2016年四川省达州市中考数学试卷
一、（共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）
1．（3分）（2016•达州）下列各数中最小的是（ ）
A ．0 B ．﹣3 C ．﹣ D ．1
2．（3分）（2016•达州）在“十二•五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由819亿元增加到1351亿元，年均增长约10%，将1351亿元用科学记数法表示应为（ ）
11121312A ．1.351×10 B ．13.51×10 C ．1.351×10 D ．0.1351×10
3．（3分）（2016•达州）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是（ ）
A ．遇 B ．见 C ．未 D ．来
的解集在数轴上表示正确的是（ ） 4．（3分）（2016•达州）不等式组
A ．
C ． B ． D．
5．（3分）（2016•达州）下列说法中不正确的是（ ）
A ．函数y=2x的图象经过原点
B ．函数
y=的图象位于第一、三象限
C ．函数y=3x﹣1的图象不经过第二象限
D ．函数y=﹣的值随x 的值的增大而增大
6．（3分）（2016•达州）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A ，B ，C ，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
7．（3分）（2016•达州）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）
A ． B ．2 C ． D ．
8．（3分）（2016•达州）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（ ）
A ．25 B ．33 C ．34 D ．50
9．（3分）（2016•达州）如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为（ ）
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
210．（3分）（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣
1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc ＞0
②4a+2b+c＞0
2③4ac ﹣b ＜8a ④＜a ＜
⑤b ＞c ．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
A ．①③ B ．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分，把最后答案直接填在题中的横线上）
311．（3分）（2016•达州）分解因式：a ﹣4a= ．
12．（3分）（2016•达州）如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE 于点E ，若∠A=42°，则∠D= ．
13．（3分）（2016•达州）已知一组数据0，1，2，2，x ，3的平均数是2，则这组数据的方差是 ．
214．（3分）（2016•达州）设m ，n 分别为一元二次方程x +2x﹣2018=0的两个实数根，则
2m +3m+n= ．
15．（3分）（2016•达州）如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，连接BQ ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ 的面积
为 ．
16．（3分）（2016•达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB ：BC=3：2，点A （3，0），B （0，6）分别在x 轴，y 轴上，反比例函数y=（x ＞0）的图象经过点D ，且与边BC 交于点E ，则点E 的坐标为 ．
三、解答题（72分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）（本题2个小题，共12分）
017．（6分）（2016•达州）计算：﹣（﹣2016）+|﹣3|﹣4cos45°．
18．（6分）（2016•达州）已知x ，y 满足方程组
（x ﹣2y ）的值．
，求代数式（x ﹣y ）﹣（x+2y）2
（二）、本题2个小题，共14分．
19．（7分）（2016•达州）达州市图书馆今年4月23日开放以来，受到市民的广泛关注.5月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表．
（1）填空：a= ，b= ；
（2）求扇形统计图中“0次”的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率．
20．（7分）（2016•达州）如图，在▱ABCD 中，已知AD ＞AB ．
（1）实践与操作：作∠BAD 的平分线交BC 于点E ，在AD 上截取AF=AB，连接EF ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF 的形状，并给予证明．
（三）、本题2个小题，共16分．
21．（8分）（2016•达州）如图，在一条笔直的东西向海岸线l 上有一长为1.5km 的码头MN 和灯塔C ，灯塔C 距码头的东端N 有20km ．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A 处测得灯塔C 位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B 处测得灯塔C 位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C 相距12km ．
（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？
（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
22．（8分）（2016•达州）如图，已知AB 为半圆O 的直径，C 为半圆O 上一点，连接AC ，BC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，过点A 作半圆O 的切线交OD 的延长线于点E ，连接BD 并延长交AE 于点F ．
（1）求证：AE •BC=AD•AB ；
（2）若半圆O 的直径为10，sin ∠BAC=，求AF 的长．
（四）、本题2个小题，共19分
（1）求表中a 的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
24．（10分）（2016•达州）△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）观察猜想
如图1，当点D 在线段BC 上时，
①BC 与CF 的位置关系为：
②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB=2CD=BC ，请求出GE 的长．
，
（五）、本题11分
225．（11分）（2016•达州）如图，已知抛物线y=ax+2x+6（a ≠0）交x 轴与A ，B 两点（点
A 在点B 左侧），将直尺WXYZ 与x 轴负方向成45°放置，边WZ 经过抛物线上的点C （4，m ），与抛物线的另一交点为点D ，直尺被x 轴截得的线段EF=2，且△CEF 的面积为6．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）探究：在直线AC 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△ACP 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x 轴向左平移，设平移的时间为t 秒，平移后的直尺为W ′X ′Y ′Z ′，其中边X ′Y ′所在的直线与x 轴交于点M ，与抛物线的其中一个交点为点N ，请直接写出当t 为何值时，可使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．
2016年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、（共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求）
1．（3分）（2016•达州）下列各数中最小的是（ ）
A ．0 B ．﹣3 C ．﹣ D ．1
【考点】实数大小比较．
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数绝对值大的反而小即可解答．
【解答】解：因为在A 、B 、C 、D 四个选项中只有B 、C 为负数，故应从B 、C 中选择； 又因为|﹣3|＞|﹣|=2，
所以﹣3＜﹣，
故选B ．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，实数比较大小的方法：
（1）正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；
（2）两个负数绝对值大的反而小．
2．（3分）（2016•达州）在“十二•五”期间，达州市经济保持稳步增长，地区生产总值约由819亿元增加到1351亿元，年均增长约10%，将1351亿元用科学记数法表示应为（ ）
11121312A ．1.351×10 B ．13.51×10 C ．1.351×10 D ．0.1351×10
【考点】科学记数法—表示较大的数．
n 【分析】科学记数法的表示形式为a ×10的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是
易错点，由于1351亿有12位，所以可以确定n=12﹣1=11．
【解答】解：1351亿=135 100 000 000=1.351×10．
故选A ．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键．
3．（3分）（2016•达州）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“你”字所在面相对的面上标的字是（ ）
11
A ．遇 B ．见 C ．未 D ．来
【考点】几何体的展开图．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“遇”与“的”是相对面，
“见”与“未”是相对面，
“你”与“来”是相对面．
故选D ．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
4．（3分）（2016•达州）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A ．
C ． B ． D．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集．
【解答】解：
由①得，x ≤3；
由②得，x ＞﹣； 所以，不等式组的解集为﹣＜x ≤3．
故选A ．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的方法：分别解几个不等式，它们解的公共部分即为不等式组的解；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小的小于大的为空集”得到公共部分．
5．（3分）（2016•达州）下列说法中不正确的是（ ）
A ．函数y=2x的图象经过原点
B ．函数
y=的图象位于第一、三象限
C ．函数y=3x﹣1的图象不经过第二象限
D ．函数y=﹣的值随x 的值的增大而增大
【考点】正比例函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．
【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案．
【解答】解：A 、函数y=2x的图象经过原点，正确，不合题意；
B 、函数y=的图象位于第一、三象限，正确，不合题意；
C 、函数y=3x﹣1的图象不经过第二象限，正确，不合题意；
D 、函数y=﹣的值，在每个象限内，y 随x 的值的增大而增大，故错误，符合题意． 故选：D ．
【点评】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
6．（3分）（2016•达州）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A ，B ，C ，D 中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】从点A ，B ，C ，D 中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：∵从点A ，B ，C ，D 中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD ，△ADC ，△ABC 是直角三角形， ∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为．
故选D ．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及三角形的三边关系和勾股定理的逆定理运用，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，属于中考常考题型．
7．（3分）（2016•达州）如图，半径为3的⊙A 经过原点O 和点C （0，2），B 是y 轴左侧⊙A 优弧上一点，则tan ∠OBC 为（ ）
A ． B ．2 C ． D ．
【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义．
【分析】作直径CD ，根据勾股定理求出OD ，根据正切的定义求出tan ∠CDO ，根据圆周角定理得到∠OBC=∠CDO ，等量代换即可．
【解答】解：作直径CD ，
在Rt △OCD 中，CD=6，OC=2，
则OD=tan ∠CDO===4， ，
由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO ，
则tan ∠OBC=
故选：C ． ，
【点评】本题考查的是圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
8．（3分）（2016•达州）如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（ ）
A ．25 B ．33 C ．34 D ．50
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n 次操作后三角形共有4+3（n ﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n 的值即可．
【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；
第二次操作后，三角形共有4+3=7个；
第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；
…
∴第n 次操作后，三角形共有4+3（n ﹣1）=3n+1个；
当3n+1=100时，解得：n=33，
故选：B ．
【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出第n 次操作后，三角形的个数为3n+1是解题关键．
9．（3分）（2016•达州）如图，在△ABC 中，BF 平分∠ABC ，AF ⊥BF 于点F ，D 为AB 的中点，连接DF 延长交AC 于点E ．若AB=10，BC=16，则线段EF 的长为（ ）
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且
∠ABF=∠BFD ，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB ，即DE ∥BC ，进而可得DE=8，由EF=DE﹣DF 可得答案．
【解答】解：∵AF ⊥BF ，
∴∠AFB=90°，
∵AB=10，D 为AB 中点，
∴
DF=AB=AD=BD=5，
∴∠ABF=∠BFD ，
又∵BF 平分∠ABC ，
∴∠ABF=∠CBF ，
∴∠CBF=∠DFB ，
∴DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ， ∴=，即，
解得：DE=8，
∴EF=DE﹣DF=3，
故选：B ．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键．
10．（3分）（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：
①abc ＞0
②4a+2b+c＞0
2③4ac ﹣b ＜8a ④＜a ＜
⑤b ＞c ．
其中含所有正确结论的选项是（ ）
2
A ．①③ B ．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质．
【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（﹣1，0）可得到a 、
b 、c 之间的关系，从而对②⑤作判断；从图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间可以判断c 的大小得出④的正误．
【解答】解：①∵函数开口方向向上，
∴a ＞0；
∵对称轴在原点左侧
∴ab 异号，
∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，
∴c ＜0，
∴abc ＞0，
故①正确；
②∵图象与x 轴交于点A （﹣1，0），对称轴为直线x=﹣1，
∴图象与x 轴的另一个交点为（3，0），
∴当x=2时，y ＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故②错误；
③∵图象与x 轴交于点A （﹣1，0），
2∴当x=﹣1时，y=（﹣1）a+b×（﹣1）+c=0，
∴a ﹣b+c=0，即a=b﹣c ，c=b﹣a ，
∵对称轴为直线x=1 ∴=1，即b=﹣2a ，
∴c=b﹣a=（﹣2a ）﹣a=﹣3a ，
222∴4ac ﹣b =4•a •（﹣3a ）﹣（﹣2a ）=﹣16a ＜0
∵8a ＞0
∴4ac ﹣b ＜8a
故③正确
④∵图象与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c ＜﹣1
∴﹣2＜﹣3a ＜﹣1， ∴＞a ＞；
故④正确
⑤∵a ＞0，
∴b ﹣c ＞0，即b ＞c ；
故⑤正确；
故选：D ．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分，把最后答案直接填在题中的横线上）
311．（3分）（2016•达州）分解因式：a ﹣4a= a （a+2）（a ﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题．
【分析】原式提取a ，再利用平方差公式分解即可． 2
【解答】解：原式=a（a ﹣4）
=a（a+2）（a ﹣2）．
故答案为：a （a+2）（a ﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．（3分）（2016•达州）如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE 于点E ，若∠A=42°，则∠D= 48° ．
2
【考点】平行线的性质．
【分析】首先根据平行线的性质求得∠ECD 的度数，然后在直角△ECD 中，利用三角形内角和定理求解．
【解答】解：∵AB ∥CD ，
∴∠ECD=∠A=42°，
又∵DE ⊥AE ，
∴直角△ECD 中，∠D=90°﹣∠ECD=90°﹣42°=48°．
故答案为：48°．
【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，正确理解定理是关键．
13．（3分）（2016•达州）已知一组数据0，1，2，2，x ，3的平均数是2，则这组数据的方差是
．
【考点】方差；算术平均数．
【分析】先由平均数的公式计算出x 的值，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：∵数据0，1，2，2，x ，3的平均数是2，
∴（0+1+2+2+x+3）÷6=2，
∴x=4，
∴这组数据的方差=[（2﹣0）+（2﹣1）+（2﹣2）+（2﹣2）+（2﹣4）+（2﹣3）]=， 故答案为：．
【点评】本题考查方差的定义：一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为，则方差S =（[x 1﹣）+（x 2﹣）+…+（x n ﹣）]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
14．（3分）（2016•达州）设m ，n 分别为一元二次方程x +2x﹣2018=0的两个实数根，则2m +3m+n=．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题． [1**********]
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m =﹣2m+2018，则m +3m+n可化简为2018+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n=﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
2【解答】解：∵m 为一元二次方程x +2x﹣2018=0的实数根，
22∴m +2m﹣2018=0，即m =﹣2m+2018，
2∴m +3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n，
2∵m ，n 分别为一元二次方程x +2x﹣2018=0的两个实数根，
∴m+n=﹣2，
∴m +3m+n=2018﹣2=2016．
2【点评】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax +bx+c=0（a ≠0）的两根
时，x 1+x2=﹣，x 1x 2=．也考查了一元二次方程根的定义．
15．（3分）（2016•达州）如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，连接BQ ．若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ 的面积为 24+9 ．
222
【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．
【专题】计算题．
【分析】连结PQ ，如图，根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，再根据旋转的性质得AP=PQ=6，∠PAQ=60°，则可判断△APQ 为等边三角形，所以PQ=AP=6，接着证明△APC ≌△ABQ 得到PC=QB=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△PBQ 为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S 四边形APBQ =S△BPQ +S△APQ 进行计算．
【解答】解：连结PQ ，如图，
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，
∴AP=PQ=6，∠PAQ=60°，
∴△APQ 为等边三角形，
∴PQ=AP=6，
∵∠CAP+∠BAP=60°，∠BAP+∠BAQ=60°，
∴∠CAP=∠BAQ ，
在△APC 和△ABQ 中，
，
∴△APC ≌△ABQ ，
∴PC=QB=10，
222222在△BPQ 中，∵PB =8=64，PQ =6，BQ =10，
而64+36=100，
222∴PB +PQ=BQ，
∴△PBQ 为直角三角形，∠BPQ=90°，
∴S 四边形APBQ =S△BPQ +S△APQ =×6×8+
故答案为24+9．
×6=24+92．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理和等边三角形的性质．
16．（3分）（2016•达州）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AB ：BC=3：2，点A （3，0），B （0，6）分别在x 轴，y 轴上，反比例函数y=（x ＞0）的图象经过点D ，且与边BC 交于点E ，则点E 的坐标为 （2，7） ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】首先过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，易证得△AOB ∽△DFA ，然后由相似三角形的对应边成比例，求得点D 的坐标，即可求得反比例函数的解析式，再利用平移的性质求得点C 的坐标，继而求得直线BC 的解析式，则可求得点E 的坐标．
【解答】解：过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，则∠AOB=∠DFA=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC，
∴∠OAB+∠DAF=90°，
∴∠ABO=∠DAF ，
∴△AOB ∽△DFA ，
∴OA ：DF=OB：AF=AB：AD ，
∵AB ：BC=3：2，点A （3，0），B （0，6），
∴AB ：AD=3：2，OA=3，OB=6，
∴DF=2，AF=4，
∴OF=OA+AF=7，
∴点D 的坐标为：（7，2），
∴反比例函数的解析式为：
y=①，点C 的坐标为：（4，8），
设直线BC 的解析式为：y=kx+b， 则， 解得：，
∴直线BC 的解析式为：y=x+6②，
联立①②得：或（舍去），
∴点E 的坐标为：（2，7）．
故答案为：（2，7）．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
三、解答题（72分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）（本题2个小题，共12分）
017．（6分）（2016•达州）计算：﹣（﹣2016）+|﹣3|﹣4cos45°．
【考点】平方根；绝对值；零指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣1+3﹣4×=2．
【点评】此题考查了平方根，绝对值，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（6分）（2016•达州）已知x ，y 满足方程组，求代数式（x ﹣y ）﹣（x+2y）2
（x ﹣2y ）的值．
【考点】代数式求值；解二元一次方程组．
【专题】计算题；实数．
【分析】求出方程组的解得到x 与y 的值，原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=x﹣2xy+y﹣x +4y=﹣2xy+5y，
，
①+②得：3x=﹣3，即x=﹣1，
把x=﹣1代入①得：
y=，
则原式=+
=．
【点评】此题考查了代数式求值，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（二）、本题2个小题，共14分．
19．（7分）（2016•达州）达州市图书馆今年4月23日开放以来，受到市民的广泛关注.5月底，八年级（1）班学生小颖对全班同学这一个多月来去新图书馆的次数做了调查统计，并制成了如图不完整的统计图表．
（1）填空：a= 16 ，b= 20 ；
（2）求扇形统计图中“0次”的扇形所占圆心角的度数；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，谈谈对新图书馆的印象和感受．求恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率． 22222
【考点】扇形统计图．
【分析】（1）根据去图书馆“1次”的学生数÷其占全班人数的百分比可得总人数，将总人数减去其余各次数的人数可得“2次”的人数，即a 的值，将“3次”的人数除以总人数可得b 的值；
（2）将360°乘以“0次”人数占总人数比例可得；
（3）直接根据概率公式可得．
【解答】解：（1）该班学生总数为：12÷24%=50（人），
则a=50﹣8﹣12﹣10﹣4=16，
b=×100=20；
（2）扇形统计图中“0次”的扇形所占圆心角的度数为：360°×=57.6°；
（3）从全班去过该图书馆的同学中随机抽取1人，有50种等可能结果，
其中恰好抽中去过“4次及以上”的同学有4种结果，
故恰好抽中去过“4次及以上”的同学的概率为=．
故答案为：（1）16，20．
【点评】本题考查了扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图和统计表中得到必要的信息是解决问题的关键．
20．（7分）（2016•达州）如图，在▱ABCD 中，已知AD ＞AB ．
（1）实践与操作：作∠BAD 的平分线交BC 于点E ，在AD 上截取AF=AB，连接EF ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF 的形状，并给予证明．
【考点】平行四边形的性质；作图—基本作图．
【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD 上截取AF=AB，连接EF ；画出图形即可；
（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB ，证出BE=AB，由（1）得：AF=AB，得出BE=AF，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）四边形ABEF 是菱形；理由如下：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠DAE=∠AEB ，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠DAE ，
∴∠BAE=∠AEB ，
∴BE=AB，
由（1）得：AF=AB，
∴BE=AF，
又∵BE ∥AF ，
∴四边形ABEF 是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF 是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明BE=AB是解决问题（2）的关键．
（三）、本题2个小题，共16分．
21．（8分）（2016•达州）如图，在一条笔直的东西向海岸线l 上有一长为1.5km 的码头MN 和灯塔C ，灯塔C 距码头的东端N 有20km ．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A 处测得灯塔C 位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B 处测得灯塔C 位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C 相距12km ．
（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？
（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】（1）延长AB 交海岸线l 于点D ，过点B 作BE ⊥海岸线l 于点E ，过点A 作AF ⊥l 于F ，首先证明△ABC 是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD 的长即可角问题．
（2）求出CD 的长度，和CN 、CM 比较即可解决问题．
【解答】解：（1）延长AB 交海岸线l 于点D ，过点B 作BE ⊥海岸线l 于点E ，过点A 作AF ⊥l 于F ，如图所示．
∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，
∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，
∴∠BCA=90°，
∵BC=12，AB=36×=24，
∴AB=2BC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，
∴∠BDC=∠BCD=30°，
∴BD=BC=12，
∴时间t==小时=20分钟，
∴轮船照此速度与航向航向，上午11：：00到达海岸线．
（2）∵BD=BC，BE ⊥CD ，
∴DE=EC，
在RT △BEC 中，∵BC=12，∠BCE=30°，
∴BE=6，EC=6≈10.2，
∴CD=20.4，
∵20＜20.4＜21.5，
∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．
【点评】本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出∠BAC=30°，属于中考常考题型．
22．（8分）（2016•达州）如图，已知AB 为半圆O 的直径，C 为半圆O 上一点，连接AC ，BC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D ，过点A 作半圆O 的切线交OD 的延长线于点E ，连接BD 并延长交AE 于点F ．
（1）求证：AE •BC=AD•AB ；
（2）若半圆O 的直径为10，sin ∠BAC=，求AF 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义．
【分析】（1）只要证明△EAD ∽△ABC 即可解决问题．
（2）作DM ⊥AB 于M ，利用DM ∥AE ，得【解答】（1）证明：∵AB 为半圆O 的直径，
∴∠C=90°，
∵OD ⊥AC ，
∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，
∵AE 是切线，
∴OA ⊥AE ，
∴∠E+∠AOE=90°，
∴∠E=∠CAB ，
∴△EAD ∽△ABC ，
∴AE ：AB=AD：BC ，
∴AE •BC=AD•AB ．
（2）解：作DM ⊥AB 于M ，
∵半圆O 的直径为10，sin ∠BAC=，
∴BC=AB•sin ∠BAC=6，
∴AC=
=，求出DM 、BM 即可解决问题． =8，
∵OE ⊥AC ，
∴AD=AC=4，OD=BC=3，
∵sin ∠MAD=∴DM==， ==，BM=AB﹣AM=， ，AM=∵DM ∥AE ， ∴=，
．
∴
AF=
【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、三角函数、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
（四）、本题2个小题，共19分
（1）求表中a 的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进餐桌x 张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W 元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x 的一元一次不等式，解不等式即可得出x 的取值范围，再根据“总利润=成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W 关于x 的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设本次成套销售量为m 套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m 的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得=，
解得a=150，
经检验，a=150是原分式方程的解；
（2）设购进餐桌x 张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W 元．
由题意得：x+5x+20≤200，
解得：x ≤30．
∵a=150，
∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张．
依题意可知： W=x •（500﹣150﹣4×40）+x •（270﹣150）+（5x+20﹣x •4）•（70﹣40）=245x+600， ∵k=245＞0，
∴W 关于x 的函数单调递增，
∴当x=30时，W 取最大值，最大值为7950．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．
（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，
设本次成套销售量为m 套．
依题意得：（500﹣160﹣4×50）m+（30﹣m ）×（270﹣160）+（170﹣4m ）×（70﹣50）=7950﹣2250，
即6700﹣50m=5700，解得：m=20．
答：本次成套的销售量为20套．
【点评】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式、一次函数的性质及解一元一次方程，解题的关键是：（1）由数量相等得出关于a 的分式方程；（2）根据数量关系找出W 关于x 的函数解析式；（3）根据数量关系找出关于m 的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（方程或方程组）是关键．
24．（10分）（2016•达州）△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF ．
（1）观察猜想
如图1，当点D 在线段BC 上时，
①BC 与CF 的位置关系为：．
②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB=2，CD=BC ，请求出GE 的长．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD ，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质即可得到结论
（3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM ，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF ，
在△DAB 与△FAC 中，
∴△DAB ≌△FAC ，
∴∠B=∠ACF ，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF ⊥BD ；
故答案为：垂直；
②△DAB ≌△FAC ，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；
（2）成立，
∵正方形ADEF 中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF ，
在△DAB 与△FAC 中，
∴△DAB ≌△FAC ，
， ，
∴∠B=∠ACF ，CF=BD
∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF ⊥BD ；
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
（3）解：过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于N ，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=AB=4，AH=BC=2，
∴CD=BC=1，CH=BC=2，
∴DH=3，
由（2）证得BC ⊥CF ，CF=BD=5，
∵四边形ADEF 是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，
∴四边形CMEN 是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM ，
在△ADH 与△DEM 中，
∴△ADH ≌△DEM ，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG 是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG==．
，
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（五）、本题11分
225．（11分）（2016•达州）如图，已知抛物线y=ax+2x+6（a ≠0）交x 轴与A ，B 两点（点
A 在点B 左侧），将直尺WXYZ 与x 轴负方向成45°放置，边WZ 经过抛物线上的点C （4，m ），与抛物线的另一交点为点D ，直尺被x 轴截得的线段EF=2，且△CEF 的面积为6．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）探究：在直线AC 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△ACP 的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿x 轴向左平移，设平移的时间为t 秒，平移后的直尺为W ′X ′Y ′Z ′，其中边X ′Y ′所在的直线与x 轴交于点M ，与抛物线的其中一个交点为点N ，请直接写出当t 为何值时，可使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．
【考点】二次函数综合题；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的性质．
【分析】（1）根据三角形的面积公式求出m 的值，结合点C 的坐标利用待定系数法即可求出a 值，从而得出结论；
（2）假设存在．过点P 作y 轴的平行线，交x 轴与点M ，交直线AC 于点N ．根据抛物线的解析式找出点A 的坐标．设直线AC 的解析式为y=kx+b，点P 的坐标为（n ，﹣n +2n+6）（﹣2＜n ＜4），由点A 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线AC 的解析式，代入x=n，即可得出点N 的坐标，利用三角形的面积公式即可得出S △ACP 关于n 的一元二次函数，根据二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）根据直尺的摆放方式可设出直线CD 的解析式为y=﹣x+c，由点C 的坐标利用待定系数法即可得出直线CD 的解析式，联立直线CD 的解析式与抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点D 的坐标，令直线CD 的解析式中y=0，求出x 值即可得出点E 的坐标，结合线段EF 的长度即可找出点F 的坐标，设出点M 的坐标，结合平行四边形的性质以及C 、D 点坐标的坐标即可找出点N 的坐标，再由点N 在抛物线图象上，将其代入抛物线解析式即可得出关于时间t 的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵S △CEF
=EF •y C =×2m=6，
∴m=6，即点C 的坐标为（4，6），
2将点C （4，6）代入抛物线y=ax+2x+6（a ≠0）中，
2
得：6=16a+8+6，解得：a=﹣，
∴该抛物线的解析式为y=﹣x +2x+6．
（2）假设存在．过点P 作y 轴的平行线，交x 轴与点M ，交直线AC 于点N ，如图1所示．
2
令抛物线y=﹣x +2x+6中y=0，则有﹣x +2x+6=0，
解得：x 1=﹣2，x 2=6，
∴点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（6，0）．
设直线AC 的解析式为y=kx+b，点P 的坐标为（n ，﹣n +2n+6）（﹣2＜n ＜4），
∵直线AC 过点A （﹣2，0）、C （4，6）， ∴，解得：， 222
∴直线AC 的解析式为y=x+2．
∵点P 的坐标为（n ，﹣n +2n+6），
∴点N 的坐标为（n ，n+2）．
∵S △ACP =PN •（x C ﹣x A ）=×（﹣n +2n+6﹣n ﹣2）×[4﹣（﹣2）]=﹣（n ﹣1）+∴当n=1时，S △ACP 取最大值，最大值为
此时点P 的坐标为（1，）．
，， 222， ∴在直线AC 上方的抛物线上存在一点P ，使得△ACP 的面积最大，面积的最大值为
此时点P 的坐标为（1，）．
（3）∵直尺WXYZ 与x 轴负方向成45°放置，
∴设直线CD 的解析式为y=﹣x+c，
∵点C （4，6）在直线CD 上，
∴6=﹣4+c，解得：c=10，
∴直线CD 的解析式为y=﹣x+10．
联立直线CD 与抛物线解析式成方程组：， 解得：，或，
∴点D 的坐标为（2，8）．
令直线CD 的解析式y=﹣x+10中y=0，则0=﹣x+10，
解得：x=10，即点E 的坐标为（10，0），
∵EF=2，且点E 在点F 的左边，
∴点F 的坐标为（12，0）．
设点M 的坐标为（12﹣2t ，0），则点N 的坐标为（12﹣2t ﹣2，0+2），即N （10﹣2t ，2）．
∵点N （10﹣2t ，2）在抛物线y=﹣x +2x+6的图象上， ∴﹣（10﹣2t ）+2（10﹣2t ）+6=2，整理得：t ﹣8t+13=0，
解得：t 1=4﹣，t 2=4+．
∴当t 为4﹣或4+秒时，可使得以C 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了三角形的面积公式、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、解二元二次方程组、平行四边形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）求出点C 的坐标；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）用时间t 表示出来点N 的坐标．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，联立函数解析式成方程组，解方程组求出交点坐标是关键．
222
参与本试卷答题和审题的老师有：HLing ；星期八；守拙；sd2011；弯弯的小河；1286697702；三界无我；唐唐来了；sks ；王学峰；gsls ；zcx ；wdzyzmsy@126.com；曹先生（排名不分先后）
菁优网
2016年6月29日
考点卡片
1．绝对值
绝对值．
2．科学记数法—表示较大的数
n （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，
n n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a ×10，其中1≤a ＜10，n 为正
整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a 的要求和10的指数n 的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n ．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
3．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根，也叫做a 的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a 的正的平方根表示为“a ”，负的平方根表示为“﹣a ”．
正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a ．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a 有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
4．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．代数式求值
（1）代数式的：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
6．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
7．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
8．零指数幂
0零指数幂：a =1（a ≠0）
m m m m m ﹣m 00由a ÷a =1，a ÷a =a=a可推出a =1（a ≠0）
0注意：0≠1．
9．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x 、y 的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．
10．根与系数的关系
2（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x 1，x 2是方程x +px+q=0的两根时，x 1+x2=﹣p ，
x 1x 2=q，反过来可得p=﹣（x 1+x2），q=x1x 2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
2（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x 1，x 2是一元二次方程ax +bx+c=0（a ≠0）的
两根时，x 1+x2=，x 1x 2=，反过来也成立，即=﹣（x 1+x2），=x1x 2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求
22另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x 1+x2等等．④判断两根的
符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a ≠0，△≥0这两个前提条件．
11．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x ＞a ，其验证方法可以先将a 代入原不等式，则两边相等，其次在x ＞a 的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
12．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
14．一次函数的性质
一次函数的性质：
k ＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k ＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y=kx+b与y 轴交于（0，b ），当b ＞0时，（0，b ）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b ）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．
15．正比例函数的性质
正比例函数的性质．
16．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
17．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y=kx（k ≠0）的图象是双曲线；
（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；
（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
18．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y=k/x（k 为常数，k ≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y=k/x图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
19．二次函数的性质
二次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的顶点坐标是（﹣次函数y=ax+bx+c（a ≠0）的图象具有如下性质： 22，），对称轴直线x=﹣，二
①当a ＞0时，抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）的开口向上，x ＜﹣2时，y 随x 的增大而减小；x ＞﹣时，y 随x 的增大而增大；x=﹣时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a ＜0时，抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）的开口向下，x ＜﹣2时，y 随x 的增大而增大；x ＞﹣时，y 随x 的增大而减小；x=﹣时，y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y=ax+bx+c（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax的图象向右或向左平移|22|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
20．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y=ax+bx+c（a ，b ，c 是常数，a ≠0）； ②顶点式：y=a（x ﹣h ）+k（a ，h ，k 是常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标； ③交点式：y=a（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（a ，b ，c 是常数，a ≠0）；
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
21．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题 22
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
22．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．
（2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．
（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
23．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
24．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
25．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S △=×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
26．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
27．直角三角形斜边上的中线
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可一用来判定直角三角形．
28．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
222如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a +b=c．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
222（3）勾股定理公式a +b=c 的变形有：a=c2﹣b2，b=c2﹣a2及c=a2+b2．
2222（4）由于a +b=c＞a ，所以c ＞a ，同理c ＞b ，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中
的每一条直角边．
29．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
30．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
31．四边形综合题
四边形综合题．
32．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①定点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
33．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
34．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．
35．旋转的性质
（1）旋转的性质：
①对应点到旋转中心的距离相等． ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． ③旋转前、后的图形全等． （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度． 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
36．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
37．锐角三角函数的定义
在Rt △ABC 中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ．
即sinA=∠A 的对边斜边=ac．
（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．
即cosA=∠A 的邻边斜边=bc．
（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．
即tanA=∠A 的对边∠A 的邻边=ab．
（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．
38．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=； cos30°=
sin45°=
sin60°=；cos45°=；tan30°=； ；tan45°=1； ； ；cos60°=； tan60°=
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
39．解直角三角形的应用-方向角问题
（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．
（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．
40．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
41．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n 个数x 1，x 2，…，x n ，则x ¯=1n（x 1+x2+…+xn ）就叫做这n 个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
42．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的
2情况，这个结果叫方差，通常用s 来表示，计算公式是：
2222s =1n[（x 1﹣x ¯）+（x 2﹣x ¯）+…+（x n ﹣x ¯）]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．