ψ0
2
2
⎛πa ⎫sin 2 sin θ⎪
⎝2⎭cos 2⎡k a +b sin θ⎤
2⎢⎥2⎣⎦⎛πa ⎫sin θ ⎪⎝2⎭
设D >>(a +b )，则有：
⎛πa ⎫sin 2 sin θ⎪
⎝λ⎭cos 2⎡πa +b sin θ⎤=ω0
2⎢⎥2⎣⎦⎛πa ⎫sin θ ⎪⎝λ⎭
(10)
sin θ=代入(10)有：
x
(11) D
⎛πa ⎫sin 2 x ⎪
a +b ⎤sin 2(Ax )λD ⎭⎝2⎡2
(Bx )ω(x ) =ω0cos πx =ωcos 022⎢λD ⎥Ax ⎣⎦⎛πa ⎫
x ⎪⎝λD ⎭
其中，A =
πa π(a +b )，B =。 λD λD
2.3电子双缝衍射动态过程的实现
根据几率密度函数分布的随机数系列，采用蒙特卡罗随机抽样的Von
Neumannn 的舍选发。 舍选发的具体内容为：
(1)计算机在一定的范围内随机地选取观测屏一坐标点(x i , y i )，并计算
H =ω(x i )/ωm ax ，其中，ω(x i )是几率密度函数ω(x )在点(x i , y i )的值，ωmax 是几
率密度函数ω(x )的最大值；
(2) 计算机产生一个0到1之间均匀分布的随机数M ；
(3)将H 与M 进行比较，若H ≥M ，则选取该点(x i , y i )，若H ≤M , 则舍去该点，
并重复(1)至(3)，重新选择坐标点。通过以上方法，即可以得到一个按ω(x )分布
的随机数序列。这个随机数序列就是实现电子衍射随机运动过程的依据。
3电子双缝衍射实验MATLAB 的可视化
3.1电子双缝衍射的MATLAB 程序
>>
h=6.62559e-34;m=9.10908e-31;e=1.6021e-19;U=1000;a=2e-7;b=1e-6;D=0.25; >> rd=h/sqrt(2*m*e*U); %计算电子波长rd >> A=(pi*a)/(rd*D);B=pi*(a+b)/(rd*D); %计算A 和B
>> axis([-5e-5,5e-5,-4e-5,4e-5]); %设置坐标轴范围 >> set(gca,'color',[0.122,0.012,0.62]); %设置背景色 >> i=1;
>> while i
x=5e-5*(2*rand-1); %产生-5e-5到5e-5之间均匀的随机数赋给x y=4e-5*(2*rand-1); %产生-5e-5到5e-5之间均匀的随机数赋给y H=(((sin(A*x))^2)/(A*x)^2)*((cos(B*x))^2); %计算H M=rand; %产生0到1之间均匀分布的随机数赋给M if H>=M
hold on %保留当前坐标系中已经存在的图形对象
h_point=plot(x,y,'.r','EraseMode','none'); %用红色显示符合条件的坐标点，并赋句柄值给h_point i=i+1;
pause(1) %暂停1秒
set(h_point,'color','w') %将当前坐标点由红色变为白色 end end
注释：e_number只需更改电子数目 几率密度函数： >>
h=6.62559e-34;m=9.10908e-31;e=1.6021e-19;U=1000;a=2e-7;b=1e-6;D=0.25; >> rd=h/sqrt(2*m*e*U); %计算电子波长rd >> A=(pi*a)/(rd*D);B=pi*(a+b)/(rd*D); %计算A 和B >> axis([-5e-5,5e-5,-4e-5,4e-5]) >> x=-3e-5:1e-8:3e-5;
>> W=(((sin(A*x)).^2)./(A*x).^2).*((cos(B*x)).^2); %衍射几率分布函数 Warning: Divide by zero.
>> plot(x,W,'EraseMode','none'); %将当前坐标点由红色变为白色 >>
3.2电子双缝衍射图像
通过更改e_number分别为100、1000、10000、20000在MATLAB 上画出对应的图像：
e_number=100的电子双缝衍射图像
e_number=1000的电子双缝衍射图像
e_number=10000的电子双缝衍射图像
e_number=20000的电子双缝衍射图像
几率密度函数图像
4. 结论
通过改变e_number，对比4个图像，变化十分明显。在普通的光学实验中，由于对仪器精度、实验环境的的要求非常高，在改实验变参数时引起条文变化不明显，难以观察，难以充分展示实验的特征。电子双缝衍射图像与几率密度函数图像完全吻合。
致谢
我衷心地感谢任xxxx 在我写论文中给予的认真指导和提供的诸多帮助。
参考文献
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[2] 普通物理实验3光学部分. （第四版）出版时间：2007（12） [3] 曾谨言. 量子力学教程. （第二版）出版时间： 2003年2月
[4] 罗礼进. 基于蒙特卡罗的电子双缝衍射的计算机模拟[J]. 南通大学学报
(自然科学版). 2005(04)
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然科学版). 2005(S2)
[6] 王筠, 吉紫鹃, 肖鹏程. 杨氏双缝实验中的干涉与衍射现象[J]. 湖北第师 范学院学报. 2012(08)
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[8] 张峥、杨文平、石博强、李海鹏. MATLAB程序设计与实例应用. 出版时间：
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[9] 张亮、郭仕剑、王宝顺、贺兴华.MTHLAB7 .X系统建模与仿真. 出版时间：
2006（11）
[10] 贺兴华、周媛媛、王继阳、周辉.MTHLAB7 .X系统建模与仿真. 出版时间：
2006（11）
[11] 陈凤翔, 汪礼胜, 谭改娟, 许文英. 量子力学虚拟实验的MATLAB 演示[J].
大学物理. 2012(05)
[12] 张德伟. 浅谈量子力学中的概率波[J]. 科教文汇(中旬刊). 2009(11) [13] 张树林. 基于MATLAB 的能级、波函数及几率密度图形的绘制[J]. 大学物
理实验. 2008(03)
Electronic double-slit diffraction experiment
MATLAB demo
xxx
(Yuxi Teachers' College of Science 09 Physics classes Yuxi 653100)
Directed by Prof. xxxxx
Abstract: Based on the probability density function of the electron diffraction, the use of stochastic simulation Monte Carlo method, with MATLAB programming and computer visualization technology, graphics technology, build dynamic random process electronic double slit diffraction clear display electronic double-slit diffraction process.
Keywords: double-slit diffraction; Monte Carlo; probability density function; MATLAB; computer simulation, the wave function.